简明判定重言式方法-实用逻辑学

第五节　关于重言式的判定

复合判断有五种最简单、最基本的真值形式，它们是：

否定式：

析取式：P∨q

合取式：P∧q

蕴涵式：P→q

等值式：P↔q

由这五个真值形式，经过各种组合，还可以变成更多的各种复杂真值形式。例如：

等等。

在复合判断的真值形式中，有些真值形式的值是常真的，即无论其中的变项取什么值（真或假），它的值总是真的。其值常真的真值形式，就叫做重言的真值形式，简称为重言式。例如：

就是一个重言式。因为当P真时，P∨P是真的；当P假时，P∨P还是真的。但是，如：

则不是一个重言式。因为在其中的变项取值（真或假）后，它有时为真，有时为假。

以上两式的真值情况，可用下列真值表判定：

每一正确的推理形式都有一个相当的重言式。比如前面介绍的充分条件假言推理的肯定前件式和否定后件式：

就是两个正确的推理形式。用蕴涵式则表示为：

这两个蕴涵式的真值表如下：(www.xing528.com)

从表中可以看出，（（P→q）∧P—→）q与（（P→q）∧—→）这两个蕴涵式的值总是真的，所以这两个蕴涵式为重言式。

再如充分条件假言推理的否定前件式和肯定后件式：

即

（（P→q）∧P—→）q（（P→q）∧q—→）P

这两个蕴涵式的真值表如下：

从表中可以看出，（（P→q）∧P—→）q与（（P→q）∧q—→）P这两个蕴涵式的值有真有假，所以它们不是重言式，只是协调式。

从以上可知，真值表是判定一个真值形式是否为重言式的一种有效的方法。从理论上说，任一真值形式，因为它是有限构成的，因此都能用真值表判定。但实际上，当用它来判定一个含有多项的表达式时，由于肢命题较多，其全部可能的真值组合情况的数目也相应增加（因为变项的真值的可能组合公式为2ⁿ，“n”表示变项的数目，“2”为真假逻辑值）。如果某一表达式所含变项有三个，那么其可能的真值组合就为2³，即为8，也就是需列出并计算八行真值；如果变项有四个，那么其可能的真值组合就为2⁴，即为16，也就是需列出并计算十六行真值，这样，就使得这种方法的运用非常麻烦，很不方便，很繁琐。因此，有必要把真值表的方法加以简化。于是，人们就在真值表方法的基础上提出了简化真值表的方法，叫归谬赋值法。虽然这种方法只适用于判定蕴涵式以及能换为蕴涵式的等值式和析取式，但是，由于要判定的真值形式往往是蕴涵式（因为它们代表推理形式），因此，归谬赋值法仍是一种非常有用的判定方法。

归谬赋值法的主要思想是：为了说明一个蕴涵式是重言式，我们证明：对其中的变项无论赋什么值，前件A真而后件B假是不可能的，即如果前件真而后件假，则变项赋值时必然导致逻辑矛盾。

下面通过一个具体例子介绍归谬赋值法的具体运用。

由上例可以看出，归谬赋值法可分为三个步骤：

第一步，假定被判定的真值形式（蕴涵式）是假的。为此，在上例中，首先应在该公式的主联结词“→”下边写上“F”（见行（1））。

第二步，从这一假定出发，根据五个真值联结词的真值表，依次对公式中的各部分公式赋以相应的真值，直到所有的变项都被赋以确定的真值为止。见（2）、（3）、（4）、（5）行（注意：如果有多于一种的真值指派，则需对各种指派进行考察）。

第三步，检查所有变项的真值，如果其中至少有一个变项既真又假，即出现了逻辑矛盾（注意：如果有多于一种真值指派，则需每种指派时都出现逻辑矛盾），那么，可以证明被判定的公式不可能为假，只能为真，因而它是一个重言式；如果并未导致逻辑矛盾，这就证明原假定成立，因而被判定的公式不是重言式。

下面再举一具体例子来说明归谬赋值法的运用。

其中命题变项s有赋值矛盾，故该真值形式为重言式。这就是前面介绍的二难推理的复杂破坏式。