连接螺栓承载能力分析-机械基础

知识要求：

1．掌握材料力学中的四种基本变形形式；

2．正确理解杆件内力和应力的基本概念；

3．熟练掌握杆件截面法求解内力；

4．掌握杆件基本变形时横截面的内力和应力分析及计算方法，并熟练绘制内力图；

5．掌握各种变形的强度和刚度条件。

技能要求：

1．能分析生活中常见对象所受的变形形式，避免失效；

2．学会用抽象简化的思维方式学习力学知识，灵活具体地解决实际问题。

在各类机械设备上螺栓连接是较为常见的一种连接形式。通过本任务的学习学生能够掌握各类杆件在受到拉伸与压缩、剪切和挤压、扭转、弯曲等作用下的变形以及强度的计算，最终正确分析螺栓连接的承载能力。

1．轴向拉伸或压缩的概念

工程实际中，发生轴向拉伸或压缩变形的构件很多，如图4－36所示三角支架中的杆，作用于杆上外力（或外力合力）的作用线与杆的轴线重合。在这种轴向荷载作用下，杆件以轴向伸长或缩短为主要变形形式，称为轴向拉伸或轴向压缩。以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉（压）杆。

图4－36　三角支架

这类受力零件的共同特点是：力大小相等、方向相反，作用线与杆件轴线重合；零件沿轴线方向伸长或缩短，横截面沿轴线平行移动，伴随横向收缩或膨胀。

2．轴向拉伸或压缩时的轴力与轴力图

（1）内力与截面法

件的内力指杆件受到外力作用时，其内部产生的保持其形状和大小不变的反作用力。该反作用力随外力的作用而产生，随外力的消失而消失。通常采用截面法确定在外力作用下构件所产生的内力的大小和方向。

用假想截面将杆件截开，考察其中任一部分平衡，应用平衡方程，可以求出被截杆件的内力，这种方法称为截面法。设直杆两端作用一对轴向拉力FP，如图4－37（a）所示，为了求杆件任一横截面1－1上的内力，可假想地用与杆件轴线垂直的平面在m—m截面处将杆件截开。取左段为研究对象，用分布内力的合力FN来代替右段对左段的作用，如图4－37（b）所示，由于直杆原来处于平衡方程∑Fx＝0，可得

FN－FP＝0，FN＝FP

图4－37　截面法

综上所述，取杆件的一部分为研究对象，利用静力平衡方程求内力的方法称为截面法。用截面法求内力可按以下三个步骤进行：

1）一分为二，即用一假想平面将构件分成两部分；

2）弃一留一，即取其中一部分为研究对象，弃去另一部分；

3）列式求解，即列出研究对象的静力平衡方程，确定未知内力的大小和方向。

（2）轴力

截面法是材料力学中求内力的基本方法，以后将经常用到。由于外力F的作用线沿着杆的轴线，内力FN的作用线也必通过杆的轴线，故把轴向拉伸或压缩时杆件的内力称为轴力。

轴力的正负由杆件的变形确定：保证无论取左段还是右段作为研究对象，所求得的同一个横截面上轴力的正负号相同。对轴力的正负号规定如下：轴力的方向与所在横截面的外法线方向一致时，轴力为正；反之为负。由此可知，当杆件受拉时轴力为正，杆件受压时轴力为负。

注意：在轴力方向未知时，一般按正向假设，若最后求得的轴力为正号，则表示实际轴力方向与假设方向一致，轴力为拉力；若最后求得的轴力为负号，则表示实际轴力方向与假设方向相反，轴力为压力。

（3）轴力图

轴力图是指表示出轴力随截面位置变化情况的图形。它用平行于杆件轴线的x坐标表示各横截面的位置，以垂直于杆轴线的FN坐标表示对应横截面上的轴力。

画轴力图的优点：

1）反映出轴力与截面位置的变化关系，较直观；

2）确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。

［例4－5］如图4－38（a）所示，杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5F、8F、4F、F的力，方向如图4－38所示，试画出杆的轴力图。

