在本章内我们将研究一下古典物理学的空间。换句话说，我们将为物理学中所用的几何名词找出一种“解释”（不一定就是唯一可能的解释）。有关空间产生的问题比有关时间产生的问题要复杂困难得多。部分原因是由于相对性带来的一些问题。但是目前我们将不去管相对性，而是按照爱因斯坦以前的物理学的看法，把空间作为可以与时间分开的东西来处理。
在牛顿看来，同时间一样，空间也是“绝对的”；这就是说，它是一组点的集合，每个点都不能再有结构，每个点都是物理世界的最后组成部分。每个点都是永久存在而不发生变化的；变化只在于有时它被一块物质所“占有”，有时被另一块物质所“占有”，有时不被任何东西所“占有”。与这种看法相反，莱布尼兹主张空间只是一个由关系组成的体系，这些关系中的项是物质的点而不是仅仅属于几何学上的点。虽然物理学家和哲学家越来越倾向于采用莱布尼兹的看法而不是牛顿的看法，数理物理学的方法却仍然是牛顿式的。在数学的体系内，空间仍然是由“点”组成的集合，其中每个点都由三个坐标来确定，而“物质”则是由“质粒”组成的集合，其中每个质粒在不同时间占有不同的点。如果我们不想同意牛顿的看法，而认为点具有物质的真实性，那么我们对于这个体系就需要作出某种解释，好让“点”具有结构的定义。
我用了“物质的真实性”这个词，人们可能认为它形而上学味道太重。我的意思可以用更合乎现代人口味的形式，即通过最小量用语的方法来表示。如果我们有一组名称，那么就可能有一些被命名的事物具有借其他事物而得到的结构性定义；在这种情况下，将出现一组不包括可以用定义代替的名称的最小量用语。例如，每个法国人有一个专有名称，而“法国民族”也可以被认为是一个专有名称，但是它却是一个不必要的专有名称，因为我们可以说：“法国民族”的定义是“由下面各个个体（接着列出名单）组成的集合”。这样一种方法只适用于有限集合，但是有一些别的方法却不受这种限制。我们可以用地理上的边界来给“法国”下定义，然后再用“生在法国的人”来给“法国人”下定义。
这种用结构性定义来代替名称的方法在实际应用上显然是有限度的，或许（虽然我们可以怀疑这一点）在理论上也有它的限度。为了简便起见，假定了物质是由电子和质子所构成，在理论上我们就能够给每个电子和质子一个专有名称；然后我们就能通过说出在不同时间内构成一个个体的人的身体的电子和质子给这个人下定义；这样，个体的人的名称在理论上就成了多余的了。一般说来，凡是具有可以发现的结构的事物都不需要名称，因为我们可以用它的组成部分和表示组成部分之间关系的词来给它下定义。另一方面，凡是没有已知结构的事物都需要名称，如果我们想做到能够表达我们的全部与它有关的知识的话。
我们可以看出指示性定义并不能使名称变成多余的东西。例如“亚历山大王的父亲”是一个指示性定义，但是它却不能让我们表示出当时的人用“这是亚历山大王的父亲”所表示的那件事实，这里“这”字起的就是一个名称的作用。
如果我们一方面不承认牛顿的绝对空间的学说，一方面在数理物理学中又继续使用我们所谓的“点”，我们这样做的唯一理由就是“点”和（理论上）特殊的点具有结构性定义。得出这类定义的方法一定和我们在给“瞬间”下定义时所使用的方法相似。可是它却受两个条件的限制：第一，我们的点簇将是三度的；第二，我们必须给在一个瞬间的点下定义。说在一个时间的P点和在另一个时间的Q点相同，除了表示一种由实轴的选择所决定的约定习惯之外，等于没有说出什么具有确定意义的东西。因为这个问题与相对性有关，所以我现在不再去谈它，而将注意力完全放在一定瞬间的点的定义上，同时不去管那些与同时性的定义有关的困难。
下面我将不强调我所采用的那种构成点的特殊方法。其他方法也是可能的，其中有一些还可以采用。重要的只在于人们可以设计这些方法。在给瞬间下定义时，我们使用过时间意义上的“部分重合”关系——一种两个事件在（用普通的话来说）一段时间内共同存在所具有的关系。在给点下定义时，我们使用空间意义上的“部分重合”关系，这种关系存在于两个同时发生的事件之间，而这两个事件（用普通的话来说）全部或有一部分占有同一个空间领域。我们可以看到事件不像物质，我们不能把它们看作互不渗透的东西。物质的不可渗透性是从它的定义以重言式的方式推导出来的一种属性。而“事件”却只被定义为假定不再具有结构，并且有着类似那些属于有限体积和有限时间段落的空间和时间关系的项目。在我说“类似”时，我所说的是“逻辑性质上的类似”。但是“部分重合”本身却不能从逻辑上给它下定义；它是一种从经验中得知的关系，在我主张的这种结构中它只有实指的定义。
