数学情境教学的构想与实践的分析

数学情境教学的构想与实践

张立卓　张小燕

摘　要：本文阐述了数学情境教学的构想与实践，论述了它在大学数学教学中的重要作用。

关键词：数学情境教学　启发　探究　情感

来自美国的一份研究报告《重建本科教育：美国研究型大学发展蓝图》中特别指出：要使以探究为基础的学习成为标准。所谓以探究为基础的学习，就是在教师指导下以探究为基础的，而不是以传递信息为基础的学习。建立以探究为基础的学习，并将其贯穿于数学教学的全过程，这不但是教学方法的变革，而且也是教育理念的转变——从把学生作为知识接受者的文化转变为学生作为知识探究者的文化，一种教师、学生共同参与探索之旅的文化。

这似乎给数学教育工作者一个启示：学校在由教学研究型大学向研究教学型大学转型期间，以探究为基础的数学教学将是我们未来的数学教育之旅。

一、数学情境教学构想的背景

教育部在《关于进一步深化本科教学改革全面提高教学质量的若干意见》中指出：“要坚持知识、能力和素质协调发展，继续深化人才培养模式、课程体系、教学内容和教学方法等方面的改革，实现从注重知识传授向更加重视能力和素质培养的转变。要大力推进教学方法的改革，提倡启发式教学，注重因材施教。”作为处在公共基础学科的数学，数学科学的发展正处于不同寻常时期，科学技术的飞速发展，实践应用的广泛增强，信息领域的影响以及数学科学自身的发展都大大拓展了数学的应用领域。数学已从科学研究的幕后大步跨上技术应用的前台，成为打开众多科技领域关键之门的钥匙。这也就导致社会对其成员（特别是大学生）数学能力素质的要求不断提升，期望涌现出更多的数学基础扎实、创新能力强、知识面宽广、数学素养上佳的人才。相应地，数学教育的目的也就不仅在于为学生传授一种数学基础知识，更重要的在于引导学生掌握一种科学的语言，学到以“探究”为基础的理性思维模式，接受包括演绎与归纳、分析和综合、类比与化归、发现与论证、具体与抽象等各项数学素质的思维训练。卓有成效的数学思维训练将为学生参与未来竞争作好充分的准备。

“数学素质”也称“数学素养”。“数学素养”的通俗说法是把所学的数学知识都排除或忘掉后，剩下的东西。教育部高等学校“数学与统计学教学指导委员会”的项目结题报告——“数学学科专业发展战略研究报告”中指出“数学素养”包括以下五个方面：第一，主动探寻并善于抓住数学问题的背景和本质的素养；第二，熟练地用准确、简明、规范的数学语言表达自己数学思想的素养；第三，具有良好的科学态度和创新精神，合理地提出新思想、新概念、新方法的素养；第四，对各种问题以“数学方式”的理性思维，从多角度探寻解决问题的方法的素养；第五，善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型的素养。

因此大学数学教育作为启迪心智、增进素质、提高全人类文明程度的必要性和重要性已得到空前普遍的重视。

二、数学情境教学构想的提出

从数学知识体系本身看数学教育，由于数学理论本身的特点，使得数学内容在表达方式上过于理论化，许多体现知识来源的环节被“抽象”掉了，因此导致教学环节与实际知识背景之间出现“脱节”现象。例如，“概率”这个概念学生在高中或者更早的阶段就大致形成了带有一定实际意义的形象理解，然而在大学数学课程中这个概念却体现为“公理化”的抽象描述，这种抽象的描述使得概念的表述在数学意义上做到了严谨、完备，同时也与概念的实际背景拉开了“距离”，进而形成了一定的学习障碍。又如“随机事件”抽象为一类“集合”，进而将概率论与经典的集合论建立起密切的联系，这是典型的数学理论特征。从单纯事件过渡到随机变量，进而引进概率分布以及随机变量的各种数字特征等。这一认识过程可以类比为从“数”到“函数”的飞跃，进而产生“微积分基本理论”的过程。在数学教学中如何恰当地把握这些“概念”的飞跃，是值得教师深入思考与揣摩的教学难点。