解：

（1）分段计算轴力

在A、B、C、D点分别作用着的外力将杆件分为OA、AB、BC、CD四段，用截面法计算截面上的轴力。

求OA段内力FN1：设置截面如图4－38（b）所示，根据平衡方程：

∑Fx＝0

即

FN1－FA＋FB－FC－FD＝0

FN1－5F＋8F－4F－F＝0

FN1＝2F（即受拉）

同理，求得AB、BC、CD段内力分别为FN2＝－3F（即受压），FN3＝5F（即受拉），FN4＝F（即受拉）。

（2）绘制轴力图

用平行于杆轴线的x坐标表示横截面位置，用垂直于x的坐标FN表示横截面轴力的大小，按选定的比例绘制轴力图，如图4－38（g）所示。

图4－38　等直杆轴力分析

3．轴向横截面上的应力

我们常说的杆件强度，主要决定于轴力、横截面尺寸、材料三方面的因素。杆件内轴力越大，杆件横截面尺寸越小，杆件就越容易被拉断；同样形状及尺寸，杆件材料不同，拉断的难易程度也不同。

（1）应力

内力在截面上的集度称为应力，它反映的是内力在截面上的分布集度。垂直于杆横截面的应力称为正应力，其单位为帕斯卡（Pa），工程上常用兆帕（MPa）。1Pa＝1N／m2，1MPa＝106Pa。

（2）应力公式

如图4－39所示，由于拉（压）杆横截面上的内力为轴力，其方向垂直于横截面，且通过截面的形心，而截面上各点处应力与微面积之积的合成即为该截面上的内力。显然，截面上各点处的切应力不可能合成为一个垂直于截面的轴力。所以，与轴力相应的只可能是垂直于截面的正应力σ，设轴力为FN，A为横截面面积，由此可得应力公式：

式中：FN——拉力；

σ——拉应力；

A——横截面面积。

注意：σ的正负规定与轴力相同，拉应力为正，压应力为负。

图4－39　横截面上的正应力

4．轴向横截面上的变形

（1）纵向线应变和横向线应变

设一直杆原长为l，底面积为b×b。在轴向拉力F的作用下，长度由l变为l1，底边长由b变为b1，如图4－40所示。

图4－40　杆件拉伸和压缩时的变形

杆的纵向绝对变形：

Δl＝l1－l

杆的横向绝对变形：

Δb＝b1－b

即，拉伸时，Δl＞0，Δb＜0；压缩时Δl＜0，Δb＞0。

为了消除杆件原尺寸对变形大小的影响，用单位长度内杆的变形量，即线应变来衡量杆件的变形程度。与上述两种绝对变形相对应的纵向线应变ε和横向线应变ε′分别为

拉伸时，ε＞0，ε′＜0；压缩时，ε＜0，ε′＞0。

（2）胡克定律

英国科学家胡克通过实验，发现了力与变形的关系：当杆横截面上的正应力不超过某一限度时，杆的绝对变形Δl与轴力FN、杆长l成正比，与杆的横截面面积A成反比，即

式中：E——弹性模量（GPa），随材料不同而异。

当FN、l和A的值一定时，E值越大，则Δl越小，说明E的大小表示材料抵抗拉（压）弹性变形的能力，是材料的刚度指标。当FN、l值一定时，EA值越大，则Δl越小，说明EA的大小表示杆件抵抗拉（压）变形的能力，是体现杆件的抗拉压刚度指标。

通过公式推导，可以将式（4－28）改写成：

式（4－19）是胡克定律的另一种表达形式。它表明当应力不超过一定限度时，应力与应变成正比。

5．轴向拉压杆的强度计算

（1）极限应力、许用应力

材料破坏时的应力称为极限应力，用σ0表示。对于塑性材料，当应力达到屈服极限σs时，构件已产生明显的塑性变形，影响其正常工作，一般认为构件已被破坏。因而把屈服极限σs作为塑性材料的极限应力。对于脆性材料，断裂是脆性材料破坏的唯一标志，因此，强度极限σb是脆性材料的极限应力。

