绝对必然性与逻辑真理：当代中国人文大系

五、必然性和逻辑真理

人们总是说“逻辑真理是必然的”，但这里的“必然性”究竟是何种意思，我们并不是十分清楚，需要作一番梳理和辨析。我赞成逻辑真理问题上的某种相对主义，即认为逻辑真理是相对于某个逻辑系统及其解释而言的，只具有某种相对的必然性；离开一定的系统及其解释，甚至问一个命题是不是逻辑真理都没有意义。

1.“必然性”词义辨析

必然性既可用来修饰、限定事物、事件，又可用来修饰、限定反映事物、事件的语句或命题，这里关注后一种情形。由于必然性和偶然性的区分是哲学史上由来已久的话题，不少哲学家对必然性提供了种种不同的说明，就其定义方式看，主要有以下几种:

（1）诉诸事物的本质。例如，《中国大百科全书·哲学》给必然性和偶然性所下定义是:“从本质因素和非本质因素的方面来反映事物间不同类型联系的一对范畴。必然性是指现实中由本质因素决定的确定不移的联系和唯一可能的趋势；偶然性是指现实中由非本质的、互相交错的因素决定的以多种可能状况存在的联系。”这种定义方式源自于亚里士多德。

（2）诉诸矛盾律。这种定义方式可能是由莱布尼茨最先倡导的。他认为，矛盾律不仅是思想和证明的根本规律，而且是事物存在的根本规律，故他给出的两个必然性定义都以矛盾律为基础。（i）一个真理是必然的，如果它的否定包含逻辑矛盾。例如，“B是B”，“B不是非B”，“如果B不是C，则B不是C”，“等边三角形是三角形”都是必然真理，因为它们的否定都包含逻辑矛盾。反之，如果一个真理的否定不包含逻辑矛盾，它就是偶然的。（ii）一个真理是必然的，如果它的否定是不可能的。由于莱布尼茨用矛盾律定义可能性和不可能性，例如他认为，包含逻辑矛盾的就是不可能的，反之则是可能的，因此（ii）可以化归于（i）。

（3）诉诸可能世界。这也是由莱布尼茨给出的，他把“A是必然的”定义为“A在所有可能世界中真”。现代模态逻辑基本接受了莱氏的定义，其修正在于使必然性和可能性概念相对化，不再一般地谈论A是必然的，而只谈A相对于某个可能世界是必然的；不再一般地要求A在所有可能世界中真，只要求A在与该可能世界有关系的所有可能世界中真。这无疑是把必然性的要求放宽了。

（4）诉诸时间，即用时间量词、真等去定义必然性。亚里士多德指出:“必然发生，就是总是发生。……一事物的存在是必然的，则它是永恒的；如果一个事物是永恒的，则它的存在是必然的。” ⁽²⁵⁾这就是说，亚氏把“必然A”定义为“过去一直A并且现在A并且将要永远A”。古希腊麦加拉派的第奥多鲁相对于现在去定义必然性:他“把可能的定义为（现在）是真的或将是真的东西，把不可能的定义为（现在）是假的并且将不是真的东西，把必然的定义为（现在）是真的并且将不是假的东西，并且把不必然的定义为已经是假的或将是假的东西” ⁽²⁶⁾。第氏定义的必然性叫做现在必然性。根据这种观点，每一个关于过去的真命题都是必然的；凡是过去了的事件都是现在必然的，因为已经发生了的就必然是它们所是的样子，它们不可能再是其他的样子。

以上四种定义是从不同角度出发的，彼此相容，其中第一种可以说是纯粹的哲学定义，而第二至四种可以说既是哲学定义也是逻辑定义。它们各有长处，也各有其局限性。例如，第一种定义的困难在于难以说清楚究竟什么是事物的本质；第二种的困难在于不能说明矛盾律本身的必然性；第三种的困难在于难以说清楚究竟什么是可能世界，假如也用矛盾律去说明可能世界:凡是可设想的、不违反矛盾律的种种事物情况就是可能世界，则它也有与第二种同样的困难。

在哲学史上，哲学家们还谈到了必然性的不同种类，例如de dicto必然性和de re必然性，逻辑必然性和物理必然性等，我们这里只关注绝对必然性和相对必然性的区分。这是由亚里士多德首先提出的。他用本质、定义与原因这些概念去说明绝对必然性。他认为，一个主项a具有属性b是绝对必然的，如果a与b之间有本质的联系，或者说b是a的本质。他说:“本质的属性是必然地属于主项的。” ⁽²⁷⁾而主项a与谓项b有本质的联系，则是指（i）b是a的本质中的一个因素，或者（ii）a是b的本质中的一个因素。相对必然性则是指一个正确推理的结论依赖于前提的必然性:“推理是一个论证，在这里某些东西被给定了，另外的东西必然由前一些东西得出。” ⁽²⁸⁾显然，有相对必然性的东西，例如下述推理中的结论，不一定有绝对必然性:“所有的动物都是白色的，所有的人都是动物，所以，所有人都是白色的。”我认为，若对绝对必然性和相对必然性这种区分作适当修正，可以把它用于我们的目的，即说明逻辑真理的相对必然性。A是绝对必然的，即是说，A是普遍地并且是无条件真的，A的真不依赖于任何的前提、论证和条件等。只有这种意义上的必然性才是真正地与偶然性相对立的。A是相对必然的，则是指A的真是有前提、有条件的；这种必然性不是A本身的性质，而是A与其他命题的一种关系，只有在这种关系中A才是必然的，所以这种必然性是相对于他物的必然性。如果在绝对的意义上，具有相对必然性的A也是一个偶然的真理。