在一度以上的簇内，我们不能通过“部分重合”这种两项关系来构成任何具有“点”所应当有的那些性质的东西。作为一个最简单的实例，让我们在一个平面上划定几块面积。一个平面上的A、B、C三块面积可能每块都与其他两块部分重合，而三块面积之间却没有一个共同的领域。在附图中圆A与长方形B和三角形C部分重合，并且B与C部分重合，但是A、B、C却没有一个共同的领域。我们的结构的基础将必须是三块面积之间的关系，而不是两块面积之间的关系。我们将说如果三块面积有一个共同的领域，那么它们“共点”。（这是一个说明，不是一个定义。）
我们将假定我们所谈的面积都不是圆就是把圆加以伸展或压缩而得到的扁圆形。在这种情况下，如果已知三块共点的面积A、B、C，另外有这样一个第四块面积D，则A、B、D共点，A、C、D和B、C、D也共点，那么A、B、C、D四者之间具有一个共同的领域。
我们现在把一组任何数目的面积定义为共点，如果从这一组中选出的任何三块面积都共点。一组共点的面积是一个“点”，如果扩大它就不能使它保持共点关系，换句话说，如果已知X为这组面积以外的任何一块面积，在这组里就有着A、B两块面积，使得A、B、X不是共点关系。
这个定义只能应用在两度空间。在三度空间内，我们必须从四个体积之间的共点关系来着手，而所谈的这些体积都一定不是球体就是那些通过对球体不断在某些方向进行伸展而在另外一些方向进行压缩所得出的扁圆的体积。然后跟以前一样，一组共点的体积就是一组其中每四个体积都是共点关系，并且一组共点的体积是一个“点”，如果扩大它就不能使它保持共点关系。
在几度空间内，定义仍然相同，除了最初的共点关系一定是在n＋1个领域之间。
通过上面的方法，“点”被定义为事件的集合，每个事件被默认为“占有”一个大体扁圆的领域。
在目前的讨论中，我们可以把“事件”当作可以推导出几何定义的不下定义的素材。在别的地方我们可能要探讨“事件”是什么意思，并从而作出进一步的分析[2]，但是目前我们却把“事件”簇以及事件的空间和时间关系当作经验的材料。
从我们的假定得出空间顺序的方法是比较复杂的。这里我将不去讲它，因为我在《物的分析》中讨论过这个问题，在该书中关于“点”的定义的讨论也比较充分。(www.xing528.com)
我们必须谈一下空间的测量性质。天文学家在通俗著作里首先告诉我们说，许多星云距离我们多么遥远，然后又告诉我们说宇宙毕竟是有限的，因为它是与球面相似的三度体积。但是天文学家在不太通俗的著作里告诉我们说测量只是一种约定习惯，只要我们愿意，我们就能够采取一种会使北半球的已知最远的星云变得比两极距离我们还近的办法。如果这样的话，宇宙的广大就不是一种事实而是一种方便。我认为这有一部分正确，但是把测量中的约定因素剔开并不是什么容易的事。我们必须先谈一下测量的基本形式，然后进行这项工作。
测量，包括对于遥远的星云的测量，都是根据对于地球表面上距离的测量来进行的，而地面测量的最初假定就是可以把某些物体看成近似刚体。在你测量你的房间大小的时候，你假定所用的英尺在测量过程中不会有看得出来的长短上的增损。英格兰的官方陆地测量大多数都是通过分面积为若干三角形的办法来确定距离的，但是这种方法要求至少有一个距离要直接测量。事实上，我们选择萨利斯柏里平原上一条基线，用我们测量房间的基本方法来进行仔细的测量。我们拿一条定义为单位长度的链尺沿着一条无可再直的直线反复在地球表面上使用。等到我们把这一段长度直接确定下来，剩下的就通过角的测量和计算来进行：地球的直径，太阳和月亮的距离，甚至连较近的恒星的距离都可以不通过直接测量来确定。
