悖论的定义和类型：深入解析并剖析悖论家族

一、悖论的定义和类型

1.究竟什么是悖论？

“悖论”是英语词paradox的中译，从字面上说，悖论是指违反常识的或荒谬的理论，或自相矛盾的语句或命题。最早的悖论可追溯到公元前6世纪古希腊克里特岛人埃匹门尼德，他提出了著名的说谎者悖论:“所有的克里特岛人都说谎。”他究竟说了一句真话还是假话？如果他说的是真话，由于他也是克里特岛人之一，他也说谎，因此他说的是假话；如果他说的是假话，则有的克里特岛人不说谎，他也可能是这些不说谎的克里特岛人之一，因此他说的可能是真话。此后对悖论的研究一直绵延不绝，并经历了至少两个高峰时期，一是欧洲中世纪经院逻辑对悖论的研究，另一个是从19世纪末一直延续到今天的悖论研究。后一时期先主要从数学、逻辑学角度研究悖论，后来则更多地从哲学和语义学的角度去研究悖论。在长达几千年的研究过程中，“悖论”已成为一个庞大的家族，其中混杂着五花八门的成员，各种冠以“悖论”的语句或推论差异极大。因此，我们有必要先厘清“悖论”的精确涵义，然后对其家族成员进行甄别，在此基础上展开对悖论的讨论。

在目前的用法中，“悖论”一词至少有以下四种涵义:

第一，违反常识，有悖直观，似非而是的真命题。例如，在数学史上曾喧嚣一时的所谓“无穷小悖论”就是如此:微积分中的无穷小似零（作为加项可以略去），但又非零（可以作为分母），（表面上）自相矛盾。于是，当时的英国大主教、著名哲学家贝克莱说它像一个飘动不居的鬼魂。所谓的“伽利略悖论”也与此类似:对于任一平方数，有且只有一个自然数与之一一对应，即作为整体一部分的平方数竟与作为整体的自然数一样多。这与当时已知的数学知识相悖。在逻辑中，有为数众多的所谓“蕴涵悖论”，例如著名的“实质蕴涵悖论”:真命题被任一命题所蕴涵；假命题蕴涵任一命题；以及本书前面讨论过的各种“道义悖论”。这些“悖论”都是相应的逻辑系统中的定理，这些系统也是可靠的或者一致的，内部没有任何矛盾。这些定理之“悖”在于它们有“悖”于关于相应概念的常识、直观、经验等，因此，它们最多只能被叫做“直观悖论”，不属于严格意义的“悖论”之列。

第二，与公认的看法或观点相矛盾的命题或原则，似是而非，但其中潜藏着深刻的思想或哲理。最典型的是古希腊哲学家芝诺提出的四个“芝诺悖论”，即“二分法”、“阿基里斯追不上龟”、“飞矢不动”、“一倍的时间等于一半”。这里仅以他的“二分法”为例:假定某个物体向一个目的地运动，在它达到该目的地之前必须走完这路程的一半，而要走完这路程的一半，又要走完这一半的一半；要走完这一半的一半，则要先走完这一半的一半的一半，如此递推，以至无穷。因此，第一次运动所要达到的目标是没有的，但没有第一次运动的目标就不可能开始运动，因此就没有运动，因此运动是不可能的。这里，芝诺的论证并不是在描述或否认运动的现象和结果，而是要说明运动是如何可能的，我们应该如何在理智中、在思维中、在理论中去刻画、把握、理解运动！当然，芝诺的结论是不成立的。与此类似的是康德关于时间和空间的四个“二律背反”，仅举一例:正题:“世界在时间上有开端，在空间上有界限”；反题:“世界并无开端，也无空间的界限。就时空而言，它是无限的。”康德以触目惊心的形式揭示了世界本身就存在的矛盾。芝诺和康德的论证中都隐含着深刻的思想。再如中国古代的名辩学家，曾提出了诸如“白马非马”、“鸡三足”、“卵有毛”这样一些表述形式怪诞的命题，其中有些命题甚至隐含着集合论思想的萌芽。

