实用逻辑学：三段论的三个项及公理要求

第三节　三段论

一、三段论概述

三段论是由两个包含着一个共同项的性质判断为前提，推出一个新的性质判断作结论的演绎推理。例如：

　所有金属都是有光泽的；

　铁是金属；

　所以，铁是有光泽的。

　所有真理都是不怕批评的；

　马克思主义是真理；

　所以，马克思主义是不怕批评的。

任何三段论都有以下两个特点：

1）它是由三个性质判断组成；

2）有三个不同的概念做主项和谓项。

其中前面两个性质判断是已知判断，是三段论的前提，最后一个性质判断是由前提判断合乎逻辑地推出的新判断，是三段论的结论。在上面两个三段论中，“所以”前面的两个判断都是前提，后面的判断是结论。

任何一个三段论都包含着三个不同的项，即小项、大项和中项。结论中的主项称小项，用“S”表示，如前面两个例子中的“铁”和“马克思主义”；结论中的谓项叫做大项，以“P”表示，如前例中的“有光泽的”和“不怕批评的”；两个前提中共有的项叫做中项，以“M”表示，如前例中的“金属”和“真理”。

在两个前提中，含有大项的前提叫做大前提，如前例中的“所有金属都是有光泽的”和“所有真理都是不怕批评的”；具有小项的前提叫做小前提，如前例中的“铁是金属”和“马克思主义是真理”。

三段论这种推理形式是我们在实践中经常使用的一种推理形式，必须给以足够的重视。古希腊逻辑学家亚里士多德，就已经提出了相当完整的三段论理论，但是亚氏夸大了三段论的作用，认为三段论是推理的全部，其他的推理，如假言推理、选言推理甚至归纳推理都可以还原为三段论。这显然是错误的。从现代逻辑的眼光来看，三段论只不过是演绎推理的一小部分而已。不仅不是演绎推理的中心，更不是推理的全部。但是，就一般的实际思维来说，三段论确实是一种经常应用的推理形式，所以，我们一定要掌握它。

二、三段论的公理

三段论推理为什么能从前提必然地推出结论呢？这是以三段论的公理为依据的。

三段论的公理和数学中的公理一样，是有客观依据的。它们都是客观事物的最一般、最普遍关系在人们意识中的反映，是在人类亿万次的实践中总结出来，并为实践所反复证实的，从而具有不需逻辑证明而自明的性质。它们是逻辑证明的基本依据。

三段论的公理是：一类事物的全部是什么或不是什么，那么这类事物中的部分也是什么或不是什么。换句话说，如果对一类事物的全部有所断定，那么对它的部分也就有所断定。三段论的公理可以用下图来表示：

图（1）　

图（2）

在图（1）中，M类包含在P类中（M类的全部是P），则M类中的一部分（S）也包含在P类中（S是P）。在图（2）中，M类和P类相排斥（M类的全部不是P），则M类中的一部分（S）也和P类相排斥（S不是P）。

三段论就是根据这个公理来进行推理的。以下面两个三段论为例：

（1）凡金属（M）都导电（P）；

　　 铁（S）是金属（M）；

　　 所以，铁（S）导电（P）。

（2）哺乳动物（M）都不是用腮呼吸的（P）；

　　 鲸（S）是哺乳动物（M）；

　　 所以，鲸（S）不是用腮呼吸的（P）。

在例（1）中，大前提指出了金属这一类都是导电的，小前提指出了铁是金属这一类中的一部分，这样，根据三段论公理，我们就可以推出“铁导电”这个结论来。在例（2）中，大前提指出了哺乳动物这一类都不是用腮呼吸的，小前提指出了鲸是哺乳动物这类中的一部分，由三段论公理，于是我们得出“鲸不是用腮呼吸的”这个结论来。