这种“教学难点”体现为教学环节中缺乏一种因素，导致知识产生的实际背景、形成的动机以及解决问题的原始思考方法等被抽象的理论表述“掩盖”了，进而加剧了理论发展与知识传授之间的矛盾。这种矛盾的出现与存在对于学生理解数学科学理论是一个障碍，更难谈得上领悟数学思想方法等，当然对学生数学素养的培养显然是非常不利的。数学情境教学的设想正是针对这一矛盾提出的。

所谓情境，在心理学上讲是对人有直接刺激作用，有一定的生物学和社会意义的具体环境。情境在激发人的情感方面有特定的作用。思维情境就是能刺激人进行积极思维的情境。笔者认为，数学教学过程所需要的情境是一种思维情境，这种思维情境以与所讲授的数学知识有实质性关联的因素（如原始背景、思维过程、数学功能等）为背景，旨在尽可能充分地为学生提供理解数学知识所必要的直觉经验，真实而贴切地揭示数学知识的本质内涵，帮助学生融会贯通地领悟数学思想。我们把这样的思维情境称为“数学情境”。

数学情境教学是教师根据教学内容设置数学情境进行教学的一种教学方式。数学情境教学的实施必须建立在教师对教学内容与教学对象两个方面进行深入考察与剖析的基础上，对教学内容的考察与剖析要深刻、精确和全面，以使所设置的情境蕴涵丰富的内容，并有助于对知识实质的揭示。对学生因素的剖析要依据大学生的个性心理发展特点，创设数学情境以激发其学习动机，使其潜在的学习愿望变成实际的主动学习的行为。

数学情境教学包含三个基本因素：数学教学内容，数学情境，数学情境的激发、引导对象——学生。数学情境教学的目的是实现一、三因素的和谐沟通与信息反馈，第二个因素是实现这一沟通与反馈的纽带，是数学情境教学的灵魂。

三、数学情境教学的构想与实践

数学情境包含三种基本模式：数学概念情境、数学方法情境和数学思想情境。

（1）数学概念情境是指揭示数学基本概念成因的数学情境。这种数学情境用于展示数学概念的形成所必须的背景材料，以便向学生显示数学概念形成的动机和过程。

“线性相关与线性无关”历来是学生学习的一个难点，在教学中可设置概念情境，从几何的角度帮助学生理解这些概念：

①两个向量的情况：如果非零向量α、β之间存在线性表示关系，即意味着这两个向量之间呈现“倍数”关系，在几何上看，这两个向量是“共线”的。如果这两个向量之间不存在线性表示关系，意味着这两个向量不“共线”，表明α、β可以支撑一张“平面”。即（i）若向量α与β存在线性表示关系等价于二向量（三点）共线。（ii）若向量α与β不存在线性表示关系等价于不共线的两个向量（不共线的三点）决定一张平面。

②三个向量的情况：如果非零向量α、β、γ之间存在线性表示关系，意味着其中一个向量可以被另外两个“线性表示”，不妨设表示为α=sβ+tγ，这个表达式意味着向量α可以在由β、γ决定的平面内被以“几何”的方式做出来，进而表明向量α、β、γ在同一个平面内，或者说相对于对“四点”共面这一几何命题的一种代数表述。如果向量α、β、γ之间不存在线性表示关系，意味着β、γ决定的平面内不包含向量α，进而说明向量α、β、γ可以支撑一个比平面高一“维度”的几何对象，即一个“三维空间”，这一点用几何的语言可以表达为：“不共面的四点”可以确定惟一一个三维空间。即（i）若向量α、β、γ存在线性表示关系等价于三向量（四点）共面。（ii）若向量α、β、γ不存在线性表示关系等价于不共面的三个向量（或不共面的四点）决定一个三维空间。

