群的配位比较、元的差异与群的穷竭

如果我们具有两个群A和B，如果我们几次配位它们的元，那么可以产生三个案例。或者群A被穷竭，而存在依然在B中的元，或者B在A之前被穷竭，或者最后两个群容许它们的所有元相互配位。在第一个案例中认为A在该词较广泛的意义上比B小，在第二个案例中认为B比A小，在第三个案例中说两个群具有相等的大小。表达“B比A大”等价于表达“A比B小”，反之亦然。

必须注意的是，上面提到的关系为真，不管是否认为元在个体上相互不同，或者不管是否忽略元的差异，而且它们被作为相同的东西来处理。这来自下述事实：每一个确定的群的配位，都能够借助同时成对地交换两个元而被变换为每一个其他可能的配位。因为在这个过程中，一个元每次能够代换另一个元，从而在它的位置从来也不能出现间隙，所以在新排列中的群能够像在旧排列中那样成功地与其他群配位。同时，我们由此获悉，在群独立于它的元的排列与自身的每一次配位中，它必须证明等于它自己。

通过实行配位，进一步提供了下述命题的证明：

若群A大于等于小于群B，而且群B大于等于小于群C，则群A也大于等于小于群C。(www.xing528.com)

由此可得，无论什么有限群——其中没有一个群等于其他的群——的任何集成总是能够如此排列，以至系列能够以最小的开始和以最大的终结，以至较大的应该总是跟随较小的。这个序也许是不含糊的，也就是说，只存在给定群的一个系列具有这种特质。正如我们不久将要看到的，整数系列是这样排列的系列的最纯粹的类型。

在通过配位比较两个无限大的群时，一方面可以说，一个群在另一个群还包含元时，将不会被穷竭。因此，可以称两个无限的或无穷的群（或者像我们乐意的那么多的群）彼此相等。另一方面，在两个群中，一个群中的每一个元与另一个群中的元配位，这种说法由于元的无穷大数目而没有确定的意义。因此，相等的定义没有完全付诸实现，我们务必不要不加约束地把对有限群有效的原理应用到无限群。这种根据环境呈现大相径庭的形式的考虑，说明了“无限的悖论”，即当把确定内容的概念应用到具有部分不同内容的案例时产生的矛盾。如果我们希望尝试这样的应用，那么我们必须在每一个例子上就在它们方面的关系随那些内容（或前提）的变化而变化的方式，做专门的研究。作为一个普遍的法则，我们必须期望，先前的关系在这些根本没有任何变化的环境中将不会继续有效。

在这些观察的过程中，我们学会了为得到若干基本的和多种应用的原理，能够如何使用配位。仅从这一点看，配位的巨大意义就是显而易见的，以后我们将看到，它的意义甚至更为深远。所有科学的整个方法论建立在配位过程的最多样的和多方面的应用的基础上，我们将有机会反复地使用它。用下述说法可以简要地刻画它的意义的特征：它是把关联引入我们经验的集合的最普遍的工具。