祖冲之与圆周率：数值推算成果

10　祖冲之与圆周率

南朝从公元420年东晋大将刘裕夺取帝位，建立宋政权开始，经历了宋、齐、梁、陈四个朝代。祖冲之是南朝人，出生在宋，去世的时候已经是齐了。

祖冲之的祖父名叫祖昌，在宋朝做了一个管理朝廷建筑的官员。祖冲之成长在这样的家庭里，从小就读了不少书，大家都称赞他是个博学的青年。他特别爱好研究数学，也喜欢研究天文历法，经常观测太阳和星球运行的情况，并做了详细记录。

南朝宋的孝武帝听说他的情况后，就派他去一个专门研究学术的官署“华林学省”工作。他原本对做官并没有兴趣，但是在那里可以更加专心研究数学、天文，于是他欣然前往。

我国历代都有研究天文的官员，并且根据研究天文的结果来制定历法。到了宋朝的时候，历法已经有很大进步，但是祖冲之认为还不够精确。他根据长期观察的结果，创制出了一部新的历法，叫做“大明历”“（大明”是宋孝武帝的年号）。这种历法测定的每一回归年（也就是两年冬至点之间的时间）的天数，跟现代科学测定的相差只有五十秒；测定月亮环行一周的天数，跟现代科学测定的相差不到一秒，可见这部历法的精确程度了。

公元462年，祖冲之请求宋孝武帝颁布新历，孝武帝召集大臣商议。但是，有一个皇帝宠幸的大臣戴法兴出来反对，认为祖冲之擅自改变古历，是离经叛道的行为。祖冲之当场用他研究的数据回驳了戴法兴。戴法兴依仗皇帝宠幸他，蛮横地说：“历法是古人制定的，后代的人不应该改动。”祖冲之一点也不害怕。他严肃地说：“你如果有事实根据，就只管拿出来辩论。不要拿空话吓唬人嘛。”于是，宋孝武帝就帮戴法兴，找了一些懂历法的人跟祖冲之辩论，但也被祖冲之一个个驳倒了。但宋孝武帝还是不肯颁布新历。直到祖冲之去世十年之后，他创制的大明历才得到推行。

尽管当时社会十分动乱不安，但祖冲之还是孜孜不倦地在研究科学。他最大的成就是在数学方面。他曾经给古代数学著作《九章算术》作了注释，还又编写了一本《缀术》。他最杰出的贡献就是求得了相当精确的圆周率。祖冲之在长期的艰苦研究后，计算出圆周率在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上最早把圆周率数值推算到七位数字以上的科学家。

祖冲之按照刘徽的割圆方法，设了一个直径为一丈的圆，在圆内切割计算。当他一直切割到圆的内接二万四千五百七十六边形。最后求得直径为一丈的圆，它的圆周长度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之间，这些长度单位我们现在已不再通用，但换句话说：如果圆的直径为1，那么圆周小了3.1415927。(www.xing528.com)

要做出这样精密的计算，是一琐极为细致而艰巨的脑力劳动。因为在祖冲之那个时代，算盘还未出现，人们普遍使用的计算工具叫算筹，它是一根根几寸长的方形或扁形的小棍子，由竹、木、铁、玉等各种材料制成。通过对算筹的不同摆法，来表示各种数目，叫做筹算法。如果计算数字的位数越多，所需要摆放的面积就越大。用算筹计算不像用笔，笔算可以留在纸上，而筹算每计算完一次就得重新摆放以进行新的计算；所以只能用笔记下计算结果，而无法得到较为直观的图形与算式。因此只要一有差错，比如算筹被碰偏了或者计算中出现了错误，就只能从头开始。要求得祖冲之圆周率的数值，就需要对九位有效数字的小数进行加、减、乘、除和开方运算等十多个步骤的计算，而每个步骤都要反复进行十几次。今天，即使用算盘和纸笔来完成这些计算，也不是一件轻而易举的事。在一千五百多年前的南朝时期，当一位中年人在昏暗的油灯下，手中不停地算呀、记呀，还要经常地重新摆放数以万计的算筹，这是一件多么艰辛的事情，而且还需要日复一日地重复这种状态，如果一个人没有极人的毅力，是绝。对完不成这项工作的。

“祖率”这一光辉成就，也充分反映了我国古代数学高度发展的水平。祖冲之，不仅受到中国人民的敬仰，同时也受到世界各国科学界人士的推崇。1960年，苏联科学家们在研究了月球背面的照片以后，用世界上一些最有贡献的科学家的名字，来命名那上面的山谷，其中有一座环形山被命名为“祖冲之环形山”。

祖冲之在圆周率方面的研究，有着积极的现实意义，适应了当时生产实践的需要。比如他亲自研究度量衡，并用最新的圆周率成果修正了古代的量器容积的计算。

古代有一种量器叫做“釜”，一般的是一尺深，外形呈圆柱状，那这种量器的容积有多大呢？要想求出这个数值，就要用到圆周率。祖冲之利用他的研究，求出了精确的数值。他还重新计算了汉朝刘歆所造的“律嘉量”(另一种量器，与上面提到的都是类似于现在我们所用的“升”等量器，但它们都是圆柱体。)，由于刘歆所用的计算方法和圆周率数值都不够准确，所以他所得到的容积值与实际数值有出入。祖冲之找到他的错误所在，利用“祖率”校正了数值，为人们的日常生活提供了方便。

祖冲之在科学发明上是个多面手，他造过一种指南车，随便车子怎样转弯，车上的铜人总是指着南方；他还造过“千里船”，并在新亭江（在今南京市西南）上试航过，一天可以航行一百多里。他还利用水力转动石磨，舂（chōnɡ）米碾谷子，叫做“水碓（duì）磨”。

祖冲之死后，他的儿子祖（gèng）、孙儿祖皓都继承了祖冲之的事业，刻苦研究数学和历法。据说祖在研究学问的时候，全神贯注，连天上打响雷也听不到。他常常一面走路，一面思考问题。有一次，他在路上走，前面来了个大官徐勉。祖根本没有发觉，一头就撞在徐勉身上。等到徐勉招呼他，祖才像从梦中惊醒一样，慌忙答礼。徐勉知道他研究出了神，也没有责怪他。后来祖刻苦钻研，终于找到了计算圆球体积的正确计算方法。他求得这一公式比意大利数学家卡瓦列利至少早1100年。