通过如上分析，我们可以类比更高维的情况。学生可以自然地看到，线性意义下相关联是指人们熟知的“共线”、“共面”、“共体”等直观命题的一般化体现。线性意义下不相关联是指最基本的几何命题“两点定一直线”、“不共线的三点决定一个平面”、“不共面的四点决定一个三维空间”的直接推广。这是建立高维几何直观想象能力的一个自然途径，也是体现“抽象”问题几何直观化的一个关键所在。

在这样一个数学概念情境背景下，讲授“线性相关与线性无关”概念时，就会水到渠成，学生接受起来也会感到亲切而自然。(www.xing528.com)

（2）所谓数学方法就是解决数学问题的策略和程序。数学方法情境是指揭示解决数学问题时所运用的技巧、方法的形成过程的数学情境。

所谓“化归”是把未知的问题转化为已知的问题；把待解决的问题，归结为已解决的问题，从而解决问题的过程。这是数学工作者解决问题常用的数学方法。

比如在线性代数教学中，证明r（AB）≤min{r（A），r（B）}时就可以采用这种方法。先借助分块矩阵证明r（AB）≤r（A），即积矩阵的秩不超过左因子阵的秩，接下来还需要证明积矩阵的秩不超过右因子阵的秩。此时采用化归的方法，将未解决的问题通过已解决的问题来化解。因为：

r（AB）=r（AB）^T=r（B^TA^T）≤r（B^T）=r（B）。（积矩阵的秩不超过左因子阵的秩）通过讲解数学典故，比如数学家波利亚对“化归”的诠释。设置数学方法情境，使学生对后一步的证明增进感性认知，加深理性理解。

数学的理论是美妙的、引人入胜的，数学的方法是精巧的、丰富多彩的。数学方法提供了构筑相应理论框架的主要工具，也提供了作出分析、判断等具体策略的依据。从猜想的形成、分析的展开，到计算、推理的实施，提炼、拓广的升华，数学方法在解决问题的过程中处处体现着自身的价值。数学方法情境的设置是把启发、引导寓于情境之中，这个过程强调了情境的辅助与促进作用，强调了教师的启发与引导。把知识的传授、能力的培养与素质的提高寓于情境之中，就是使抽象的数学理论更为直观、生动与鲜活，以顺应学生的个性心理发展特征，让学生在一种愉悦与轻松的思维情境中培养数学素养，这也是数学情境教学所追求和倡导的。

（3）所谓数学思想就是对数学知识和方法的本质的认识，它是数学科学所固有的，是数学的灵魂。数学思想情境是指揭示数学思想产生的动机、意义及其内涵的数学情境。毋庸置疑，学习数学，不仅要学到许多重要的数学概念和方法，更要领会数学所包含的数学思想和精神实质。如果说数学概念情境、数学方法情境是“个体”、“局部”的数学情境，那么数学思想情境则应称为“整体”的数学情境。因为数学思想往往关联于一个由数学概念、数学方法等组成的系统。数学概念的形成，数学方法的产生仅仅反映了数学知识体系的一个“局部”，而某一数学思想的完善化却体现着某范围内的数学知识体系的整体特征。因此数学思想情境的建立有助于学生对某一逻辑上完备的数学知识系统进行宏观的整体的把握。

以积分学为例，对积分（定积分，二重积分，三重积分，曲线积分，曲面积分）概念的深入理解可使学生对具有可加性的一类量，在已知其局部近似“等高或匀质”下的计算方法时，运用由已知逼近未知、由近似逼近精确的极限思想，求出该量在“非等高或非均质”下的表达式。具体的做法是：设在分布域ω（如［a，b］或D（平面有界闭区域）或Ω（空间有界闭区域）或L（空间有限长度曲线）或S（空间有限面积曲面）上具有可加性的整体量Q，在已知其局部近似“等高或匀质”情形下的计算公式时，要解决“非等高或非匀质”情形下的计算问题，通常采用（i）分割；（ii）取介点：在局部可近似以常量代变量；（iii）作乘积：在局部可近似以“等高或匀质”代替“非等高或非匀质”，从而得局部的近似值；（iv）求和：对局部近似值取和，进而得整体的近似值；（v）取极限：令λ→0，对整体的近似值取极限。如果极限存在，则称极限值为被积函数在ω上的积分，即为所求量Q。其中λ为ω上各小区间或区域等直径的最大值。这就是积分概念的基本思想。