许用应力是指构件安全工作时材料允许承受的最大应力。为保证构件能安全可靠地工作，应使它的工作应力小于材料的极限应力。一般把极限应力除以大于1的系数n，作为设计时工作应力的最大允许值，称为许用应力，用［σ］表示，即

各种不同工作条件下构件安全系数n的选取，可从有关工程手册中查到，一般对于塑性材料，n取1.3～2.0；对脆性材料，n取2.0～3.5。

（2）轴向拉（压）杆的强度计算

为保证拉压杆具有足够的强度，必须使杆的最大工作应力小于或等于材料在拉伸或压缩时的许用应力［σ］，即

式中：σmax——最大工作应力（Pa）；

FN——危险截面的轴力（N）；

A——危险截面（产生最大工作应力的截面称为危险截面）的横截面面积（m2）。

式（4－31）为拉（压）杆的强度条件，应用强度条件，可解决以下三类问题：

1）强度校核。已知杆件的材料、尺寸和所受载荷，校核杆件的强度是否足够。

2）设计截面尺寸。已知所受载荷和材料的许用应力，确定截面尺寸。

3）确定许可载荷。已知杆件的截面尺寸和材料的许用应力，确定杆件所受的最大轴力，再根据静力学关系确定结构所受的载荷。

［例4－6］图4－41（a）所示为一刚性梁ACB由圆杆CD在C点悬挂连接，B端作用有集中荷载F＝25kN。已知：CD杆的直径d＝20mm，许用应力［σ］＝160MPa。

（1）校核CD杆的强度；

（2）试求结构的许可荷载［F］。

解：（1）校核CD杆强度

1）作AB杆的受力图，如图4－41（b）所示，由平衡条件∑MA＝0，得：

FCD×2l－3F×l＝0

图4－41　钢木结构强度计算

2）求CD杆的应力：

故

所以CD杆安全。

（3）求结构的许可载荷F[ ]

由

得

在工程中，为了将构件相互连接起来，常采用铆钉、螺栓、键或销钉等，这些起连接作用的部件统称为连接件。

1．剪切的概念

工作时连接件两侧面上作用大小相等、方向相反、作用线平行的一对外力，两力作用线之间发生相对错动，这种变形称为剪切变形，如图4－42所示。产生于相对错动的截面称为剪切面。作用在剪切面上的内力称为剪力，用FS表示。

图4－42　剪切

2．剪切的强度计算

在工程实际的计算中，通常假定受剪面上的切应力均匀分布，于是，受剪面上的名义切应力为

式中：τ——剪切面上的切应力（MPa）；

FS——受剪面上的剪力（N）；

AS——受剪面的面积（m2）。

通过试验，得材料的许用切应力［τ］，即剪切强度条件为

剪切计算中的许用切应力［τ］与拉伸许用应力［σ］有关。对于钢材，［τ］＝（0.75－0.80）［σ］。

需要注意，在计算中要正确确定有几个受剪面，以及每个受剪面上的剪力。

3．挤压的概念

构件在受到剪切作用发生剪切变形的同时，往往还存在着相互压紧作用。构件的接触面上产生较大的压力，致使接触处的局部区域产生塑性变形，这种现象称为挤压。

4．挤压的强度计算

挤压发生在构件相互接触的局部面积上，它在构件接触面附近的局部区域内发生较大的接触应力，称为挤压应力。挤压应力是垂直于接触面的正应力。当挤压应力过大时，将会在二者接触的局部区域产生过量的塑性变形，从而导致失效。

在工程计算中近似地把挤压接触面上的挤压应力假定在有效挤压面上均匀分布。于是，可得名义挤压应力为

式中：σbs——挤压应力（MPa）；

Fbs——接触面上的挤压力（N）；

Abs——有效挤压面积（m2）。

当挤压面为平面接触时，有效挤压面积等于实际承压面积；当挤压面为圆柱面接触时，有效挤压面积为实际承压面积在垂直于挤压力的直径平面上的投影面积。例如，对销钉等圆柱形连接件，其挤压面积用Abs＝dt来计算，如图4－43所示。

