4.5 两直线的相对位置
4.5.1 两直线平行
如图4－12a所示，直线AB∥CD，将它们分别向H面作投影，则包含AB的投射平面P与包含CD的投射平面Q相互平行，故二平面与H面的交线ab与cd平行。即AB与CD在H面的投影ab∥cd。
图4－12 两直线平行
同理，AB与CD在V面的投影a'b'∥c'd';在W面的投影a″b″∥c″d″。
因此，若空间两直线平行则其同面投影必平行。反之，若两直线的同面投影平行，则空间的两直线一定平行，如图4－12b所示。
一般情况下，只要有两个投影面的同面投影平行，即可判定该二直线在空间平行。但当两直线同时平行某一投影面时，则应看它们在该投影面上的投影是否平行，若平行则空间平行，如图4－13a所示;否则不平行，如图4－13b所示，其投影关系如图4－13c所示。
4.5.2 两直线相交
如图4－14a所示，直线AB与CD相交于点K，K即为AB、CD的共有点。当将它们分别向H面及V面作投影时，其水平投影ab与cd交于k，正面投影a'b'与c'd'交于k'。同
图4－13 判别两直线是否平行
理，它们的侧面投影必有a″b″与c″d″交于k″。
因此，两直线相交其同面投影相交，且投影的交点连线垂直于相应的投影轴。反之，若同面投影相交，且交点连线垂直于相应投影轴的两直线在空间也相交。如图4－14b所示。
图4－14 两直线相交
图4－15 两直线交叉(一)
既不平行又不相交的两直线称交叉二直线，亦称异面线。交叉二直线的投影有可能在某投影面上平行，但不可能在三投影面上都平行。如图4－15所示，虽然AB、CD二直线的水平投影及侧面投影均平行，但它们的正面投影不平行。交叉二直线的投影也可能相交，但交点的连线不垂直于相应的投影轴。如图4－16所示，虽然AB、CD二直线的水平投影与正面投影都相交，但投影的交点连线不垂直于OX轴。当交叉二直线的投影相交时，其交点是交叉二直线上
4.5.3 两直线交叉
重影点的投影。利用重影点，可判别两点的相对位置。图4－16a中，AB与CD的H投影的交点1(2)是AB线上的点Ⅱ与CD线上的点Ⅰ在H面的重影。从图4－16b中的V面投影中可看出点Ⅰ高于点Ⅱ，所以1可见;2不可见，以(2)表示。同样a'b'与c'd'的交点3'(4')是AB线上点Ⅲ与CD点Ⅳ在V面的重影。从图4－16b中的H面投影看出点Ⅲ在点Ⅳ之前，所以3'可见，4'不可见，以(4')表示。
图4－16 两直线交叉(二)
例4－5已知直线AB、CD与EF，求作一直线KL与AB、CD相交并与EF平行(图4－17a)。
分析设KL直线交AB于K，交CD于L。由图4－17可知，CD为铅垂线，其水平投影有积聚性，则L的水平投影必重合于CD的水平投影上。再根据平行线及相交线的投影特征可作出KL直线。
作图
1)在c(d)处标出l，过l作ef的平行线交ab于k，对应在a'b'上定出k'。
2)过k'作k'l'∥e'f'。则kl、k'l'即为所求，如图3－17b所示。(www.xing528.com)
图4－17 作一直线与已知二直线相交与另一直线平行
4.5.4 两直线垂直
两直线垂直有两种情况，即相交垂直或交叉垂直。在一般情况下，无论哪种垂直情况，在投影图中都不反映直角。但当两直线同时平行某投影面时，在它们所平行的投影面上反映直角。或当两直线中的其中一直线平行某投影面时，在该直线所平行的那个投影面上能够反映直角，如图4－18所示。
图4－18 一边平行与投影面的直角投影
由于AB⊥BC、AB⊥Bb(因为AB∥H，Bb⊥H)，所以AB垂直于投射面BCcb，故有AB⊥bc，又ab∥AB，则ab⊥bc。故AB与BC的H面投影反映直角。
交叉垂直二直线的投影具有同样的结果。
上述两直线垂直的投影特征称为直角定则。
例4－6试求倾斜线AB与铅垂线EF间的公垂线(图4－19b)。
分析设所求公垂线为CD，与AB线交于C，与EF线交于D。
因为EF垂直于H面，则与EF垂直的直线CD必与H面平行，且点D的水平投影d重合于ef上。又因AB与水平线CD垂直，根据直角定则有ab⊥cd，如图4－19a所示。
图4－19 求倾斜线与铅垂线的公垂线
作图
1)在ef处标出d，并过d作dc⊥ab。
2)过c在a'b'上求得c'。
3)过c'作OX轴的平行线交e'f'于d'，则cd、c'd'即为所求，如图3－19c所示。
例4－7已知矩形ABCD的一边AB平行于V面，以及邻边AD的水平投影，试完成该矩形的两面投影(图4－20a)。
分析矩形各邻边相互垂直，对边相互平行。因为AB边平行于V面，根据直角定则可知，矩形邻边的正面投影能够反映直角。
作图
1)过b作ad的平行线，过d作ab的平行线，两线交于c。
2)过a'作a'b'的垂线，再过d作OX轴的垂线，两线交于d'。
3)分别过d'作a'b'的平行线，过b'作a'd'的平行线，两线交于c'。四边形abcd与a'b' c'd'即为所求，如图4－20b所示。
图4－20 完成矩形的两面投影
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