三、三段论的规则

为了从前提必然地推出结论，三段论必须遵守一定的规则。概括起来共有七条，前面三条是关于词项的，后面四条是关于前提的。

（一）词项规则

1.在一个三段论中只能有三个不同的项，即小项、大项和中项

我们在考察三段论的结构时就指出，三段论虽然有三个判断，但它却只能有三个不同的词项，不能多，也不能少。

如果三段论中只有两个词项，即S和P，那么这两个词项便因缺少作为中介的中项而使它们之间的关系不能确定；如果三段论中不是三个词项而是四个词项，则大项与一个词项发生关系，小项与另一个词项发生关系，这样大项和小项就没有共同与之发生联系的中项，因而大、小项的关系也就不能借助于中项来确定。所以，一个三段论只能有三个不同的词项，不能多，也不能少。

三段论中如果出现四个词项，就叫做“四项错误”，或叫做“四概念错误”。这种错误常见于两种情况：

（1）前提是两个没有任何联系的判断。例如：

　　 燕子是候鸟；

　　 老虎是猛兽；

　　 所以，？

这两个判断因为没有一个共同概念起媒介作用，所以不能从中得出任何结论。

（2）两个前提中的中项，虽然是同一语词，但不表达同一概念。例如：

　　 物质是永恒不灭的；

　　 恐龙是物质；

　　 所以，恐龙是永恒不灭的。

这个推理的结论显然是错误的。恐龙在地球上早已绝迹。前提的词项“物质”是表达的两个不同概念：大前提中的“物质”是哲学范畴，是永恒不灭的；小前提中的“物质”是具体的物质形态，是有始有终的，不是永恒的。

2.中项在两前提中至少要周延一次

如果两个中项都不周延，就是说，中项的一部分和大项发生关系，一部分和小项发生关系，那么中项就不可能起到联结大、小项的作用，就不能制约大、小项之间的关系，就不能必然地得出结论。如果中项有一个是周延的，就是说，有一个中项的全部同大项或小项发生了联系，中项的全部都介入了大、小项的关系之中，这样才能起到联结大、小项的作用，才能制约着大、小项的关系，才能必然地得出结论。因此，中项至少要周延一次。凡是有效的三段论，中项都必须要周延一次。

两个中项都不周延，就叫做“中项不周延的错误”。例如：

　一切金属都是可塑的；

　塑料是可塑的；

　所以，塑料是金属。

在这个三段论中，中项“可塑的”在两个前提中都不周延，因此，“塑料”和“金属”之间的关系便不能确定。这里硬性确定“塑料是金属”，就不是从前提中必然推出的结论，所以这个推理是错误的。

《伊索寓言》中有只吃惯了鸡蛋的狗，有一次误吃了海螺，从逻辑上分析，就因为在它的思维过程中犯了“中项不周延的错误”。其典型形式是：

　　一切鸡蛋都是圆的；

　　这东西是圆的；

　　所以，这东西是鸡蛋。

于是，它就把“这东西”吞进了肚里去。

3.在前提中不周延的项，在结论中也不得周延

三段论的前提蕴涵着结论。如果在前提中不周延的项在结论中周延了，即在前提中断定的是一个项的部分外延，而在结论中却断定了它的全部外延，那么由于部分并不蕴涵全部，因此结论就不具有必然性。要使结论具有必然性，前提中不周延的项在结论中也就不应周延。

违反这条规则就会出现两种错误：

其一是“大项扩大的错误”，即大项在前提中不周延，而在结论中变得周延了。例如：

科学技术是我们应当重视的；

文艺不是科学技术；

所以，文艺不是我们应当重视的。

在这个三段论中，大项“我们应当重视的”在大前提中是肯定判断的谓项，不周延，而在结论中却是否定判断的谓项，周延了，从而犯了“大项扩大的错误”。

其二是“小项扩大的错误”，即小项在前提中不周延，而在结论中变得周延了。例如，鲁迅在《论辩的魂灵》一文中，曾对某些复古派的逻辑加以揭露，概括了他们的一种荒谬的推理：

甲生疮；

甲是中国人；

所以，中国人生疮。

这个推理之所以荒唐可笑，就因为小项“中国人”在小前提中是肯定判断的谓项，不周延，而在结论中却是全称肯定判断的主项，周延了，从而犯了“小项扩大的错误”。

（二）前提规则

词项的规则是三段论规则中最基本的规则，后面四条前提的规则都可以根据前三条推导出来，因而相对说来，是派生的规则。

1.从两个否定前提不能得出结论

如果两个前提都是否定的，那么大项和小项都与中项相排斥（因为否定判断的主谓项是全异概念），这样，中项就不能起到联结大项和小项的媒介作用。在这种情况下，大项和小项就可处于各种不同的关系中，如全同关系、真包含关系、真包含于关系、交叉关系、全异关系等，因此，就不能通过中项来确定大项和小项的关系，得不出确定的结论。例如：

