高中生数学解题思维培养策略

四、培养高中生有效的数学解题思维的策略

1．多做变式练习，形成思维的严密性

在数学教学中，我们应随时注意哪些地方容易形成思维定势，从而及时采取措施加以克服，使学生在面对新的问题情境时，能依据新的信息，及时调整思路，避免走进死胡同的被动局面，使思维过程灵活。为了克服这一影响思维灵活的障碍，人们作了许多有益的探讨.实践表明，多作变式变形训练是一个有效的措施。变式变形，就是不断变换问题的条件、结论，或变换其形式和内容，得出不同水平的问题。在这些问题的发展和深化中，使学生能从不同角度不同侧面来理解问题的实质。通过解决这些问题，可以使学生灵活应用所学知识，使原有的孤立的零碎的知识整体化，带动学生形成思维的严密性。

例：在椭圆=1上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直。

变题1：对任何椭圆=1，是否都能在其上找到一点Q(x，y)，使它与两个焦点的连线互相垂直。

变题2：已知椭圆=1，F₁，F₂为其左右焦点，且|PF ₁|•|PF ₂|=40，求∠F₁PF₂的大小。

变题3：已知椭圆=1，F₁，F₂为其左右焦点，P是椭圆上一点，且∠F₁PF₂＝90°，求ΔF₁PF₂的面积。

变题4：已知椭圆中心在原点，焦点在X轴上，离心率e＝，F₁，F₂为左右焦点，P是椭圆上一点有|PF ₁|•|PF ₂|=，且∠F₁PF₂＝60°，求椭圆方程。

设计连续的变题，逐步递进的练习，使一些难度大，知识覆盖面广的问题中的隐含条件和隐含问题明朗化，由于题组中各问题之间知识点相关联，不仅帮助学生分散了难点，而且有利于培养学生思维的连续性、灵活性。精心设计习题，引导学生进行多方位的发散思维，激发思维的主动性，积极性，培养学生思维的深刻性、独创性，对发展学生思维能力，提高学生灵活运用知识，正确解决问题的能力是很有帮助的。

2．加强逆向思维的培养

逆向思维在数学教材中可谓无所不在，运算与逆运算，函数与反函数，分析与综合，顺证与反证都为逆向思维的培养提供了丰富的材料，因而对逆向思维的培养要贯穿于教学过程中。教师要引导学生体会逆向思维的重要性，要认识这是与数学解题有密切联系的思维形式，在教学中要重视互逆概念的比较，重视互逆公式的使用，结合教材，加强分析法、反证法、待定系数法等重要方法的训练，以揭示逆向思维的解题规律。

例：100个人站成一行，自1起报数，凡报奇数者离队，留下的再次自1起报数，凡报奇数者又离队，这样反复下去，最后留下一个人，问这个人第一次报数为多少？

解法探求：若按问题原程序，第一轮报数后划掉被淘汰者，第二轮报数后又划掉被淘汰者，如此下去要不了几轮就被搅乱了阵线。现逆转程序思考，最后被留者在倒数第1轮必2，在倒数第2轮必4，在倒数第3轮必8…，于是极易得出倒推过去此人报的是16，32，64。即第一轮报考64。

在解题过程中，若正向思维受阻就应考虑逆向探求，正难则反。在数学中我们要首先重视正向思维的训练，同时要加强逆向思维的训练。在解题训练中培养学生双向思维的意识，有利于解题思路的开拓。

3．重视培养学生数形结合的解题能力

数与形是数学中的两种表现形式，数是形的深刻描述，而形是数的直接表现。因此，在某种特定的条件下，数与形可以互相转化，互相渗透，“数”的问题可以转化“形”的问题进行研究，“形”的问题也可以转化为“数”的问题进行探讨。有了数形结合的意识，便可优化解题过程，大大提高解题速度。

列

已知M={(x,y)|y=x+b},N={(x,y)|}。若M∩N≠φ，求b的取值范围。

分析： 观察集合特点。集合M是斜率为1，在y轴上的截距为b的一束平行线，集合N是以原点为圆心，半径为3的圆在x轴上方的部分（包括与x轴的交点。由题意作出图形，如图：当直线y＝x＋b，过A(3，0)时 b＝3−。当直线与半圆相切时，由点到直线的距离

由图形易知b>0

故b=所以，−3≤b。(www.xing528.com)

著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分开万事非”。这说明，以形助数，可使许多抽象的概念和复杂的关系直观化、形象化、简单化；而用数解形，借助数量的计算和分析，可使问题的解决严谨化。如能注意运用形数结合，相互补充，往往会收到事半功倍之效果。

4．强调解题过程中“算法”的思想，合理运算

在高中数学学习的过程中，不少学生常把注意力集中在逻辑思维能力的培养（当然这是完全必要的）而忽视运算能力的培养，这种倾向，极大地阻碍着数学学习质量的进一步提高，因此重视运算，加强运算能力的训练是十分重要的。而运算不仅要正确迅速，还应当合理，做到“既对又快且巧”。合理运算是一种简洁运算，它可以节省时间和精力，而且由于避免了烦琐的运算，更能保证减少错误。运算合理化，能培养观察能力、分析问题的能力，使学生思维灵活而深刻，并富有创造精神。运算合理化常常通过引入参数、寻找规律、活用公式等方法来实现。

例如：设实数x、y满足x₂+(y−1)₂ =1,若对满足条件的x,y,x+y+c≥0恒成立，c的取值范围是__________.

此题由已知条件中平方和为1，联想三角代换，

x=cosα,y−1=sinα,即y=1+sinα，代换之后，可得x+y=，利用三角函数的有界性，不难求的c的取值范围。由此可见，引入参数，进行变量代换，是一种有效、可行的运算方法。

又如，在解析几何的运算中，在进行点的坐标的运算时，常常设而不求，通过点差法、韦达定理的灵活应用，寻求条件之间的内在联系，从而快速得到结果。

5．培养学生取特值的意识，巧解选择题

虽然数学是一门严谨的学科，讲究思维的严密性，但在高考场上，要在短时间内解决一个问题，“特值法”不失为我们解决选、填题的一个好方法。

例如：

A.sinx< x　B.sinx> x　C.sinx< x ² 　D.sinx> x ²

此题若要直接判断很困难，由于选择题有且仅有一个为真，所以只需排除错误的选项即可，而取特值便能很好的判断各个选项的正误，可取x=和x=带入选项验证，排除A、C、D。本题也可采取数形结合的方法画出正弦函数和一次函数的图像，由位置关系可以排除A、B，但C、D的判断仍然需要通过取特值排除。“特值法”虽然不是万能的，但在关键时刻有意识地进行合理应用，便能有效地节约时间，提高解题效率。

总之，在高考的指挥棒下，教师要指导学生在平时的练习当中不断总结方法、技巧，有效克服各种思维障碍，认真研究思维障碍产生的根源，增强预见性和针对性，切实纠正解题过程中的错误偏差，在实践中去分析、研究、解决问题，并在学习过程中不断巩固、深化、提高，逐步培养学生有效的数学解题思维。

参考文献

[1]郭思乐．思维与数学教学[M]．北京：人民教育出版社，1991。

[2]任樟辉．数学思维论[M].广西教育出版社，1996。

[3]任勇．数学学习指导与教学艺术[M]．北京：人民教育出版社，2004。

【注释】

[1] 作者简介：成都七中教师，四川成都，邮编：610041