图4－43　销钉挤压面

通过实验，并按公式（4－24）求出材料的极限挤压应力，从而确定许用挤压应力［σbs］，即挤压强度条件为

应当注意，挤压应力是在连接件和被连接件之间相互作用的。因而，当两者材料不同时，应校核其中许用挤压应力较低的材料的挤压强度。

［例4－7］图4－44所示为齿轮用平键与轴连接。已知：轴的直径d＝70mm，键的尺寸为b×h×l＝20mm×12mm×100mm，传递的转矩为M＝2kN·m，键的许用切应力［τ］＝60MPa，许用挤压应力［σbs］＝100MPa，试校核键的强度。

图4－44　平键强度计算

解：（1）画受力图，计算键上的作用力F

由得：

（2）校核剪切强度

因为剪力FQ＝F，剪切面积A＝b×l，所以

（3）校核挤压强度

因为挤压力Fbs＝F，挤压面积，所以

因键同时满足剪切和挤压强度条件，所以能安全工作。

扭转是杆件的基本变形之一。工程中常把以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。圆轴在工程中最常见，本部分将研究圆轴扭转时的应力与强度计算。

当一根直杆受到绕杆的轴线转动的力偶作用时，杆会发生扭曲，即杆的截面发生绕轴线转动的扭转变形。如图4－45所示的汽车传动轴即发生了扭转变形。

图4－45　汽车传动轴扭转变形

杆件发生扭转变形的受力特点：在杆件上作用着大小相等、转向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两组平行力偶系。扭转变形的变形量用扭转角φ表示，如图4－46所示。

图4－46　扭转角

1．扭转内力——扭矩和扭矩图

（1）外力偶矩

工程中，圆轴经常用来传递力偶所做的功。如一根由电动机驱动的轴，转速为n（r／min），传递的力偶矩为M，电动机的功率为P（kW），则轴的转动角速度为

传递力偶的功率与电动机的功率相等，即

由此，已知轴的转动速度和输入或输出功率，就可以换算出作用在轴上的外力偶矩，换算公式为

（2）扭矩

扭转时的内力偶矩称为扭矩，用符号T表示，常用的单位为牛米（N·m），或用千牛米（kN·m）。

圆轴在外力偶矩作用下发生扭转变形时，其横截面上将产生内力，求内力的方法仍用截面法，以图4－47（a）所示受扭转的圆轴为例，假想将圆轴沿任一横截面1－1切开，并取左段作为研究对象，如图4－47（b）所示。

由∑Mi＝0，得：

M1－T＝0，T＝M1

由于整个轴是平衡的，所以右段也处于平衡状态。如取截面的右侧为研究对象，如图4－47（c）所示，也可得到同样的结果。取截面左侧与取截面右侧为研究对象所求得的扭矩，应数值相等而转向相反，因为它们是作用与反作用的关系。

图4－47　截面法求扭矩

扭矩有正负之分，为了使从两段杆上求得的同一截面上的扭矩的符号相同，规定扭矩的正负号用右手螺旋法则判定。右手螺旋法则规定：用右手的四指弯曲方向表示扭矩的转向，大拇指表示扭矩矢量的指向，若扭矩矢量的方向离开截面，则扭矩为正，如图4－48（a）所示；反之，若扭矩矢量的方向指向截面，则扭矩为负，如图4－48（b）所示。

图4－48　扭转正负号规定

（3）扭矩图

通常，扭转圆轴各截面上的扭矩是不同的。为了直观地表示轴上扭矩的作用情况，以与轴线平行的x轴表示横截面的位置（横坐标轴），以纵坐标轴表示扭矩T，这种用来表示轴横截面上的扭转沿轴线方向变化情况的图形称为扭矩图。

［例4－8］如图4－49（a）所示，已知一齿轮轴的转速n＝300r／min，主动齿轮A输入功率PA＝50kW，从动齿轮输出功率分别为PB＝15kW，PC＝15kW，PD＝20kW，试作扭矩图。

