元代数学：光辉之章-诗说中国•4:五代宋元卷

第78章　光辉灿烂的元代数学

算　盘

刘因

不作瓮商舞，

休停饼氏歌。

执筹仍蔽簏，

辛苦欲如何？

刘因（1249～1293）元代诗人。字梦吉，号静修，雄州容城（今河北省徐水县）人，有《静修集》传世。

【注释】

算盘：一种计算数目的用具，可以做加减乘除等运算。

瓮：盛水或酒的容器，小口大腹。

饼：扁而圆形的一种面食，算盘的珠子与其形状相似。(www.xing528.com)

筹：竹、木或象牙等制成的小棍或小片，主要用来计算。

蔽：遮盖，挡住。

簏：盛筹的竹箱。

本诗是刘因在珠算发明以后写的咏珠算的一首诗。诗中对比描写出了珠算的方便快捷与执筹计算的繁琐，故有“辛苦欲如何”之叹。从这首诗我们可以得知我国在元朝时就已经发明了算盘，并且有了普遍推广，同时也说明我国的数学到元代已经相当发达。

李治的数学成就

中国古代数学的发展可谓光辉灿烂、硕果累累，如《周髀算经》《九章算术》祖冲之的圆周率等等。到金代，数学上发明了天元术，大约金中叶开始流行，之后得到迅速的推进。金末在真定府一带流传的一部数学著作叫《洞渊测圆》，指演算勾股容圆（直角三角形的内接圆），算题共有十三问。李治根据此书加以推广，又集天元术之大成，写出了他的名著《测圆海镜》。李治，字仁卿，真定（今河北正定县）人。在《元史》卷一六○有传，然作李冶。黄丕烈、施国祁考证其名实作“治”而非“冶”；又有人说：“冶”是他后来的改名。元世祖忽必烈在潜藩，曾以礼招致，询问治道。至元二年（1265），召充学士，期月而以老病辞归，居封龙山讲学。其主要著作除《测圆海镜》十二卷外，还有《益古演段》三卷。《益古演段》是根据平阳人蒋周所著《益古集》一书改写而成，是初学“天元”者的读本。《测圆海镜》的成书标志着天元术成熟，它无疑是当时世界上第一流的数学著作。但由于内容较深，粗知数学的人看不懂。而且当时数学不受重视，所以天元术的传播速度较慢。李治清楚地看到这一点，这促使他写一本深入浅出、便于教学的书，《益古演段》便是在这种情况下写成的。《益古演段》则把天元术用于解决实际问题，研究对象是日常所见的方、圆面积。《益古演段》的价值不仅在于普及天元术，理论上也有创新。首先，李治善于用传统的出入相补原理及各种等量关系来减少题目中的未知数个数，化多元问题为一元问题。其次，李治在解方程时采用了设辅助未知数的新方法，以简化运算。

朱世杰和《四元玉鉴》

元代最为著名的数学家当推朱世杰，他也是当时世界上杰出的数学家之一。朱世杰，字汉卿，号松庭，燕山人。他是一位数学教习，周游湖海二十余年。他的数学实践活动大约在元朝初期。著有《算学启蒙》三卷、《四元玉鉴》三卷。前者是从乘除运算，直到“开方”“天元术”等由浅及深的数学启蒙教科书。《四元玉鉴》主要收集了二次和二次以上多元方程组的解法。他在数学上的贡献主要是发明四元术和多种高阶等差级数求和方法。由天元术发展到四元术是当时数学演算中的必然结果。四元术以天地人物表示四个未知数，天在下，地在左，人在右，物在上，中间是太。和天元术的表示法相类似，太（常数项）下面是天的一次方、二次方等等，左边是地的一次方、二次方等等，右边是人的一次、二次方等等，上面是物的一次方、二次方等等。如果天与地相乘则放在左下方各位置，地物、物人、人天相乘类似。只有不相邻的天物、地人相乘各项，则放在相应的夹缝内。四元术的计算方法用四元消法，把四个元经过剔消，最后剩下一个元。这个元如果不是天元，可以易位。然后用天元术的解法，求得答案。朱世杰的多种高阶等差级数求和方法，古代叫垛积术。他以茭草垛（即一加一加二加三……）为母垛，推演出各种不同方式的垛而求其积。其名称有茭草落一形、三角落一形、撒星更落一形等十多种。朱世杰在垛积命名和演算上都掌握了演绎归纳的初步方法，他的演算的结果和推导的公式都很准确。朱世杰在这方面的工作，在当时世界上也是先进的。

算盘的发明与推广

由于手工业生产的发达，商业交换的频繁，宋元时代实用算术方面也有很大的进展。一是发明了除法口诀，二是出现了完整的算码，三是计算工具由筹算发展为珠算。其中珠算的发明是元代一项伟大科学成就。珠算简便快捷，推广很快，元代已经普遍使用算盘，本诗就是刘因《静修先生文集》中的算盘诗。元剧中也有算盘，元末明初陶宗仪的《辍耕录》已论算盘珠。近年发现洪武四年（1371）金陵（今南京）王氏勤有书堂新刊《对相四言杂字》（看图识字书）有算盘图，十档，上二珠下五珠。这是目前发现最早的珠算算盘图。这部《对相四言杂字》中图绘的服装纯是元代式样，知此书的祖本当在元代，书中还有算子图，算子即算筹，《水浒传》中所称的算子也即这种算筹。由此看来，元朝到明初仍是筹算和珠算并用时代，大概到明中叶以后，便废弃筹算而专用珠算。