　中学不是大学；

　这所学校不是中学；

　所以，这所学校（？）。

由上述两个否定前提不能确定这所学校到底是不是大学。

2.两个前提中如果有一个是否定的，则结论是否定的；如果结论是否定的，则必有一前提是否定的

两前提中若有一个是否定的，则另一个必须是肯定的，因为两个否定前提不能得出结论。当前提中有一个是否定的时候，词项的关系不外乎两种情况：

（1）中项与大项相排斥而与小项相联系；

（2）中项与小项相排斥而与大项相联系。无论哪种情况，小项和大项总是排斥的。例如：

　　任何事物都不是固定不变的；

　　人类社会是事物；

　　所以，人类社会不是固定不变的。

这个推理的大前提是否定的，中项“事物”和大项“固定不变的”相排斥，而和小项“人类社会”相联系，所以只能得出一个否定结论：“人类社会不是固定不变的”。

再比如：

　蛇是无足的；

　这种动物不是无足的；

　所以，这种动物不是蛇。

这个推理的小前提是否定的，中项“无足的”和大项“蛇”相联系，而和小项“这种动物”相排斥，所以，只能得出一个否定的结论：“这种动物不是蛇”。

总之，不论哪种情况，结论必然是否定的。

3.两个特称前提不能得出结论

两个前提如果都是特称的，则前提的组成情况不外乎以下三种：（1）II型；（2）OO型；（3）IO（或OI）型。而不论是其中的哪一种情况，都不能得出结论。

（1）假如两个前提都是特称肯定判断，即II型，则这两个前提中没有一个项是周延的。这样，不论哪一个项做中项，都是不周延的，根据以上所讲规则（一）2，不能得出结论。例如：

　　有些学生喜欢游泳；

　　有些学生喜欢读诗；这两个前提都是特称肯定判断，它们的中项“学生”都不周延，而规则（一）2告诉我们，中项至少要在前提中周延一次，所以，根据这两个前提不能断定喜欢读诗的人和喜欢游泳的人的关系，因而不能得出结论。

（2）假如两个前提都是特称否定判断，即OO型，则根据规则（二）1，两个否定前提不能得出结论。例如：

　　有的青年不是团员；

　　张某不是团员；

这两个前提都是特称的，又都是否定的，从这两个前提不能断定张某是不是青年。

（3）假如两个前提中一个是特称肯定，一个是特称否定，即IO（或OI）型，则两前提中只有一项周延（特称否定判断的谓项）。这个周延的项，如果是中项，则大项在前提中就是不周延的，但是，因为有一个前提是否定的，结论便必然是否定的（根据规则5）；而结论否定，则结论中的大项周延，如此便犯了“大项扩大的错误”。假如前提中惟一周延的项是大项，则又犯了“中项不周延的错误”。这样，或犯“中项不周延的错误”，或“犯大项扩大的错误”，二者必居其一，因此不能得出结论。

4.如果有一个前提是特称的，只能得出特称的结论

根据规则（二）3，两特称前提不能得出结论，所以两前提如有一个是特称的，则另一个必是全称的。这样，两个前提的组合情况共有三种：AI型；AO（或EI）型；EO型。在这三种情况中，假如能得出结论，则只能得出一个特称结论。

（1）两前提（一全称，一特称）都是肯定的，即AI型，如此则只有全称判断的主项周延，而其他三个项都不周延。这个周延的项必须是中项（根据规则2），不然就不能得出结论。其余三个不周延的项中有一个是小项，这样，小项在前提中不周延，在结论中也不能周延，所以结论是特称的。例如：