第三，从一组看似合理的前提出发，通过有效的逻辑推导，得出了一对自相矛盾的命题，这时我们称导出了悖论。例如中国古代曾有人主张“言尽悖”，《墨子》反驳说:“以言为尽悖，悖，说在其言。”（《经下》）“之人之言可，是不悖，则是有可也；之人之言不可，以当，必不当。”（《经说下》）其意思是:“一切言论都是虚假的”这句话必然导致自相矛盾，用印度因明的话来说，就是“自语相违”。伽利略从亚里士多德的“物体的下落速度与物体的重量成正比”这一命题出发，也导出了一对矛盾:假设亚氏的理论是正确的，我们设想有两个物体A和B，其中A重B轻。按照亚氏理论，则A下落得快B下落得慢。现在我们设想把A和B绑在一起成为A＋B。显然，A＋B比A重，按亚氏理论，则A＋B下落得比A快；但A＋B是由A和B合成的，按当时已确证的另一理论，两物的合成速度不会等于或高于其中单独一物的速度，因此A＋B下落应比A慢。而这两个结论是矛盾的，伽利略由此提出“物体的下落速度与物体的质量没有关系”的新理论，据说还进行了一次著名的比萨斜塔实验以验证他的推断。本章后面要谈到的许多悖论，都是此种意义上的，例如布拉里—弗蒂悖论、康托尔悖论、里查德悖论，等等。

第四，悖论是指从一组看似合理的前提出发，通过正确有效的逻辑推导，得出了一个由互相矛盾的命题构成的等价式:p→p。这种悖论最典型的是“强化的说谎者悖论”和“罗素悖论”。前者是指这样一种情形:一个人说了唯一一句话:“我正在说的这句话是假的。”请问这句话究竟是真的还是假的？如果这句话是真的，则它说的是真实的情形，而它说它本身是假的，因此它是假的；如果这句话是假的，则它说的不是真实的情形，而它说它本身是假的，因此它本身不是假的，而是真的。于是，这句话是真的当且仅当这句话是假的，这就是悖论。这样的悖论还有“鳄鱼悖论”、“理发师悖论”，等等。

国内学界对“悖论”的定义通常只取第四种意义。例如，《中国大百科全书·哲学》中这样定义“悖论”:“指由肯定它真，就推出它假，由肯定它假，就推出它真的一类命题。这类命题也可以表述为:一个命题A，A蕴涵非A，同时非A蕴涵A，A与自身的否定非A等值。” ⁽¹⁾《辞海》中对“悖论”的定义则是:“一命题B，如果承认B，可推得B；反之，如果承认B，又可推得B，则称命题B为一悖论。” ⁽²⁾以研究悖论著称的张建军对“悖论”的理解是:悖论是从某种公认正确或暗中假定的背景知识（简称共识）中逻辑地推导出来的两个相互矛盾命题的等价式；构成一个悖论必须具备如下因素:（1）任一悖论都是相对于某些共识而言的。这些共识既可以是人们公认的明晰的知识，也可以是人们不自觉地确认的共同的直觉，或者是某个特定的理论体系。（2）任一悖论都是从某些共识合乎逻辑地推导出来的，悖论的产生不是源自于逻辑推导过程的错误。不需逻辑推导、一望而知的自相矛盾，只是一般的逻辑矛盾，不是悖论。（3）悖论表现为或可以表现为两个互相矛盾命题的等价式，即p→p。概而言之，“共识、逻辑推导和矛盾等价式，是构成悖论的三要素” ⁽³⁾。

我基本同意张建军关于悖论的上述看法，但对于把“悖论”限制于“两个互相矛盾命题的等价式”这一点有所保留，因为有不少悖论并不表现为这样的等价式，例如布拉里—弗蒂悖论、康托尔悖论、里查德悖论等，勉强把它们化归于这样的等价式也不太自然。我倾向于把上面第三种和第四种意义的“悖论”看作是真正的悖论，于是我所同意的“悖论”定义是:“如果某一理论的公理和推理规则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式。那么，我们说这个理论包含一个悖论。” ⁽⁴⁾或者换一种更松散的说法:如果从看起来合理的前提出发，通过看似正确有效的逻辑推导，得出了两个自相矛盾的命题或这样两个命题的等价式，则称得出了悖论。这里的要点在于:推理的前提看似明显合理，推理过程看似合乎逻辑，推理的结果则是自相矛盾的命题或矛盾命题的等价式。

