层次分析法(AHP)的分析介绍

9.3　层次分析法(AHP)

随着社会和科技的发展，系统工程在我国已广泛地应用于各工程的组织管理，如安排施工进度，制订生产计划，调度机器设备等;在各项大型建设项目中，如长江三峡工程等，都要进行深入细致的可行性分析(系统工程中的一种分析方法)。数字资源的评价是一个系统工程，它需要考虑诸多因素并构建一个由一系列相互关联的统计指标组成的评价体系。

客观事物的多种属性、多个侧面，各个侧面是互相联系、互相制约的，且各自的重要程度不一，如只从一个角度或依据一个方面对客观事物进行评价，片面性在所难免。因此，在系统工程中，人们无法回避决策过程中决策者的选择和判断所起的决定作用，决策中总会有大量因素无法定量地表示出来，定性和定量相结合的方法还太少。基于此，美国著名运筹学家、匹兹堡大学教授萨迪教授(A.L.Saty)于20世纪70年代初期提出了的一种系统分析方法，即层次分析法(Analytic Hierarchy Process，AHP)，它是一种能将定性分析与定量分析相结合的分析方法。

AHP可以将复杂的问题分解成若干个层次，在比原问题简单得多的层次上逐步分析，可以将人的主观判断用数量形式表达和处理，也可以提示人们对某类问题的主观判断前后有矛盾，将人们的思维过程和主观判断数学化。它不仅简化了系统分析与计算工作，而且有助于决策者保持其思维过程和决策原则的一致性，易于掌握，也易于应用。如在对事物和干部的评价上，在为某一目的对各种方案、器材、厂址和其他任何事物的选取上，在对新技术的发展、新武器的研制或将来市场的预测上，在对资源或人力的分配上，都有着非常实际的应用价值。1971年萨迪教授曾用AHP为美国国防部研究所谓的“应急计划”，1972年他又为美国国家科学基金会研究电力在工业部门的分配问题，1973年为苏丹政府研究运输问题，1977年萨迪教授在第一届国际数学建模会议上发表了《无结构决策问题的建模——层次分析法》，从那时起AHP开始引起广泛关注，并逐步应用于多准则、多目标的复杂问题的决策分析，如计划制订、资源分配、方案排序、政策分析、冲突求解及决策预报等相当广泛的领域。

AHP将判断和价值结合为一个逻辑的整体，依赖想象、经验和知识去构造问题所处的递阶层次，并根据逻辑、直觉和经验去给出判断;允许使用者随时进行修订，即使用者既可以扩展一个问题层次中的元素，也可以改变原先的判断，允许使用者去考查结果的敏感程度以决定到底做何种改变;为进行群体决策提供了一种适宜的结构。作为一种有用的决策工具，AHP具有以下优点和缺点:

AHP的优点:AHP具有适用性、简洁性、实用性、系统性等特点。它输入的信息是决策者的选择与判断，充分反映了决策者对决策问题的认识——适用性;分析思路清楚，可将分析人员的思维过程系统化、数学化和模型化——简洁性;在决策过程中，将定性和定量因素有机地结合起来，用一种统一方式进行处理——实用性;把问题看成一个系统，在研究系统各组成部分相互关系以及系统所处环境的基础上进行决策——系统性。

AHP的缺点:AHP在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性;比较、判断过程较为粗糙，不能用于精度要求较高的决策问题。

AHP分析问题的思路是:首先，把要解决的问题分层系列化，即根据问题的性质和要达到的目标，将问题分解为不同的组成因素，按照因素之间的相互影响的从属关系将其分层聚类组合，形成一个递阶的、有序的层次结构模型。然后，对模型中每一层次因素的相对重要性，依据人们对客观现实的判断给予定量表示，再利用数学方法确定每一层次全部因素相对重要性次序的权值。最后，通过综合计算各层因素相对重要性的权值，得到最低层(方案层)相对于最高层的(总目标)的相对重要性次序的组合权值，以此作为评价和选择方案的依据。具体包括以下五个步骤:

(1)明确问题

在分析社会、经济的以及科学管理等领域的问题时，首先要对问题有明确的认识，弄清问题的范围，了解问题所包含的因素，确定出因素之间的关联关系和隶属关系。

(2)建立层次结构模型

应用AHP分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。这些层次可以分为三类:

①最高层:这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。

②中间层:这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。

③最底层:这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。

递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般的层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。

(3)建立两两比较的判断矩阵

层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。在层次分析法中，为了使判断定量化，关键在于设法使任意两个方案对于某一准则的相对优越程度得到定量描述。一般对单一准则来说，两个方案进行比较总能判断出优劣，层次分析法采用1～9标度方法，对不同情况的评比给出数量标度。

在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。为看清这一点，可作如下假设:将一块重为1千克的石块砸成n小块，你可以精确称出它们的重量，设为w₁，w₂，…，w_n，现在，请人估计这n小块的重量占总重量的比例(不能让他知道各小石块的重量)，此人不仅很难给出精确的比值，而且完全可能因顾此失彼而提供彼此矛盾的数据。

设现在要比较n个因子X={x₁，x₂，…，x_n}对某因素Z的影响大小，怎样比较才能提供可信的数据呢?萨迪教授等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。即每次取两个因子x_i和x_j，以a_ij表示x_i和x_j对Z的影响大小之比，全部比较结果用矩阵A=(a_ij)_n×n表示，称A为Z－X之间的成对比较判断矩阵(简称判断矩阵)。容易看出，若x_i与x_j对Z的影响之比为a_ij，则x_j与x_i对Z的影响之比应为。