　　有神论者都是唯心主义者；

　　有些老年人是有神论者；

　　所以，有些老年人是唯心主义者。

（2）两前提（一全称，一特称）一个是肯定的，一个是否定的，即AO或EI，如此则全称判断的主项周延，否定判断的谓项周延。这两个周延的项，一个必须是中项（根据规则2），一个必须是大项（根据规则5：“两个前提中如果有一个是否定的，则结论是否定的；……”而否定判断的谓项应周延）。其余两个项不周延，这两个不周延的项中必有一个是小项（根据规则3），小项在前提中不周延，在结论中也就不能周延。所以，结论是特称的。例如：

　　所有三段论都是通过中项而得出结论的；

　　这些推理形式不是通过中项而得出结论的；

　　所以，这些推理形式不是三段论。

（3）两前提（一全称，一特称）都是否定的，即EO型，如此，根据规则（二）1不能得出结论。

四、三段论的格与式

（一）三段论的格

1.什么是三段论的格

所谓三段论的格，就是中项在前提中的不同位置所形成的三段论的形式。(www.xing528.com)

三段论有四个不同的格：

第一格：中项M是大前提的主项，小前提的谓项。其结构是：

如：所有真理（M）都经得起实践的检验（P）；

　　达尔文的进化论（S）是真理（M）；

　　所以，达尔文的进化论（S）经得起实践检验（P）。

第二格：中项在两前提中都是谓项。其结构是：

如：凡恒星（P）都能自身发光（M）；

　　地球（S）不能自身发光（M）；所以，地球（S）不是恒星（P）。

第三格：中项M在大、小前提中都是主项。其结构为：

如：黄铜（M）不是金子（P）；

　　黄铜（M）是闪光的（S）；

　　所以，有些闪光的（S）不是金子（P）。

第四格：中项M是大前提的谓项，小前提的主项。其结构为：

如：有些押韵的作品（P）是诗（M）；

　　所有诗（M）都是文学作品（S）；

　　所以，有些文学作品（S）是押韵的作品（P）。

2.各格的特殊规则

根据三段论的规则，各个格又引申出各自的特殊规则。

第一格的特殊规则是：（1）小前提必肯定；（2）大前提必全称。

我们采取论证中的反证法来证明：

（1）小前提必肯定　如果小前提否定，则大前提必肯定，因为两个否定前提不能得出结论（根据规则（二）1）。大前提肯定，则大前提中的谓项不周延，而大前提中的谓项在此格中是大项，因此，大项在大前提中不周延。

如果小前提否定，则结论必否定（根据规则（二）2）。而结论否定，则结论中的谓项即大项必周延。

如此，大项在前提中不周延，而在结论中周延，这就犯了“大项扩大的错误”（根据规则（一）3）。这种错误是由于小前提否定造成的。所以，小前提必肯定。

（2）大前提必全称　小前提肯定（已证），则小前提中的谓项不周延。小前提中的谓项在此格中是中项，而中项在小前提中不周延。

但中项在两前提中至少有一次是周延的（根据规则（一）2），所以，中项在大前提中必须周延。

而中项在此格的大前提中是主项，所以，大前提必定是全称判断。

第二格的特殊规则是：（1）两前提中必有一个是否定的；（2）大前提必全称。

第三格的特殊规则是：（1）小前提必肯定；（2）结论必特称。

第四格的特殊规则是：（1）如两个前提中有一否定，则大前提全称；（2）如大前提肯定，则小前提全称；（3）如小前提肯定，则结论特称；（4）任何一个前提都不能是特称否定；（5）结论不能是全称肯定。

第二、三、四格的特殊规则，读者均可利用反证法证明。

3.各格的意义

第一格大前提指出的是关于一类的情况，小前提又把某些事物归到这一类之中，从而推出某些事物情况的结论，所以，它最能体现三段论的公理，演绎推理的逻辑性质最明显、最自然，同时它的结论还可以是A、E、I、O中的任何一种判断。所以，它的用途广泛，凡是运用普遍原理去解决特殊问题时，都常常使用它。正因为如此，人们把它称为“完善的格”、“标准的格”、“典型的格”。除此之外，第一格对司法审判有特别重要的意义。法庭根据有关法律条款，结合具体案情，作出判决时，就使用第一格，因此，有的逻辑书又把第一格叫做“审判格”。