2.悖论的类型

（1）拉姆塞的悖论分类。

1925年，拉姆塞在一篇题为《数学基础》的论文中最先把当时已知的悖论分为逻辑—数学悖论和语义悖论两大类。他认为，有一种悖论不涉及内容，只与元素、类或集合、属于和不属于、基数和序数等数学概念相关，它们能用符号逻辑体系的语言表述，并且只出现于数学中，这样的悖论是逻辑—数学悖论。另外一种悖论不是纯逻辑和纯数学的，而与一些心理的或语义的概念，如意义、命名、指称、定义、断定、真、假等相关。后一类悖论并不出现于数学中，它们可能不是产生于逻辑和数学中的错误，而是源自于心理学或认识论中关于意义、指称、断定等概念的含混。 ⁽⁵⁾拉姆塞的悖论分类很快被普遍接受，只不过后来常把逻辑—数学悖论改称为“语形悖论”，于是我们有下述的悖论分类表:

下面我们逐一简单叙述这些悖论。先说第一组“语形悖论”:

布拉里—弗蒂悖论 最早是由康托尔发现的，但未公开发表。布拉里—弗蒂于1897年重新发现，该悖论与集合论中的良序集有关。可叙述如下:在集合论中有这样三个定理:（i）每一良序集必有一序数；（ii）凡由序数组成的集合，按其大小为序排列时，必为一良序集；（iii）一切小于或等于序数α的序数所组成的良序集，其序数为α＋1。根据康托尔集合论的造集规则（概括规则），由所有序数可组成一良序集Δ，其序数为δ，这样δ也应包括在由所有序数组成的良序集Δ之中，而根据（ii），由包括了δ在内的所有序数组成的良序集Δ的序数应为δ＋1，比δ要大，故δ不会是所有序数的集合的序数，由此得到自相矛盾的结果。

康托尔悖论 这个悖论是由康托尔发现的。素朴集合论中有一条康托尔定理:任一集合M的基数小于其幂集P（M）（由M的一切子集所组成的集合）的基数。根据概括规则，可由一切集合组成集合μ，由康托尔定理，μ的基数小于μ的幂集P（μ）的基数。但是，P（μ）又是μ的一个子集，证明如下:设x为μ的一个子集，即x∈P（μ），由此可知x是一集合，故x∈μ，因此P（μ）≤μ，即P（μ）为μ的子集，从而P（μ）的基数小于或等于μ的基数，矛盾。这就是康托尔悖论。

罗素悖论 这也是素朴集合论中的一个悖论。根据概括规则，由下述条件可定义一个集合S:对任一x而言，x∈S当且仅当x∈/x。在这个条件中用S替换x，得到悖论性结果:S∈S当且仅当S∈/S。这个悖论只涉及“集合”、“集合的元素”等简单概念。可用自然语言复述如下:

把所有集合分为两类:（i）正常集合，例如，所有中国人组成的集合，所有自然数组成的集合，所有英文字母组成的集合。这类集合的特点是:集合本身不能作为自己的一个元素。（ii）非正常集合，例如所有集合所组成的集合，所有观念的集合。这类集合的特点是:集合本身可以作为自己的一个元素。现假设由所有正常集合组成一个集合S，那么S本身属不属于S自身？或者说，S究竟是一个正常集合还是一个非正常集合？如果S属于自身，则S是非正常集合，所以它不应是由所有正常集合组成的集合S的一个元素，即S不属于它自身；如果S不属于它自身，则它是一正常集合，所以它是由所有正常集合组成的集合S的一个元素。于是，得到悖论性结果:S属于S当且仅当S不属于S。

这个悖论是由罗素于1902年发现的。策梅罗也曾独立地发现了这个悖论，所以有时候把此悖论称为罗素—策梅罗悖论。

理发师悖论 这是罗素悖论的日常语言变形。某村庄有一位理发师，他规定:给并且只给本村庄中不给自己刮胡子的人刮胡子。那么，他究竟给不给他自己刮胡子？如果他给自己刮胡子，则按照他的规定，他不应给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，则按照他的规定，他应该给自己刮胡子。由此得到悖论性结果:他给自己刮胡子，当且仅当，他不给自己刮胡子。但这个悖论的问题是，人们很容易地从它得出结论:根本不可能有这样一个理发师，更具体地说，或者这位理发师不是该村村民；如果这位理发师是该村村民，则或者她本身是一位女士，不需要给自己刮胡子；或者他颁布了一条自己无法执行的规定。在其他悖论的情况下，常常不那么容易地否定某个前提或结论。因此，理发师悖论常常被叫做“伪悖论”，或者悖论的拟化形式。

