直线上的点示例及投影规律

4.4　直线上的点

4.4.1　点与直线的从属关系

当点在直线上时，点的投影必在直线的同面投影上。即点的水平投影在直线的水平投影上;点的正面投影在直线的正面投影上;点的侧面投影在直线的侧面投影上，且符合点的投影规律。如图4－8a所示，点K在直线AB上，则k在ab上，k'在a'b'上，k″在a″b″上，且kk'⊥OX;k'k″⊥OZ，如图4－8b所示。

图4－8　直线上的点

例4－3已知点M在直线CD上，试求其水平投影m和正面投影m'(图4－9a)。

图4－9　求直线上点的投影

分析由于点M在直线CD上，则点M的投影必在直线CD的同面投影上。因为CD线为正垂线，故点的正面投影m'重合在直线有积聚性的投影c'd'上，点的水平投影m可根据点的投影规律在cd上求得。

作图

1)在(c')d'上直接求得m'。

2)过m″作OY_W的垂线与45°辅助线相交，再过该交点作OY_H的垂线与cd交于m，则m，m'即为所求，如图4－9b所示。

4.4.2　点分割直线的等比关系

如图4－10a中，点K在直线AB上，分AB为AK∶KB=n，因为Aa∥Kk∥Bb;Aa'∥Kk'∥Bb'，故AK∶KB=ak∶kb=a'k'∶k'b'=n。(www.xing528.com)

故直线上的点分割线段之比等于其投影分线段同面投影之比。这种关系称为等比关系。

图4－10　点分割直线的等比关系

例4－4已知点K在直线AB上，且AK∶KB=2∶1，求点K的三面投影(图4－11a)。

图4－11　点分割直线为2∶1

分析根据点在直线上的投影特性，点K的投影必在直线AB的同面投影上，又根据点分割线段的等比关系有:ak∶kb=a'k'∶k'b'=a″k″∶k″b″=2∶1。

作图

1)过a任作一辅助线，在此线上任取三等分，如1，2，3点。

2)过点3连接b。

3)过点2作3b的平行线，交ab于k。

4)过k作OX轴的垂线交a'b'于k'，作OZ轴的垂线交a″b″于k″，则k、k'、k″即为所求。