第二格的前提中总有一个是否定的，所以，它的结论是否定的，用以说明一个事物不属于某一类，因此，第二格常被用来指出事物之间的区别，叫“区别格”。同时第二格常被用来反驳与之相矛盾或反对的肯定判断。

第三格只能得出特称结论，因此，当我们指出特殊情况来反驳与之相矛盾的全称判断时，常常使用第三格，因此它叫做“反驳格”。又由于它在反驳中通常采用举例的方法，人们又把它称为“例证格”。

第四格在人们认识事物、表达思想的活动中虽然也有某种作用，但它的实践意义不大，也不经常使用。

（二）三段论的式

所谓三段论的式是由于前提和结论的质、量的不同而形成的不同形式的三段论。或者把它说成是A、E、I、O四种性质判断在两前提、一结论中的各种不同组合的形式。例如：

（1）金属都是导电体（A）；

　　 铁是金属（A）；

　　 所以，铁是导电体（A）。

（2）鸵鸟不会飞（E）；

　　 鸵鸟是鸟（A）；

　　 所以，有些鸟不会飞（E）。

例（1）的大、小前提和结论都是由A型判断组成的三段论，叫AAA式。例（2）的大前提和结论都是E判断，小前提是A判断，叫EAE式。

在三段论中，大、小前提和结论都可能是A、E、I、O四种判断，因此，按前提和结论的质、量不同排列，可有4×4×4=64个式。但这64个式并非都是正确或有效的式，如EEE式，违反了两否定前提不能得出结论的规则，III式违反了两特称前提不能得出结论的规则，这些都是不正确的式，都要去掉。根据三段论的规则，把不正确的式去掉以后，只剩下十一个符合规则的正确的式，即AAA，AAI，AEE，AEO，AII，AOO，EAE，EAO，EIO，IAI，OAO。

把这十一个式按照各格的特征和特殊规则分配到四个格中去，共有24个式：

表中方括弧里的式叫做弱式，弱式就是能得出全称结论却得出特称结论的式，如第一格中的AAI式，小前提全称，小项在前提中周延，但在结论中不周延，得出的结论是特称的，这就是弱式。弱式结论本身虽然没有错，但就推理而言，它没有把应当推出的东西全部显示出来，因此弱式是一种不完全的推理，可以把它从完全正确的式中去掉。于是，三段论便有19个正确式（有效式）。

三段论的式也是有意义的。当我们遇到三段论的复杂场合，需要对前提间的联系，以及前提推出结论的内容进行分析时，就需要运用三段论式的知识，在了解格的前提下，找到适当的式，以判明其是否正确。

五、三段论的省略式

（一）什么是三段论的省略式

三段论由大前提、小前提和结论三个部分组成。在逻辑结构方面，以上任何一个部分都是必要的，不可省略的。但在语言形式上，人们为了简练起见，可以省略其中的任何一部分。这种在语言形式上省略了一部分的三段论就叫做三段论的省略式，或省略三段论。例如：

“君自故乡来，应知故乡事。”

这个句子表达的推理，就是三段论的省略式。现把它的完整推理形式整理如下：

凡是从故乡来的人都应知道故乡的事；

你是从故乡来的人；

所以，你应知道故乡的事。

（二）三段论省略式的形式

1.省略大前提的形式

在三段论的表达中，大前提没有被表达出来的形式，就是省略大前提的形式。例如：

“纺织工人要视厂如家，因为纺织工人是工人。”

这个三段论的省略式中，大前提“工人要视厂如家”没有被表达出来。

省略大前提的形式常常在大前提所反映的一般原理是人们较为熟悉的道理时被使用。

2.省略小前提的形式

在三段论的表达中，小前提没有被表达出来的形式，就是省略小前提的形式。例如：

“原子核是由质子和中子组成的，所以氧原子核是由质子和中子组成的”。

这是一个省略了小前提的三段论，它被省略的小前提是“氧原子核是原子核。”