2.逻辑真理的相对必然性

我认为，逻辑真理不具有绝对必然性，只具有相对必然性。理由如下:

（1）一个逻辑常常是建立在许多基本假定或原则之上的，其中的命题（逻辑真理）只是相对于这些假定或原则才是必然的；一旦否定或修改这些假定或原则，它们甚至有可能不再是必然的。

如前所述，经典逻辑建立在下述基本原则或假定之上:（i）外延原则，即经典逻辑在处理语词、语句等时，只考虑它们的外延，并认为语词的外延是它所指称的对象，语句的外延就是它所具有的真值；语言表达式的外延满足弗雷格提出的著名的“组合性原则”。（ii）二值原则:在经典逻辑中，任一命题或真或假，没有一个命题不具有真假值，也没有一个命题具有真假二值之外的其他值。与此相联系，经典逻辑把排中律、矛盾律作为自己的基础，不允许任何逻辑矛盾，它认为从矛盾能够推出一切。（iii）个体域非空，即量词毫无例外地具有存在涵义，单称词项总是指称个体域中的个体，不允许出现不指称任何实存个体的空词项。（iv）采用实无穷抽象法，因而可以在其中研究本质上是非构造性的对象。由于变异逻辑否定或修改了经典逻辑的上述某些基本假定，因此它的定理集与经典逻辑的定理集存在冲突，有些经典逻辑的定理在变异逻辑的系统中不再是定理。前面关于多值逻辑的讨论明确揭示了这一点，在L₃中，经典逻辑的矛盾律和排中律不再成立。

（2）逻辑命题的必然性与推出该命题的逻辑系统的解释有关，其真理性只能在相应的解释或模型中才能得到刻画与说明。

一般而言，一个具有可靠性的系统内的逻辑真理，通常包括公理和定理，定理是经由公理和推理规则得到的，其必然性是相对于公理和推理规则而言的。问题是公理和推理规则的必然性源自何处？难道真的源自于它们的自明性吗？但“自明性”概念本身并不自明，几乎不可能提供一个明确清晰的自明性标准；自明性还是因人而异的，在某些人看来十分自明的东西，在另一些人看来并不那么自明，甚至十分深奥难懂。实际上，逻辑公理和推理规则相对于其中的常项和变项的解释而言才是必然的。例如，命题逻辑公式“p→（q→p）”和“p∨q→q∨p”之所以是永真式，是因为人们给“→”和“∨”规定了如下真值表。

它们的永真性（必然性）来自于上述真值表；假如我们变换其真值表，它们就可能不再是永真的，甚至是永假的了。同样，分离规则（从A→B并且A推出B）的必然性，也源自于“→”的上述真值表。而谓词逻辑的公理，例如

（x）F（x）→F（y）

的必然性除了依赖于常项“→”的解释之外，甚至还依赖于这样一个假定，即变项x，y必须在同一个体域内取值，否则它可能为假。归根结底，狭义逻辑真理只是相对于逻辑公理和推理规则中常项和变项的某种解释而言才是必然的，如果改变其解释，它们不仅不再是必然的，甚至是不可能的。

逻辑真理的这种相对性在一些哲学逻辑分支中表现得特别明显，这里仅以模态逻辑为例。假如我们接受对经典逻辑的常项和变项的通常解释，并且接受莱布尼茨的定义:必然真即在所有可能世界中真，那么，经典逻辑的定理全都在莱氏意义上是必然的，正因如此，模态逻辑中才有这样一条规则:如果A是重言式，则□A（必然A）。除了极小正规模态逻辑系统K具有这种必然性之外，其他模态逻辑系统的定理都不在这种意义上是必然的。例如，前已指出:(www.xing528.com)