定义1　若矩阵A=(a_ij)_n×n满足

a_ij＞0，(ii)(i，j=1，2，…，n)

则称之为正互反矩阵(易见a_ii=1，i=1，2，…，n)。

关于如何确定a_ij的值，萨迪教授等建议引用数字1～9及其倒数作为标度。其判断矩阵标度及其含义如下所示:

从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增加了作判断的难度，又容易因此而提供虚假数据。萨迪教授等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确性，实验结果也表明，采用1～9标度最为合适。

最后，应该指出，一般地作次两两判断是必要的。有人认为把所有元素都和某个元素比较，即只作n－1个比较就可以了。这种作法的弊病在于，任何一个判断的失误均可导致不合理的排序，而个别判断的失误对于难以定量的系统往往是难以避免的。进行次比较可以提供更多的信息，通过各种不同角度的反复比较，从而导出一个合理的排序。

(4)层次单排序及一致性检验

判断矩阵A对应于最大特征值λ_max的特征向量W，经归一化后即为同一层次相应因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。

计算判断矩阵最大特征根及其对应的特征向量的方法有很多，但最常用的近似算法是和积法和方根法。

①和积法。利用和积法计算判断矩阵最大特征根及其对应特征向量的计算步骤如下:

(i)将判断矩阵的每一列元素作归一化处理，其元素的一般项为:

(ii)将每一列经归一化处理后的判断矩阵按行相加为:

(iii)对向量归一化处理:

所得到的W=［W₁，W₂，…，W_n］^T即为所求的特征向量。

(iv)计算判断矩阵最大特征根λ_max:

式中(AW)_i表示AW的第i个元素。

②方根法。利用方根法计算判断矩阵最大特征根及其对应特征向量的计算步骤如下:

(i)计算判断矩阵每一行元素的乘积M_i:

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(ii)计算M_i的n次方根:

(iii)对向量归一化处理:

所得到的即为所求的特征向量。

(iv)计算判断矩阵最大特征根λ_max:

式中(AW)_i表示AW的第i个元素。

虽然构造成对比较判断矩阵的办法能减少其他因素的干扰，较客观地反映出一对因子影响力的差别，但综合全部比较结果时，其中难免包含一定程度的非一致性。如果比较结果是前后完全一致的，则矩阵A的元素还应当满足:

a_ija_jk=a_ik，i，j，k=1，2，…，n　　　　　　　(1)

定义2　满足关系式(1)的正互反矩阵称为一致矩阵。

需要检验构造出来的(正互反)判断矩阵A是否严重地非一致，以便确定是否接受A。

定理1正互反矩阵A的最大特征根λ_max必为正实数，其对应特征向量的所有分量均为正实数。A的其余特征值的模均严格小于λ_max。

定理2若A为一致矩阵，则

(i)A必为正互反矩阵。

(ii)A的转置矩阵A^T也是一致矩阵。

(iii)A的任意两行成比例，比例因子大于零，从而rank(A)=1(同样，A的任意两列也成比例)。

(iv)A的最大特征值λ_max=n，其中n为矩阵A的阶。A的其余特征根均为零。

(v)若A的最大特征值λ_max对应的特征向量为W=(w₁，w₂，…，w_n)^T，则 ，即

定理3n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特征根λ_max=n，且当正互反矩阵A非一致时，必有λ_max＞n。

根据定理3，我们可以由λ_max是否等于n来检验判断矩阵A是否为一致矩阵。由于特征根连续地依赖于a_ij，故λ_max比n大得越多，A的非一致性程度也就越严重，λ_max对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出X={x₁，x₂，…，x_n}在对因素Z的影响中所占的比重。因此，对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。

对判断矩阵的一致性检验的步骤如下:

(i)计算一致性指标CI

(ii)查找相应的平均随机一致性指标RI。对n=1，2，…，9，萨迪教授给出了RI的值，如下所示:

RI的值是这样得到的，用随机方法构造500个样本矩阵:随机地从1～9及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值λ'_max，并定义

(iii)计算一致性比例CR

当时CR＜0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。

(5)层次总排序及一致性检验

上面我们得到的是一组元素对其上一层中某元素的权重向量。我们最终要得到各元素，特别是最低层中各方案对于目标的排序权重，从而进行方案选择。利用层次单排序的计算结果，进一步综合出对更上一层次的优劣顺序，就是层次总排序的任务。

设上一层次(A层)包含A₁，A₂，…，A_m共m个因素，它们的层次总排序权重分别为a₁，a₂，…，a_m。又设其后的下一层次(B层)包含n个因素B₁，B₂，…，B_n，它们关于A_j的层次单排序权重分别为b_1j，b_2j，…，b_nj(当B_i与A_j无关联时，b_ij=0)。现求B层中各因素关于总目标的权重，即求B层各因素的层次总排序权重b₁，b₂，…，b_n，计算按下表所示方式进行，即

对层次总排序也需作一致性检验，检验仍像层次总排序那样由高层到低层逐层进行。这是因为虽然各层次均已经过层次单排序的一致性检验，各成对比较判断矩阵都已具有较为满意的一致性。但当综合考察时，各层次的非一致性仍有可能积累起来，引起最终分析结果较严重的非一致性。

设B层中与A_j相关的因素的成对比较判断矩阵在单排序中经一致性检验，求得单排序一致性指标为CI(j)，(j=1，2，…，m)，相应的平均随机一致性指标为RI(j)、CI(j)、RI(j)已在层次单排序时求得，则B层总排序随机一致性比例为

当时CR＜0.10时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果。

AHP的基本步骤可以通过流程图，如附图9-1得以展示。