省略小前提的形式常常在小前提反映的对象与大前提所反映的全部对象之间联系较为明显时被使用。

3.省略结论的形式

在三段论表达中，结论没有被表达出来的形式，就是省略结论的形式。例如：

“驻外工作人员要以祖国的利益为重，我们是驻外工作人员。”

这个三段论的省略式中，结论“我们要以祖国的利益为重”没有被表达出来。

省略结论的形式常常在结论不言自明，不予点破反而会增强表达能力时被使用。

省略式的优点在于使所要表达的思想简明有力，但是被省略的部分可能掩盖着错误，我们在运用省略式时必须加以注意，不要因省略的部分而导致错误。

为了检查和揭露省略三段论是否掩盖着错误，要把省略推理还原为完整的三段论，把省略的部分恢复过来。这样就容易判明它是否正确。例如：

“他犯过错误，所以，他是不值得信任的。”这个省略三段论好像有错误，但不太明显。这个推理究竟有无错误？如有错，在哪儿？为了检查和揭露这个省略三段论的错误，我们就需要把它还原为一个完整的三段论。还原后的完整形式是：

所有犯过错误的人都是不值得信任的；

他犯过错误；

所以，他是不值得信任的。

这样一来，这个省略三段论的错误就明显了，它的错误在于省略的大前提是虚假的。

再如：

“他不是学生，所以他不必勤勤恳恳地读书。”这也是一个省略三段论，补充成完整的形式即为：

所有学生都必须勤勤恳恳地读书；

他不是学生；

所以，他不必勤勤恳恳地读书。它是第一格形式的三段论，第一格三段论的特殊规则要求小前提必肯定，而这儿的小前提是否定的，所以它是一个形式错误的三段论。

六、三段论的复杂式

由两个或两个以上的简单三段论构成的推理叫三段论的复杂式。它包括三种类型：

1.复合式

三段论的复合式又叫复合三段论。它是由前后相继的一系列简单三段论组成的推理形式。联结方式是前一个三段论的结论作为后一个三段论的前提。例如：

民间叙事诗是叙事诗；

叙事诗是诗歌：

所以，民间叙事诗是诗歌；

诗歌是文学作品；

所以，民间叙事诗是文学作品；

文学作品是文艺作品；

所以，民间叙事诗是文艺作品。

这个复合三段论是由三个三段论结合在一起组成的。第一个三段论的结论作为第二个三段论的小前提，第二个三段论的结论作为第三个三段论的小前提。

复合三段论通常有两种类型：（1）前进式复合三段论，即前一个三段论的结论作为后一个三段论的大前提而构成的推理形式。（2）后退式复合三段论，即前一个三段论的结论作为后一个三段论的小前提而构成的推理形式。以上的举例就属于此类推理形式。

2.连锁式

三段论的连锁式也叫连锁三段论。它是复合三段论的省略式，它省略掉复合三段论中的一系列中间结论。例如：

民间叙事诗是叙事诗；

叙事诗是诗歌；

诗歌是文学作品；

文学作品是文艺作品；

所以，民间叙事诗是文艺作品。

连锁三段论只保留最后一个结论，其他结论都省略了。

3.带证式

带证式三段论也叫带证推理。它的前提本身就带有能够证明自己真实性的三段论的省略式，所以叫带证式。例如：

真理是不怕批评的，因为真理是客观规律的正确反映；

达尔文的进化论是真理，因为它是物种产生、发展规律的正确反映；

所以，达尔文的进化论是不怕批评的。

在这个带证式中，大前提和小前提都是省略推理。大前提的完整形式为：

凡客观规律的正确反映都是不怕批评的；

真理是客观规律的正确反映；

所以，真理是不怕批评的。

小前提的完整形式是：

凡物种产生、发展规律的正确反映就是真理；

达尔文的进化论是物种产生、发展规律的正确反映；所以，达尔文的进化论是真理。

这是一个比较复杂的带证式三段论，它的两个前提都是省略推理。除此之外，还有另一种带证式三段论：两个前提中只有一个是省略推理，而另一个则是单一的性质判断。

带证式推理的前提所附带的证明可以是演绎式的，也可以是归纳式的。由于这种推理的前提有一定根据，所以，运用它进行论辩，就具有较强的说服力。