图4－49　齿轮轴受力分析

解：（1）计算外力偶矩，由式（4－26）得：

（2）计算扭矩。将轴分为AB、BC、CD三段，逐段计算扭矩。

AB段：

∑Mi＝0，T1＋MB＝0，T1＝－MB＝－477N·m

BC段：

∑Mi＝0，T2－MA＋MB＝0，T2＝1115N·m

CD段：

∑Mi＝0，T3－MD＝0，T3＝637N·m

（3）画扭矩图。根据以上计算结果，按比例画出扭矩图，如图4－49（e）所示。由图可以看出，在集中力偶作用处，扭矩值发生突变，其突变值等于该集中外力偶矩的大小，最大扭矩发生在BC段内，其值Tmax＝1115N·m。

2．圆轴扭转的强度计算

在小变形的情况下，圆轴扭转时的变形特点如下：

1）各圆周线的形状大小及圆周线之间的距离均无变化；

2）各圆周线绕轴线转动了不同的角度；

3）所有纵向线仍近似地为直线，只是同时倾斜了同一角度γ。扭转变形如图4－50所示。(www.xing528.com)

图4－50　扭转变形

（1）圆轴扭转时，横截面上的切应力分布规律（如图4－51所示）

图4－51　圆轴切应力分布

经实验计算可得出以下结论：

1）圆轴扭转时，横截面上沿半径方向无切应力，横截面上无正应力。

2）圆轴扭转时，横截面上有垂直半径方向的切应力存在。

3）横截面上任一点处的切应力的大小，与该点到圆心的距离成正比，即在横截面的圆心处切应力为零，在周边上的切应力最大。实心圆轴和空心圆轴切应力分布规律如图4－51所示。

