产生悖论的原因及其相关因素

二、悖论产生的原因

我认为，悖论的产生与三个因素有关，即自我指称，否定性概念，以及总体和无限。尽管不能说这三个因素一定导致悖论，但悖论中一般含有这三个因素。下面对此做详细分析和论述。

1.悖论与自我指称

一般的共识是:悖论总与自我指称有关联。所谓自我指称，简称“自指”，是指一个总体的元素、分子或部分直接或间接地指称这个总体本身，或者要通过这个总体来定义或说明，这里提到的总体可以是一个语句、集合或类。罗素明确指出:“一切悖论……都有一个共同特征，我们称之为自我指称性或自返性。……在每一悖论中，对某种情况的所有情况有所论述，从所说的情况就产生一种新的情况，它既与下述情况相同，又不相同:即在所说的情况中牵涉到所有的那些情况。但这是不合法总体的特征……因此，我们的所有悖论都犯了恶性循环的谬误。”“这种恶性循环起源于这样的假定:对象的一个汇集可以包含只能用作为一个整体的汇集加以定义的那些分子。” ⁽⁹⁾

自我指称分两种情况:一是直接循环，作为总体的元素、分子和部分反过来直接指称这个总体，或直接需要用这个总体来定义。最典型的是说谎者悖论和罗素悖论。例如，下述说谎者悖论语句

之“悖”就在于:“本方框内的这个语句”作为“本方框内的这个语句是假的”的主语，却指称这整个语句本身。罗素悖论的情况与此类似:把所有集合分为两类，以自身为元素的集合，不以自身为元素的集合。把所有不以自身为元素的集合收集起来，构成一新的集合——“不以自身为元素的所有集合的集合”。这时再问“这个新集合是不是自己的元素”，从而构成了如下的直接循环 ⁽¹⁰⁾:

另一种是间接循环，即表面上没有循环，但在兜了一个或大或小的圈子之后又回到原处，最后依然是自我指称。圈子兜得最小的是“明信片悖论”:

苏格拉底说了唯一一句话:柏拉图说假话；

柏拉图说了唯一一句话:苏格拉底说真话。

问:苏格拉底（或柏拉图）究竟说真话还是说假话？

要确定苏格拉底是否说真话，好像只要看柏拉图的话真不真；而要确定柏拉图的话之真假，又要回到苏格拉底自己的话，这实际上就等于苏格拉底自己说自己说假话，归根结底仍是自我指称。

把明信片悖论展开，让圈子兜得更大，这就是我所谓的“转圈悖论”（我自己杜撰的一个名词）。一般地说，若依次给出有穷多个句子，其中每一个都说到下一个句子的真假，最后一个句子断定第一个句子的真假。如果其中出现奇数个假，则所有这些句子构成一个悖论，并且此一情况构成“恶性循环”。图示如下:

间接循环的另一类型是我所谓的“砝码悖论”（我本人杜撰的另一个名词），也就是我前面说到过的“经验悖论”，那里给出了好几种形式，最典型的一种是:共有n＋m＋1个命题，其中有n个假命题，m个真命题，并且n＝m，最后一个命题则是:这里假命题比真命题多。这又等于最后一个命题自己说自己假，仍是自我指称。

这里有两个问题要考虑:

（1）是否所有的悖论都是自我指称的？能否找到或构造出不自我指称的悖论？据我看来，对前一问题的答案是肯定的，对后一问题的答案则是否定的，因为经仔细分析就会发现:现有的所有悖论都是自我指称的，只不过有直接自我指称和间接自我指称的区别罢了。罗素肯定了这一点，逻辑学家们也都肯定了这一点，至少我本人没有发现在这个问题上唱反调的学者。

（2）自我指称是否必然造成悖论？对这个问题的答案也是明显否定的。相应于说谎者悖论、里查德悖论、明信片悖论、转圈悖论和砝码悖论，我们都可以构造其“说真话者”变形。例如，说谎者悖论的说真话者变形是:

如果这句话真，则这句话真；如果这句话假，则这句话假，并没有任何悖论。里查德悖论的说真话者变形是:“‘自谓的’是自谓的吗？”这不会造成任何悖论。一连串句子都说到下一个句子的真假，而最后一个句子却说到第一个句子的真假。如果其中出现偶数个假（包括不出现假），则不构成任何悖论，故此一情况为“良性循环”。亦可图示如下:

我们的日常话语中有许多这样良性的自我指称，例如:

本语句是用中文书写的。

本人说话是算数的。

约翰是所有英国人中个子最高的英国人。

它们并不造成悖论。但是，一般认为，即使是良性循环也是一种病态。与此类似的另一种病态是“无穷倒退”:有无穷多个（良序的）句子，它们每一个都断定下一个句子的真假。这些句子都可以是说真话者。

2.悖论与否定(www.xing528.com)

悖论看来总是与否定直接相联系的，例如:

不以自身为元素的集合的集合是不是自身的一个元素？

非自谓的谓词是不是自谓的？

说自身为假的语句为真抑或为假？

不能用……定义的自然数能否用……定义？

如此等等。但是，显然并非任何否定概念都可以构成悖论，它必须与自我指称的命题联系在一起，构成自我相关的否定，或者更明确地说，构成自我否定，如:

本语句是假的。才会导致悖论。

因此，悖论的成因在于由概念或命题的“自我指称”加上“否定”构成的“自我否定”。若没有这样的“自我否定”，就无法构成悖论。具体地说，如果没有自我否定，尽管有自指现象，如直接自指“本语句是真的”，和间接自指“苏格拉底说了唯一一句话:柏拉图说真话；柏拉图说了唯一一句话:苏格拉底说真话”。或尽管有否定，但不存在自指，如“他正在说的那句话是假的”，“不属于空集的所有元素构成的集合”，等等，都不构成悖论，并且例如“不属于空集的所有元素构成的集合”是确实存在的，这个集合就是全集。

上面说明，悖论的产生与自指加否定有关，但问题在于:自指加否定是否必然导致悖论？看来未必，例如:

本语句不是中文语句；

本人不是所有中国人中最聪明的中国人。

都不构成悖论。

于是有人说，形成悖论的不是一般的否定概念，而是被片面夸大到绝对的否定概念，叫做绝对否定概念。悖论总是与绝对否定概念相关联的。问题在于什么是“绝对否定概念”？他们举例说，像“最大”、“最小”这样的概念并不是绝对否定概念，因此像“小李是本班个子最高的人”并不构成悖论；但如果说“小李是比他所在班上所有人都高的人”，情况就不同了，由于“比他所在班上所有人都高的人”是一个绝对否定概念，因此上述命题就可能导致悖论。 ⁽¹¹⁾

由此看来，所谓绝对否定，实际上涉及到“总体”和“无限”的问题。

3.悖论与总体、无限

如前所述，罗素认为悖论产生的原因在于恶性循环，于是他提出了著名的（禁止）“恶性循环原则”:“‘凡涉及一个集合的全部元素者，它一定不是这一集合的一个元素’；或者相反，‘如果假定某一集合有一个总体，且这个总体含有仅由这个总体才能定义的元素，那么所说的集合就没有总体’。” ⁽¹²⁾罗素说，之所以把上述原则叫做“恶性循环原则”，是因为它能使我们避免那些由假定不合法的总体而产生的恶性循环。……“所有命题”，在它成为一个合法的总体之前，必须以某种方式加以限制，并且任何使它合法的限制，必须使关于总体的任何陈述不属于这个总体的范围之内。

我认为，与悖论相关的总体有两类:

一类涉及到有穷，最典型的是如下的“砝码悖论”:“共有五个命题，其中有两个真命题，两个假命题，第五个命题说:‘假命题比真命题多’。”再如:“我说过的所有的话，包括本句话在内，都是假的。”不管此人多么长寿，也不管他一生中说过多少话，由于生也有涯，以“有涯之生”说“无涯之事”，即使不停地说，“说”还是“有涯”，即他所说过的话语在数量上是有穷的。前面谈到的直接自指造成的悖论，以及间接自指造成的悖论如“转圈悖论”、“砝码悖论”等，大多涉及到有穷总体。若间接自指涉及无穷，一般不会形成“圈”，而只是“无穷倒退”，但无穷倒退尽管在逻辑上有严重缺陷，却并不导致悖论。

另一类涉及无穷，各种各样的“大全集”都是如此:“所有不以自身为元素的集合之集”，“所有序数的集合”，“所有基数的集合”，等等。对无穷有两种看法:潜无穷和实无穷。潜无穷把无穷性对象看成一个永无止境的过程，强调其过程性；实无穷则是把无限性对象看成是完成了的整体，强调其完成性。我认为，即使不是全部，也至少是大多数逻辑—数学悖论源自于对潜无穷对象做实无穷的把握。例如，根据素朴集合论的造集规则，“……的集合”就是一潜无穷对象，其中“……”表示该集合所必须满足的条件；因为从已生成的集合中我们又可造出新的集合来，这个过程没有完结之时。但我们又说“所有……的集合”，这实际上是把该集合当作一个完成了的整体，如“所有不以自身为元素的集合的集合”，但这个新的集合显然又有一个是不是自身的元素的问题，由此导致罗素悖论。因此，克服此类悖论的办法之一就是不允许对潜无穷对象做实无穷的处理，后来的公理集合论对悖论的处理大致是沿着这条途径进行的。

关于悖论产生的根源，不同的研究者作出了不同的哲学抽象。例如，有人认为，悖论是客观实在的辨证性与主观思维的形而上学性质与形式逻辑化方法之间的矛盾的集中体现。 ⁽¹³⁾另有研究者指出:“辩证哲学对于悖论产生的根源的一般认识可以概括为:认识对象所固有的矛盾和主客观之间的矛盾，便是悖论产生的实在根源。更具体地说，悖论产生于人类思维‘超出它自己的那些进行分离的规定，并且要联系它们’之时。这些用于进行分离的规定是一些范畴，诸如我们谈到的个别与一般、肯定与否定、间断性与连续性、静止与运动等等。在利用这些范畴进行的抽象思维的基础上，再对它们本身进行考察之时，若仍然局限于固定范畴的知性思维方法，考察它们的联结，或考察它们的联结的最高问题（存在和非存在的关系、真与假的关系等等），便会产生悖论性的冲突。用哲学的术语概而言之:悖论产生于在人类思维中进行相对与绝对的‘割离性’联结之时。这便是辩证哲学对于悖论根源的一种深层把握。” ⁽¹⁴⁾

至于此类说法的是与非，我目前尚没有什么确切的意见，故不予置评，聊备一说，供读者参考。