但是如果我们仔细考察一下这种方法，我们就会发现充满了困难。除非我们已经建立一种测量标准，使得我们能够对于某一时间的长度和角与另一时间的长度和角进行比较，认为一个物体是“刚硬的”那种假定就没有明确的意思，因为一个“刚”体是不改变它的形状和大小的。然后我们还要对“直线”下定义，因为如果萨利斯柏里平原上那条基线和在划分三角形的方法中使用过的直线不直，那么我们的全部结果就都不会正确。所以看来测量要先假定几何学（使我们能给“直线”下定义）和足够的物理学来为把某些物体看成近似刚体和对于某一时间的距离与另一时间的距离进行比较提供理由根据。所涉及的这些困难是巨大的，但却被从常识接收过来的假定所掩盖住了。
一般说来，常识假定一个物体如果看来刚硬，那么它就是刚体。鳗鱼看来并不刚硬，但是钢条看来却是这样。另一方面，水波微动的溪底的石卵看来像鲤鱼一样蠕动，但是常识仍然把它看成刚体，因为常识认为触觉比视觉更为可靠，如果你赤脚过河你会感到石卵是刚硬的。在这种想法下，常识是合乎牛顿的学说的：常识确信在每个时刻一个物体本身具有一定的形状和大小，这种形状和大小与它在另一时刻的形状和大小不是相同便是不相同。如果我们有绝对空间，这种确信就具有一种意义，但是如果没有绝对空间，这种确信就是一眼就看出来的没有意义的东西。可是对于从常识的假定所得到的非常重大的成功一定有一种可以说明它的物理学的解释。
像时间的量度一样，这里涉及三个因素：第一，一个可以修改的假定；第二，根据这个假定，证明近似正确的物理学定律；第三，对于这个假定作出改动，使这些物理定律更接近精确。如果你假定一条看来和觉到刚硬的钢棒会保持它的长度不变，那么你就会发现从伦敦到爱丁堡的距离，地球的直径和天狼星的距离几乎都是固定不变的，但是在热的天气比在冷的天气下稍差。这样你就会想到这样说更为简单：钢棒因热而扩张，特别是当你发现这样说能够使你把上面所说的距离看成几乎完全固定不变，并且发现你可以看到温度计里的水银在热的天气占有更多的空间的时候。因此你假定表面看来刚硬的物体因热而扩张，而你这样做是为了使物理学定律的叙述简单化。
让我们弄清楚在这个方法中哪是约定的和哪是物理的事实。下面是一件物理的事实：如果两条感觉既不热又不冷的钢棒看来具有相同的长度，并且如果你对一条加热而把另一条放在雪里，那么当你第一次再来比较它们的时候加热的那一条看来比放在雪里的那一条稍微长些，但是当恢复你的房间的温度时它们这种区别又会消失。在这里我是假定先于科学的估计温度的方法：一个热的物体是一个令人感觉到热的物体，而一个冷的物体是一个令人感觉到冷的物体。作为这类粗略的先于科学的观察的结果，我们的结论是温度计把某种可以由我们的冷热感觉大概测量出来的事物精确地测量出来；这样作为物理学家，我们就能不去管这些感觉而把注意力集中在温度计上。于是我的温度计随着温度的增加而上升就是一个重言式，但是所有其他温度计都是这样却是一件实实在在的事实。这件事实说出我的温度计的行为与其他物体的行为之间的一个相似点。
但是约定的因素并不完全像我刚才说过的那样。我并不假定我的温度计从定义就知道是正确的；相反，人们一致认为每个实际的温度计或多或少都不精确。实际温度计只能接近于理想温度计，后者是一个使得物体随着温度上升而扩张这个普遍定律尽可能完全正确的温度计，如果我们把这个温度计当作精确的温度计的话。这是一件经验界的事实：通过遵守某些制造温度计的法则，我们可以让它们尽可能接近理想的温度计；正是这件事实使得我们有理由认为温度的概念是一个对于在一定时间的一定物体来说具有某种精确值的量，这种精确值很可能与任何实际的温度计所表示的值稍微有些不同。
这种方法在一切物理测量中都是相同的。粗略的测量得出近似的定律；测量仪器的变化（受一切测量仪器在度量相同的量时一定得出尽可能相同的结果这个法则的支配）证明能够使定律更接近精确。人们认为最好的仪器是使得定律最接近精确的仪器，人们还假定理想的仪器会使定律十分精确。
这个说法虽然可能看来复杂，事实上却还不够复杂。我们很少只涉及一个定律，并且很常见的情况是定律本身只是近似的。不同种类的量的测量是互相依赖的，正像我们在长度与温度的情况下所看到的那样，所以测量一种量的方法上的改变会变更另一种量的测量。定律、约定和观察在实际的科学手续中几乎是不可分开地交织在一起的。观察的结果通常用一种带有某些定律和某些约定的形式表示出来；如果结果与一直被承认的定律和约定的总和相矛盾，那么人们就可以有充分的自由来选择哪一个应该加以修改。现成的例子是迈克耳逊－莫雷实验，在这个实验中人们发现最简单的解释要求在时间和空间的测量上作出根本的改变。