（2）圆轴扭转横截面上切应力计算公式

根据横截面上切应力的分布规律，可由静力平衡条件推导出任意截面上的最大切应力，其计算公式为

式中：WP——抗扭截面系数（mm2或m2）

T——该截面上的扭矩（N·m）；

τmax——该截面上的最大切应力（MPa）。

工程上使用的圆轴通常有实心和空心之分。它们的抗扭截面系数WP的计算公式分别为：

1）实心圆截面：

式中：D——截面圆的直径（m）。

2）空心圆截面：

式中：D——空心轴截面的外径（m）；

α——α＝d／D；

d——空心轴截面的内径（m）。

（3）圆轴扭转时的强度条件

为保证圆轴正常工作，应使危险截面上最大工作切应力τmax不超过材料的许用切应力。因此，圆周扭转的强度条件为

式中：Tmax——该截面上的扭矩（N·m）。

等截面轴最大切应力τmax就发生在Tmax所在截面的周边各点处。而阶梯轴，因WP不是常量，这时要综合考虑Tmax及WP两者的变化情况来确定τmax。

扭转许用切应力［τ］是由扭转实验测得的。在静载荷作用下，扭转许用切应力［τ］与拉伸许用应力［σ］之间存在以下关系：

塑性材料：

［τ］＝（0.5～0.6）［σ］

脆性材料：

［τ］＝（0.8～1.0）［σ］

圆轴扭转强度条件计算公式可用来解决强度校核、选择截面尺寸和确定许可载荷三类问题。

（4）圆轴扭转时的刚度条件

1）圆轴扭转时的变形。

轴的扭转变形用横截面间绕轴线的相对转角即扭转角φ来表示。如相距L的两横截面间的扭转角为

式中：φ——相对转角（rad）；

L——轴长（m）；

G——材料的切变模量（Pa）；

IP——轴横截面的极惯性矩（m4），，其中，（D为实心轴直径，D1为空心轴内径，D2为空心轴外径）。

φ的转向与扭矩的转向相同，其正负号随扭矩的正负而定。对于阶梯状圆轴以及扭转分段变化的等截面圆轴，需分段计算相对转角，然后求代数和。

2）圆轴扭转时的刚度条件

工程上通常用单位长度上的转角θ来衡量圆轴的扭转刚度，以使它不超过规定的许可转角［θ］。

式中：θ——单位转角（rad／m）；

［θ］——许用转角（°／m）。

在工程计算中，θ也常用（°／m）为单位，则式（6－18）可改写成

单位长度的许可转角［θ］的数值，根据机器的精度和工作条件等来确定，可查阅相关工程手册。

［例4－9］汽车的传动轴由45钢无缝管制成，钢管外径D＝90mm，内径d＝85mm，轴长L＝1000m，传递最大转矩T＝1500kN·m，材料的许用切应力为［τ］＝60MPa，材料的剪切弹性模量G＝80GPa，许用扭转角［θ］＝1.5°／m。求：

（1）校验轴的强度；

（2）校验轴的刚度。

解：（1）轴的强度校核

传动轴各截面的扭矩相等，即

T＝1500kN·m

抗扭截面系数为

最大切应力为

结论：经校验该轴的强度满足条件。（2）轴的刚度校核

横截面的极惯性矩为

单位长度上的扭转角为

结论：经校验该轴的刚度不满足条件。

1．平面弯曲

（1）概念

工程中常遇到这样一类构件，它们所承受的外力是作用线垂直于轴线的平衡力系（包括力和力偶），在这些外力作用下，构件的轴线由直线变为曲线，则这种变形称为弯曲变形。如图4－52所示，摇臂钻床的摇臂主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。

图4－52　摇臂转床主轴受力

构件的纵向对称平面受到垂直于梁的轴线的力或力偶作用（如图4－53所示），使构件的轴线在此平面内弯曲为曲线，这样的弯曲称为平面弯曲。这是弯曲变形中最基本、最常见的情况。

图4－53　梁的弯曲变形

（2）梁的类型

在工程中，梁的支撑条件和作用在梁上的载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析、计算，同时又要保证计算结果足够精确，工程上根据梁的支座形式不同将其分为简支梁、外伸梁和悬臂梁三类。

1）简支梁。

梁的两端支座中，一端能简化为固定铰链支座，另一端简化为活动铰链支座，这样的梁称为简支梁，如图4－54（a）所示。

2）外伸梁。

梁的支座与简支梁基本相同，不同之处是梁的一端或两端伸出支座之外，如图4－54（b）所示。

3）悬臂梁。

一端为固定端，另一端自由的梁，如图4－54（c）所示。

图4－54　梁的类型
（a）简支梁；（b）外伸梁；（c）悬臂梁

上述三种类型的梁在承载后，其支座约束力均可由静力平衡方程完全确定，这些梁称为静定梁。如梁的支座约束力的数目大于静力平衡方程的数目，应用静力平衡方程无法确定全部支座约束力，这种梁称为超静定梁。