□p→◇p

□p→p

□p→□□p

◇p→□◇p

分别是模态命题系统D、T、S4、S5的特征公理，但它们都可以找到反模型，即在某些可能世界中为假。不过，假如给模型内的可能世界之间的可通达关系R附加一些条件，它们就在满足此类条件的任一模型内的所有可能世界上真，在这种意义上它们也是必然的。很显然，它们只具有相对的必然性，而不具有绝对（甚至是经典逻辑意义上的绝对）的必然性。不仅模态逻辑的定理，而且时态逻辑、道义逻辑、直觉主义逻辑、相干逻辑等的定理都是如此。如果要坚持无条件的绝对必然性，那就不仅要否认上述逻辑定理的真理资格，同样也要否认经典逻辑定理的真理资格，而这显然是荒谬的。由此可以看出，逻辑真理还存在真理性和必然性程度方面的差别，有些逻辑真理比另外一些逻辑真理更“真”一些，更“必然”一些，如果它们具有一部分共同假定的话。

（3）逻辑命题相对于不同的系统和解释，可能有不同的真值，其中有的命题在一种系统及其解释中逻辑真，而在另一种系统及其解释中不再逻辑真。

例如，许多广义模态公式要求对应框架上的R满足一定的关系条件，才能成为逻辑真即有效的，否则就不有效。下面考察下述三个时态公式，其中G表示“将要永远”，F表示“将要”，P表示“过去”:

Gp→GGp

（Fp∧Fq）→F（p∧q）∨F（p∧Fq）∨F（q∧Fp）

（Pp∧Pq）→P（p∧q）∨P（p∧Pq）∨P（q∧Pp）

它们分别要求相应框架〈X，R〉中的R满足:

传递性

右线性

左线性

这就是说，要求时间关系是一个线性序，这样才能保证:如果Fp和Fq在将来某一时刻为真，则下面三个命题至少有一个为真:p和q在将来同一时刻真，即F（p∧q）；p和q在将来都真且p先于q为真，即F（p∧Fq）；p和q在将来都真且q先于p为真，即F（q∧Fp）。同理，若某个时态逻辑系统包含上面三个公式作为公理或者定理，则其相应框架上的R也必须满足传递性、右线性、左线性这三个条件，否则它就不能保证所推出的全部定理在相应框架上都是有效即逻辑真的。

（4）使一系统的所有定理都是逻辑真的解释不是唯一的。对于同一逻辑系统，我们可以设计不同的语义学加以解释；这些不同解释可以是彼此独立的。

例如，模态逻辑目前有5种语义理论:克里普克关系语义、正规邻域语义、一般关系语义、模态代数语义、可证性语义。其中前4种在有穷情形下相互等价，它们之间的精确包含关系在20世纪70年代经托马森、费因和格尔森等人的努力已全部弄清。 ⁽²⁹⁾假如用“X→Y”表示“X真包含于Y”，用“X→Y”表示“X与Y等价”，则我们可以把它们之间的关系图示如下:

直觉主义逻辑也有好几种解释或语义理论。1938年，塔斯基提出拓扑解释；第二次世界大战后，克林建立了可实现性解释；1956年贝思引进了比早期拓扑解释更为直观的解释；1958年哥德尔提出了一种算法类型的解释——辩证解释（dialectical interpretation）；1963年克里普克提出可能世界解释。20世纪七八十年代，由于发现拓扑层（sheaves）和拓扑斯（topoi），一些逻辑学家提出了更为普遍的拓扑解释。

逻辑真理相对必然性的明确揭示，是哲学逻辑在20世纪中期前后迅速兴起的结果，它给绝对主义逻辑真理观带来了极大的冲击。以往学者们一直认为，逻辑真理是绝对正确、普遍适用、不容修改的；它们是其他一切科学的基础，是其他一切真理的标准，但其本身的真理性却是清楚明白、毋庸置疑的。这种观点的代表人物在古代是亚里士多德，在近代是康德，在现代是弗雷格和罗素。例如康德认为:“逻辑学是关于理性的科学（不是在质料方面，而只是在形式方面），是关于思维的必然规律的先天科学，并且不仅适用于特殊的对象，而且一般地适用于一切对象；因此，它是关于正确运用知性和理性的科学。”这种逻辑是知性和理性的法规，也就是那些教导我们“正确化，即与自身相一致地运用知性”的原则的总和，它们提供了真理的形式标准，是其他一切科学的基础。这种逻辑不能用于扩大知识，而只是用于“研讨和校正”知识，它是验证的逻辑，是思想的连贯性的逻辑。亚里士多德是这种逻辑的创立者，自从亚氏以来，逻辑没有取得任何实质性进展，并且也不需要有实质性进展，因为“只有少数科学能够保持情况固定，不再改变。逻辑和形而上学就属于这类科学” ⁽³⁰⁾。弗雷格、罗素等人认为，逻辑是确实可靠、绝对必然的，一旦用逻辑概念定义出其他数学概念，从逻辑公理和定理推导出其他数学命题，就把数学建立在绝对可靠的基础之上，数学真理的绝对必然性也就得到了保证。但前面的论述表明，逻辑真理具有相对性，是相对于一定的系统和解释而言的，离开这些系统和解释，它有可能变为假命题。这显然是对康德、弗雷格、罗素等人的绝对主义逻辑观的反驳和冲击。