现在让我们回到距离的测量上来。有许多粗略的先于科学的观察，这些观察提示给我们实际采取的测量方法。如果你以类似不变的用力状态沿着一条平路步行或骑自行车前进，你会用相同的时间走完前后各英里。如果道路铺上柏油，那么一英里所需的物质数量将大体等于另一英里所需的物质数量。如果你乘汽车沿路前进，那么每英里所用的时间将和你根据你的速度计所作的预料大体一样。如果你把三角学的计算建立在前后各英里相等的假定之上，那么所得的结果将和直接测量所得的结果十分符合。所有这一切都表明用通常的测量方法所得到的数字具有充分的物理上的重要性，为许多物理的和生理的定律提供了一个基础。但是这些定律在系统表示出来之后，又为改进测量方法提供了基础，也为人们把修改后的方法所得的结果看作更为“精确”这一点提供了根据，尽管事实上它们只不过更为方便而已。
可是在“精确性”这个概念中却有一种不仅是方便的因素。我们习惯上都接受等于同一事物的各个事物都相等这个公理。这个公理看来似乎显然合理并且容易使人相信，尽管经验方面的证据与它抵触也是事实。通过你能设置的最精细的实验，你可能发现A等于B，B等于C，但A看得出来不等于C。在这种情况下，我们说A不真正等于B，或B不真正等于C。相当奇怪，这种情况在测量技术的改进下得到了证实。但是我们对于这个公理的信念的真正根据并不在于经验方面。我们相信相等就是具有一种共同性质。如果两个长度具有同样的大小，那么它们就相等；我们测量时想表示的正是这种大小。如果我们这个信念是对的，这个公理在逻辑上就是必然的。如果A和B具有相同的大小，并且B和C具有相同的大小，那么A和C必然具有相同的大小，只要任何事物不能具有一个以上的大小。
虽然这种把一种大小当作几个可测量的事物可能共有的一种性质的信念暗中影响了常识对于明显现象的看法，可是除非我们在所讨论的题材上具有使它为真的证据，它并不是我们应该接受的一种信念。那种认为一组项目中每一项都具有这种性质的信念在逻辑上的意义等于那种认为在该组每两项之间都具有一种传递的对称关系的信念。（这种意义上的相等关系就是从前我叫作“抽象原理”的那种关系。）这样，在主张有着叫作“距离”的一组大小时，我们所主张的是：在任何一对点与另一对点之间，它们的关系不是对称的传递关系便是不对称的传递关系。在前一种情况下，我们说一对点之间的距离等于另一对点之间的距离；在后一种情况下，我们说第一个距离小于或大于第二个距离，要看这种关系的意义而定。两点之间的距离可以定义为与它有等距离的关系的成对的点的集合。
这是我们在不涉及直线定义的问题的情况下关于距离的测量这个问题所能作出的最彻底的讨论，关于直线的定义我们必须现在就进行考察。
就直线的常识来源来看，它是一个视觉上的概念。有些线看来是直的。如果把一条直棒的一头放在眼下，那么最靠近眼睛的那一部分会遮住所有其他部分；如果棒是弯的，那么有一部分会在眼角下出现。当然关于直线的概念还有其他常识上的理由。如果物体自转，那么就会出现一条直线，这就是保持不动的自转轴。如果你在地下火车里站着，你会通过你感到朝这边或那边失去平衡而知道火车在沿着曲线行走。在某种程度内，我们也可以通过触觉来判断曲直；盲人判断形状的能力几乎和正常人一样。
在初等几何学中直线被定义为整体；它们的主要特点就是已知直线上的两点，那么这条直线就被确定下来。把距离当作两点之间的直接关系的可能性依靠那种认为有直线存在的假定。但是在为了适应物理学的需要而发展起来的近代几何学中却没有欧几里得意义下的直线，而“距离”也只有在所谈的两点彼此非常接近的情况下才是确定的。如果这两点距离较远，我们就必须决定我们将通过什么路线从一个点走到另一个点，然后把路线上许多小的距离加起来。这两点之间“最直的”直线就是那条使这个总和数量最小的直线。我们只好抛弃直线，而用“短程线”，这是从一点到另一点比与它稍有些不同的任何路线都短的路线。这就破坏了距离测量的简单性，这种测量变得要依赖物理学的定律。我们只有进一步仔细考察物理学的定律与物理空间的几何学之间的相互关联才能研究在几何测量理论上所产生的复杂情况。
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