现在叙述第二组悖论——“语义悖论”，其中提出最早也最典型的是:

说谎者悖论 前已指出，克里特岛人埃匹门尼德说“所有的克里特岛人都说谎”，从这句话真可推出它假，但从这句话假只能推出它可能真。于是，公元前四世纪的欧布里德斯把说谎者悖论改述为:一个人说:“我正在说的这句话是假话。”可以确定，这个人说真话当且仅当这个人说假话。有时为了更明确起见，把说谎者悖论表述为:

容易确定，此方框内的那句话是真的当且仅当它是假的，由此得到悖论。

说谎者悖论有许多变形，欧洲中世纪的经院哲学家们对此作了专门而精深的研究。这里仅举两种类型:

一种是明信片悖论。一张明信片的一面写有一句话:“本明信片背面的那句话是真的。”翻过明信片，只见背面的那句话是:“本明信片正面的那句话是假的。”无论从哪句话出发，最后都会得到悖论性结果:该明信片上的某句话为真当且仅当该句话为假。显然，明信片悖论可以扩展为转圈悖论，下面讨论悖论产生根源时将更详细地剖析此类悖论。

另一种可以叫做经验悖论。给出几个命题，根据常识和经验，可以确定一些命题的真假，另一个命题的真假却不能凭经验或常识确定，而要靠它自身确定:如果它是真的，则会逻辑地推出它是假的；如果它是假的，则会逻辑地推出它是真的。例如:

（1）有唯一一个析取命题:“2＋2＝5或者这个析取命题是假的。”

由于此析取命题的一个析取支2＋2＝5明显为假，于是该析取命题真不真就取决于它的另一个析取支“这个析取命题是假的”的真假，可以逻辑地推知:此析取支为真当且仅当此析取支为假。

以下仅列出几组这样的悖论性命题，而舍去了分析过程:

（2）2×2＝4并且这个合取命题是假的。

（3）仅有三个命题:所有的人都是傻瓜；雪是黑的；这里的每一个命题都是假的。

（4）仅有四个命题:人是动物；雪是白的；独角兽不存在；除这最后一个命题外的其他每一个命题都是真的。

（5）仅有三个命题:莎士比亚是英国国王；李白是诗人；这里的假命题比真命题多。(www.xing528.com)

在此类悖论中，一组命题的真假取决于其中一个支命题的真假，后者就像一个砝码一样，但这个支命题却通过迂回的途径说自己为假，从而导致悖论。在这个意义上，我给它们杜撰了另一个名称:砝码悖论。

里查德悖论 这是由法国人里查德于1905年发现的一个悖论。任一语句都是用可能重复的法语或其他语言的字母加上若干其他符号或空位构成的有穷长的符号序列。现在设想:由能用有穷长语句加以定义的一切十进位小数组成一个集合，并且令中的元素按字典顺序排列为E₁，E₂，E₃，…，E_n，…，且令E_n＝0.x_n1x_n2x_n3…x_nn…，这里x_nn表示中第n个小数的小数点之后的第n位数。另外构造一个无限十进位小数N＝0.y₁y₂y₃…y_n…，并将y_n定义为:如果x_nn＝1，则令y_n≠1；若x_nn≠1，则令y_n＝1，也就是说使每一个y_n都不同于x_nn。N是能用有穷长语句定义的无限十进位小数，而是由所有能用有穷长语句加以定义的无限十进位小数的集合，故N∈E。但是，由N的定义知，N与中的任一十进位小数都有一个有穷差值，故N与E中的任一十进位小数都不同，所以N∈/E。由此导致悖论。

里查德悖论有很多的变形，下述变形为哥德尔证明其著名的不完全性定理时提供了思路。自然数各子集的性质可以用有穷长语句写下来，作为相应部分自然数的定义，并用自然数给这些定义编号，这会出现两种情况:其一，所编号码与相应定义所揭举的性质相符，如关于素数的定义刚好编在第7号，而且正好是一个素数；其二，所编号码与相应定义不符，如关于奇数的定义却编在第8号。我们把后一类作为编码的自然数称为“里查德数”，而把前一类作为编码的自然数称为“非里查德数”。于是，里查德数就是与相应定义不相符的编码自然数，非里查德数则是与相应定义相符的编码自然数。显然，是不是里查德数，也是可以用有穷长语句所揭举的自然数的性质，也有一个编码数。请问:“是里查德数”的编码数是里查德数还是非里查德数？逻辑的结论是:它是里查德数当且仅当它不是里查德数。

