数学解题：变式运用技巧

三、在解题教学中运用变式

数学问题虽然千变万化，但也有其内在的规律，如果在解题中能够领悟从问题提出到问题解决的思维过程，通过反思与总结形成规律性的认识，不仅知道具体问题如何求解，还知道为什么能这样解，也就是说将解题的实践升华到理论的层面上，找到理论支撑，并用于指导今后的解题实践，这样一定会收到满意的效果。

1．题组教学培养学生触类旁通的能力

（1）（05年山东高考题）已知向量=(cosθ,sinθ),=(−sinθ,cosθ)，θ∈(π,2π)且|+ |= 。求cos()的值.

(2)已知向量

，令f(x)=，是否存在实数x∈(0,π)，使f(x)+f′(x)=0，若存在，试求出x的值，若不存在，则证明之.

2．一题多解培养学生思维的灵活性

例　命题“对任何x≥0，都有x ³+1≥2x”是真命题还是假命题？提出你的意见并证明之。

[解1] 考察函数y ₁=2x−1（x≥0）与y ₂=x ³（x≥0），作出它们的图象（如右图）后考查在同一横坐标条件下，两个图象上相应两点纵坐标的大小，点)1,1(P是公共点，

∵直线y=2x−1的斜率是2，曲线y=x ³在P(1,1)

∵处的切线的斜率k=3x ²|_x=1=3，

∴y=2x−1不是曲线y=x ³在P(1,1)处的切线，而是割线。

因此，原命题是假命题。

[解2]设y=x³−2x+1，(x≥0)则y′= 3x²−2，令3x²−2=0，（x≥0）∴x=.于是当0≤x＆lt;时，y′＆lt0；当x＆gt;时，y′＆gt;0。∴x=是极小值点.又，所以y=x³−2x+1（x≥0）的值可以是负的，即x³＆lt2x-1在x≥0时有解，因此，原命题是假命题。(www.xing528.com)

[解3]∵x³−2x +1= x³−x−x+1＝(x−1)(x²+x−1) ＝

也就是说，当<x<1时， x ³<2x−1.所以，原命题是假命题。

解1、解2运用了导数研究函数，用函数研究不等式的方法，充分体现导数的工具性特征。解3实际上研究函数y=x³−2x+1的值的符号，找到了反例的集合。通过以上剖析，我们只有充分认识函数与导数的工具性价值才能提高复习水平。

3．多题一解有助于培养学生归纳、演绎能力，促使学生形成知识链

对课本中的重要概念、例题、习题，充分挖掘其内涵，在多题一解上下工夫，才能使学生在总复习过程中提高复习效果，高考中以不变应万变，找出最佳求解途径。多题一解包含用同一知识和关系解决不同结构的问题(如题目一)，还包含挖掘不同题目的内在联系，归纳出统一的解法，形成一种模式.

题目一　 设x,y∈R ⁺，且=1，求x+2y的最小值.

[分析]抓住“1”的代换和均值定理是求一类条件极值的有效策略.

变式1:设x,y∈R ⁺，且xy=x+8y，求x+2y的最小值.

变式2:设x,y∈R ⁺，且y=，求yx2+的最小值.

若认真审视这几个变式中的题设，不难发现:当x,y∈R ⁺时，

=1⇔xy=x+8y⇔(x−8)(y−1)=8

故捕捉解题的“特征信息”，探究题目隐含或显露的惟妙惟肖的关系，是提高解题能力，以一当十、触类旁通的有效策略。