（3）载荷的简化

实际杆件上作用的载荷是多种多样的，但归纳起来可简化成以下三种载荷形式。

1）集中力。

当外力的作用范围与梁相比很小时，可视为集中作用于一点，即集中力，如图4－54（b）所示的F。

2）集中力偶。

两集中力大小相等、方向相反，作用线相邻很近时，可视为集中力偶，如图4－54（b）和图4－54（c）所示的M。

3）分布载荷。

连续作用在梁的全长或部分长度内的载荷为分布载荷。分布于单位长度上的载荷值称为分布载荷集度，用q表示，单位为N／m，如图4－54（a）和图4－54（c）所示的q。

2．梁的内力——剪力和弯矩

（1）剪力和弯矩的概念

剪力是指作用线位于所切截面的内力；弯矩是指矢量位于所切截面的内力偶矩。

（2）剪力和弯矩求解

为了计算梁的强度与刚度，必须用截面法求出梁的内力。如图4－55（a）所示，简支梁受集中力F1，F2，F3作用，求距A端x处的横截面1－1上的内力。

首先，利用静力平衡条件，求出A、B的支座反力FA与FB，然后假想沿截面1－1把梁截开，取左段（或右段）部分为研究对象，如图4－55（b）所示。

图4－55　截面法求梁的内力

由平衡条件得：

∑Fy＝0，FA－FQ－F1＝0

FQ＝FA－F1

以截面形心O为矩心，得：

∑MO＝0，－FAx＋F1（x－a）＋M＝0

M＝FAx－F1（x－a）

式中：FQ——横截面上切向分布内力分量的合力，称为横截面1－1的剪力；

M——横截面上法向分布内力分量的合力偶矩，称为横截面1－1上的弯矩。

可根据作用与反作用定律，求出右段上同时存在FQ′和M′与FQ和M等值反向。

（3）剪力和弯矩的正负号规定

1）计算剪力时，截面左侧向上的外力或截面右侧向下的外力取正号，反之取负号，如图4－56所示；

图4－56　剪力的正负号规定

2）计算弯矩时，截面左侧梁上的外力（或外力偶）对截面形心的力矩为顺时针转向或截面右侧梁上的外力（或外力偶）对截面形心的力矩为逆时针转向时取正号，反之取负号，如图4－57所示。

总结为：计算剪力时，外力左上右下为正；计算弯矩时，外力矩左顺右逆为正。

图4－57　弯矩的正负号规定

（4）剪力图和弯矩图

为了直观地反映梁上各横截面上的剪力和弯矩的大小及变化规律，用横坐标x表示梁的横截面位置，纵坐标分别表示剪力FQ和弯矩M的大小，画出图形，分别称为剪力图（如图4－58所示）和弯矩图（如图4－59所示）。

［例4－10］简支梁AB如图4－60所示。已知F1＝5kN，F2＝8kN，l＝10m，a＝3m，求C、D截面的剪力和弯矩。

图4－60　求梁截面内力

解：（1）求支座A、B的约束反力FA、FB

由∑MA（F）＝0得：

FBl－F1a－F2（l－a）＝0

由∑Y＝0得：

FA＝F1＋F2－FB＝5＋8－7.1＝5.9（kN）

（2）取截面以左的梁段为研究对象，求截面D的剪力和弯矩（如图4－60所示）

由∑Y＝0得：

FQD＝FA＝5.9kN·m

由∑MD（F）＝0得：

（3）取截面以右面的梁段为研究对象，求截面C的剪力和弯矩

由∑Y＝0得：

FQC＝F2－FB＝8－7.1＝0.9（kN）

由∑MC（F）＝0得：

3．梁弯曲时的强度计算

通过前面分析梁的内力可知，一般情况下，梁的横截面上既有弯矩又有剪力，既有正应力又有切应力。若横截面上只有弯矩没有剪力，且全段内弯矩为一常数，则称这种弯曲为纯弯曲。

梁受纯弯曲时，其横截面上只有正应力，没有切应力。横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，距中性轴等高度的各点处正应力相等，而中性轴上各点处正应力为零。横截面上应力分布如图4－61所示。