通过设置数学思想情境，学生可对高等数学中“积分学”有一个深刻认识，学生可以对“积分”概念的学习形成从“抽象定义”的学习过程到“数学思想”领悟过程的深刻认识。

要学好一门数学课就必须掌握它所包含的最基本的数学思想。这就是说，既要深入理解有关对象的概念和性质，又必须把一系列的定义和定理科学地融合在一起，从整体上把握这个知识体系的来龙去脉，融会贯通地领悟贯穿于课程中的数学思想与精神实质。数学理论是数学概念、数学方法和数学思想的有机统一体，故一个数学情境是上述三种数学情境的结合。数学思想情境的设置应为数学概念情境和数学方法情境的设置提供指导性原则。而数学概念情境、数学方法情境的设置应具体体现数学思想情境的指导思想。忽视任何一个方面都将影响数学情境的和谐性。只有三种数学情境协调一致，才能创造最佳的教学效果。数学情境的设置应密切关联于教学的整个过程。这就是说，情境教学的具体实施与教学过程的整体规划应是和谐统一的。并不是每一个教学内容都必须设置数学情境，要根据教学内容的不同性质采取灵活多样的教学方式，以使情境教学收到上佳的效果。

四、数学情境教学中的情感因素

情感是指主体对自身及客体的感受、体验，进而发生兴趣、建立感情，并在各种情境下通过情绪表现出来。情感是人对客观事物与自我需要的关系的心理反映。数学情境的设置是数学教师对学生以及客观世界注入情感的过程。教师首先要分析来自学生的各种因素。例如学生的个性心理发展特征以及心理需求，学生对数学问题的分析、判断能力等。对学生注入情感就是教师根据学生的实际情况，运用恰当的方式，有效地设置数学情境，以激发学生的学习兴趣，提高学习效果。对客观物质世界注入情感就是教师运用数学理论考察、认识客观世界，挖掘素材，生动地设置数学情境，以使抽象的数学理论具有感性的认识基础，这样才能把教学对象、教学内容与客观世界三者有机地结合起来。

数学情境教学是注重个性和谐发展的一种教学方式。它融合认知和情感于一体，通过加强教学过程中的师生情感交流与创设充满活力的课堂教学气氛，以实现认知与情感、理性与非理性、智力与非智力的统一发展，培养学生完美的个性。数学情境教学的指导思想是教学必须以人为中心，视学生为教学过程的主体，反对压抑个性，无视学生情感的教学模式。数学情境教学可以使学生在积极的情感体验中陶冶情操并形成自觉进取的意识，可以调动学生的探索精神和创造力，以提高学生的数学素养。

参考文献

［1］教育部关于进一步深化本科教学改革全面提高教学质量的若干意见（教高（2007） 2号）.

［2］李大潜.数学科学与数学教育刍议［J］.大学数学，2004，20（4）.

［3］李贤平等.概率论与数理统计［M］.上海：复旦大学出版社，2003.

［4］顾沛.试论研究式教学中教师的作用［J］.数学教育学报，2006（3）.

［5］运怀立.概率论的思想与方法［M］.北京：中国人民大学出版社，2008.

［6］顾沛.数学文化［M］.北京：高等教育出版社，2008.

［7］方延明.数学文化［M］.北京：清华大学出版社，2007.

［8］教育部人事司组编.高等教育心理学［M］.北京：高等教育出版社，1999.

［9］教育部人事司组编.高等教育学［M］.北京：高等教育出版社，1999.