贝里悖论 罗素在《以类型论为基础的数理逻辑》（1908）一文中提到这个悖论，据罗素称，它是由剑桥大学的图书馆员贝里于1906年发现的。这个悖论原来的表述依赖于英语表达式，为合乎汉语习惯，改用汉语表述:“用少于十八个汉字不能命名的最小整数。”这个摹状词本身只有17个汉字，它却命名了这个最小整数，矛盾！据认为，贝里悖论是“里查德悖论的一种深刻和天才的简化”，它以极其简单明了的形式揭示了日常语义概念所潜藏的矛盾。

格雷林悖论 这个悖论是由德国人格雷林于1908年提出并发表的，亦称“非自谓悖论”。可把所有形容词分为两类:一类是对自身适用的，如“pentasyllabic”（5个音节的）、“中文的”、“短的”；一类是对自身不适用的，如“monosyllabic”（单音节的）、“英文的”、“红色的”。我们把前一类词称为“自谓的”，把后一类词称为“非自谓的”。现在的问题是:“非自谓的”这个词究竟是自谓的还是非自谓的？逻辑的结论是:它是自谓的当且仅当它是非自谓的。悖论！

（2）汤姆森的对角线定理。

以上列举了两类不同悖论的主要形式。但是，汤姆森于1962年发表《论几个悖论》一文，证明通常所谓的逻辑—数学悖论（语形悖论）和语义悖论实际上有共同的结构。⁽⁶⁾他利用康托尔的对角线方法，证明了一条对角线定理Ⅰ:

Ⅰ　设S是任一集合，R是至少在S上有定义的任意关系，则S中不存在这样的元素，它与且仅与S中所有那些与其自身没有R关系的元素具有R关系。

用集合论的语言表述，Ⅰ就是:

由于集合可以用相应的谓词来刻画，因此我们可以把集合论语言“y∈S”翻译为一阶语言“S（y）”，于是这条定理的一阶逻辑表达方式是:

只要使用反证法、存在消去、全称消去、分离规则等，就能证明这个公式是一阶逻辑的定理。

汤姆森指出，理发师悖论、格雷林悖论、里查德悖论、罗素悖论实际上都是建立在对角线方法之上的。

先看格雷林悖论，这是汤姆森重点分析的对象。作为对角线定理的特例，没有哪一个形容词的汇集中会含有这样一个形容词，它对且只对该汇集中所有那些“非自谓的”（不适用于自己）的形容词为真。但另一方面，我们确实可以把所有那些不适用于自身的形容词叫做“非自谓的”，这后一形容词就刻画了所有这些形容词的共同性质。悖论！

再看里查德悖论，不过这里讨论的是它的另一种形式。令N是正整数集合，并设N按字典顺序排列，以便我们能够谈论N中第1个名称，第2个名称……令Ryx表示:如果已用N中第x个名称命名一正整数集合，则y不在该集合之中。那么，作为Ⅰ的特例，在N中一定存在这样一个正整数集合，在N中没有它的命名，这个集合就是｛x｜R（x，x）｝。但另一方面，｛x｜R（x，x）｝本身就给出了这个集合的命名。悖论！

然后看罗素悖论。令S是集合的一个汇集，再令S′是S中所有那些正常集合（本身不能作为自己的一个元素的集合）的汇集。作为Ⅰ的特例，则S′就不是S中的一个集合。换句话说，如果存在由且只由S中所有那些正常集合组成的汇集，则S′就不是这个汇集的元素。特别地，如果S中所有的集合都是正常集，则S就不是它自身的元素。但另一方面，“本身不能作为自己的一个元素的集合”也是一类集合的一条性质，根据素朴集合论的概括规则，也能够构成一个集合，这个集合也应该把它本身包括在内。悖论！

最后看理发师悖论。设S是某村村民的集合，R（y，x）定义为“y给x理发”，作为Ⅰ的特例，在S中不存在这样的村民，他给并且只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子，因而从理发师的规定出发，必然导致悖论。正如前面说过的，这里与前述各悖论的不同之处在于，很容易得到这样的结论:如果该村有这样一位理发师，则他给自己制定了一条根本无法执行的规定；或者，该村没有这样一位村民，或者该位村民是一位女士，因而不需要给自己刮胡子。正因如此，汤姆森把这个悖论叫做“伪悖论”。由于对角线定理对理发师悖论的分析最容易理解，因而后来有的逻辑学家把对角线定理干脆叫做“理发师定理”。