图4－61　梁弯曲时的内力和应力

（1）梁弯曲时的强度条件

梁弯曲时的强度条件为梁内危险截面上最大弯曲正应力不超过材料的许用弯曲应力，即

式中：Wz——梁的抗弯截面系数（m4），其中（具体计算见表4－1）；

Mmax——梁的最大弯矩（N·m）；

σmax——横截面上的最大弯曲正应力（Pa）；

［σ］——材料的许用应力（Pa）。

工程中，运用强度条件可进行三方面计算，即校核弯曲强度、求许可载荷和设计截面尺寸。

表4－1　常见截面的Iz和Wz

［例4－11］如图4－62所示的矩形截面简支梁，已知F＝5kN，α＝180mm，总长l＝560mm，试求m—m截面上A、B两点的应力。

图4－62　矩形截面简支梁

解：（1）求支座反力

由于受力情况对称，两支座反力必然相等，即FC＝FD。

由∑Y＝0得：

FC＋FD－F－F＝0

FC＝FD＝F＝5kN

（2）以取m—m为截面位置，取左段梁为研究对象，求截面处弯矩

由∑MC（F）＝0得：

M－Fa＝0

M＝Fa＝5×103×180×10－3＝900（N·m）

（3）矩形截面对中性轴z的惯性矩

（4）求A点的应力

A点距中性轴距离为yA＝30mm，则有

（5）求B点的应力

B点距中性轴距离yB＝20mm，则有：

结论：在m—m截面上A点应力为σA＝50MPa，B点应力为σB＝33.3MPa。

工程实际中，结构受力是复杂的，构件往往会发生两种或两种以上的基本变形。杆件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形，且几种变形所对应的应力或应变是属于同一量级的，则杆件的变形形式称为组合变形。如图4－63（a）所示的烟囱，在自重和风载荷的共同作用下产生的是轴向压缩和弯曲的组合变形；如图4－63（b）所示的齿轮传动轴在外力的作用下，将同时产生扭转变形及在水平平面和垂直平面内的弯曲变形；如图4－63（c）所示中的排架柱，在偏心载荷的作用下将产生轴向压缩和弯曲的组合变形。

图4－63　组合变形

对组合变形的构件进行强度分析和计算时，通常采用叠加法，即把作用于构件上的载荷分解、简化，使简化后的每一种载荷只产生一种基本变形，并且分别求出每一种载荷使构件产生的应力，然后进行叠加，求得截面上的总应力。

求解组合变形的关键：

1）掌握基本变形公式的应用范围。这是将组合变形情况分解为几种基本变形的关键。

2）正确应用叠加原理。

叠加原理的前提：

1）材料服从胡克定律，属于物理线性。

2）小变形情况，初始尺寸原理成立，属于几何线性。

叠加原理：在材料服从胡克定律且产生小变形的前提下，杆件的内力、应力、变形、位移与外力是线性关系，其控制方程是线性（代数或微分）方程，所以其解答可以叠加。

也就是说，可以将杆件所受的载荷分解为几个简单载荷，使每个简单载荷只产生一种基本变形，分别计算每一种基本变形引起的应力和变形，然后根据具体情况进行叠加，就得到组合变形情况下的应力和变形。据此来确定杆件的危险截面和危险点，并进行强度和刚度计算。

叠加原理也叫独立作用原理。因为杆件虽然同时产生几种基本变形，但在上述条件下，每一种基本变形都可以认为是各自独立、互不影响的。在这种情况下可应用叠加原理求解组合变形问题。

1）在减速器上存在各种连接件，其中就使用到了螺栓和螺母组成的螺栓连接，如箱盖和底座之间即采用螺栓进行连接紧固。请观察螺栓连接，思考螺栓连接的力学破坏形式有哪些。

2）如图4－64所示，两块钢板由一个螺栓连接。已知螺栓直径d＝24mm，每块板的厚度δ＝12mm，拉力F＝24kN，螺栓许用应力［τ］＝60MPa，［σbs］＝120MPa。试对螺栓做强度校核。

图4－64　螺栓连接

1．什么是截面法？如何用截面法求内力？

2．在强度条件相同的情况下，空心轴为什么比实心轴省料？

3．扁担常常是在中间折断，而游泳池的跳水板则容易在固定端处折断，这是什么原因？4．如图4－65所示，求杆件各段轴力并绘制轴力图。

图4－65　题4图

5．如图4－66所示的圆截面杆件AC，已知d1＝20mm，d2＝30mm，F1＝20kN，画出轴力图并计算AB、BC段杆件截面上的应力。

图4－66　题5图

6．在如图4－67所示的铆接接头中，已各载荷F＝80kN，板宽b＝100mm，板厚t＝12mm，铆钉直径d＝16mm，许用切应力［τ］＝100MPa，许用挤压应力［σbs］＝300MPa，许用拉应力［σ］＝160MPa，试校核该接头的强度。

图4－67　题6图

7．一空心圆轴，外径D＝40mm，内径d＝20mm，轴上受力偶矩M＝300N·m，材料的许用切应力［τ］＝60Pa，试校核此轴的强度。