盈不足术及其在解题中的应用

　　盈不足问题构成《九章》的第七章。它的典型问题是：今有共买物，人出a1，盈b1，人出a2，不足b2，问人数、物价各多少？《九章》的第一种方法是：“置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，并以为实，并盈、不足为法，实如法而一”。此即求出实，法，设所求人数为u，物价为v，那么
　

　　便是每人应出的不盈不亏的数。对共买物的问题，“置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为物价，法为人数”，即
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　　刘徽以齐同原理论证了它的正确性。此是先同盈、不足为，所出率须与盈、不足相齐，变成，问题成为b2次所出a1，共盈，b1次所出a2，共不足。 因此次共出，则不盈不亏，每次所出为。而是众人之差，它是由一人之差积累而成的，因此便是人数，这也证明了《九章》第二种方法的正确性。第二种方法给出公式，。《九章》还给出了两盈、两不足、盈适足与不足适足类问题的解法。

　　任何一个算术问题，假设一个答案，代入原题验算，都必定会出现盈、不足、适足这三种情况之一，两次假设，便成为一个盈不足问题，公式(1)就是为这些问题提出的。以“油自和漆”问为例。已知漆3可以换油4，而油4可调和漆5。现有漆3斗，欲拿出一部分换油，使换得的油恰好能调和剩余的漆。问用于换油的漆，换得的油，要调和的漆各多少？其解法是：假令用于换油的漆9升，则换得油12升，可调和漆15升，30-(9+15)=6，不足6升；假令用于换油的漆12升，则换得油16升，可调和漆20升，(12+20)-30=2，有余2升。代入(1)式，用于换油的漆是(升)，换得油15升，调和的漆升。

　　中国数学发展的早期，对复杂的问题常用这种两次假设的方法化成盈不足问题解决。这种方法对线性问题可以得出准确的答案，而对非线性问题只能得出近似解，这是《九章》的作者没有认识到的。例如：有一堵墙厚5尺，两只老鼠对穿，第一天都穿1尺，从次日起，大鼠一天天加倍，小鼠一天天减半，问两鼠何日相逢？《九章》的解法是：假令2日，不足5寸，假令3日，有余3尺寸，代入(1)式，得日。但此题是非线性的，准确解应为。然而，即使在高等数学中，对复杂的问题用盈不足术求解也不失为一种有效的方法，如求f(x)=0的根的假借法或弦位法，其原理便是盈不足术。

　　盈不足术传入阿拉伯和西方之后，长期成为他们解决数学难题的主要方法。阿拉伯人把它称为契丹算法，又称作双设法。