汤姆森没有分析说谎者悖论，但我们可以这样来分析它:设S是所有命题的集合，R（y，x）定义为“y说x真”，作为Ⅰ的特例，不存在这样一个命题，它说x为真当且仅当x为假。但是，根据拉姆塞、斯特劳森等人所主张的冗余真理论，每一个命题都自动地说它自己为真，因此构成说谎者悖论的语句“本语句是假的”也是如此。悖论！ ⁽⁷⁾

按照拉姆塞的分类，格雷林悖论、里查德悖论、罗素悖论、理发师悖论、说谎者悖论属于不同的悖论类型。而按照汤姆森的分析，所有这些悖论都有统一的结构，这样实际上就取消了拉姆塞的分类。正因为如此，在汤姆森的工作以后，有些西方逻辑学家把所有这些悖论统称为“对角线悖论”。

（3）两类悖论结构相同的另一种说明。

逻辑—数学悖论（语形悖论）和语义悖论具有相同的结构也可以这样来说明:

我们构造一个形式系统L′，它的语言是一阶语言L的扩充，其中包括集合论符号∈和∈/，谓词的谓词，以及关于命题的量词（二阶量词）。L′接受一阶逻辑的公理和推理规则，以及素朴集合论的概括规则。在这样的语言中，可以同时表达说谎者悖论、格雷林悖论和罗素悖论等几个典型的悖论，前提条件是采用冗余真理论。

根据拉姆塞的观点，谓词“真的”和“假的”实际上是多余的，只有语用或修辞的作用。他分两种情形说明了这一点:第一，人们明确地把“真”、“假”归属于某个命题，如“p是真的”，“p是假的”。拉姆塞认为，前者只不过意味着p，后者只不过意味着非p。第二，人们用“真的”、“假的”去描述没有明确说出的命题，例如“他所说的话都是真的”。拉姆塞认为，可以采用命题量化的办法把这句话改述为:

现在，构造一个说谎者悖论型语句q，它是下述命题的缩写:

其意思是:一命题说自己是假的。由（ii）在L′可以推导出悖论:

具体推导过程如下:

由假设（1）得到（5），由假设（6）得到（11），这样就得到了上面的悖论性命题（iii）。

根据L′中的概括规则，每一个谓词都唯一地确定一个集合，也就是说，用作为集合的元素的性质（谓词）可以定义一个集合，尽管一个集合可以用多个不同的谓词来定义。由集合与谓词的关系可以推知集合的集合与谓词的谓词的关系。根据一定的转换方法，集合论中所使用的所有概念都能在L′中找到其相应的符号表达式。于是，不分层的L′可做素朴集合论解释。于是，格雷林悖论可以在L′中导出。设P是任一谓词，P（P）表示性质或谓词P适用于自身，也就是说P是自谓的，－P（P）则表示P是非自谓的。用－P替换谓词变元P，公式P（－P）和－P（－P）都有意义。如果P（－P）为真，则－P（非自谓的）是自谓的，也就是－P适用于自身，这等于说－P是－P，即－P（－P）为真；如果－P（－P）为真，则－P是－P，也就是－P适用于自身，这等于说－P是自谓的，即P（－P）为真。由此得到悖论P（－P）→－P（－P）。这个悖论的集合论表达就是罗素悖论，与谓词的谓词“非自谓的”（－P）相应的是“不以自身为元素的集合的集合”（｛x｜x∈/x｝）。这说明，作为语义悖论的格雷林悖论与作为语形悖论的罗素悖论可以相互转换。

按类似的办法，可在L′中构造罗素悖论。根据L′中的素朴集合论的概括规则:

意思是:从任一含变元x的公式α（x）可构造一个集合，对（1）作全称消去，得:

用x替换S，得:

令α（x）就是x∈/x，于是从（3）得到悖论:

这说明，拉姆塞所区分的两类悖论只具有纯粹相对的意义，作为一个工作假说仍可使用，但从归根结底的角度看，两类悖论实际上有同样的结构，并且可以相互转换。 ⁽⁸⁾