中国人文大系：模态逻辑简介

一、模态逻辑简述

“必然”、“可能”等在逻辑上叫做模态词，分别用符号□、◇表示。研究含模态词的命题的逻辑特性及其推理关系的学科叫做模态逻辑，它具有悠久的历史。逻辑之父亚里士多德早在《解释篇》、《前分析篇》中就用非常大的篇幅讨论模态逻辑问题；麦加拉、斯多亚学派和中世纪经院哲学家也对此进行了很多讨论。现代模态逻辑则开始于把数理逻辑引入模态逻辑的研究，具体来说，开始于美国逻辑学家C.I.刘易斯，他创立了五个严格蕴涵系统S1、S2、S3、S4和S5，成为现代模态逻辑的创始人。迄今为止，无论从语形还是从语义方面，模态逻辑都得到了充分发展，已成为现代逻辑中一个成熟的分支。

为便于相关的讨论，有必要提到一些基本的模态逻辑系统。模态命题（或谓词）逻辑是在命题（或谓词）演算的基础上，用模态词□和◇对后者的语言作必要的扩充，并引入与□和◇相关的公理和变形规则而构成的。可以把一个形式系统的定理集也看作是一个逻辑，甚至可以放宽到满足一定条件的任一公式集，而不一定是可公理化的公式集。下面我们就利用这种逻辑概念给出模态命题逻辑的一般性定义:

D1 一个模态命题逻辑S是古典命题逻辑重言式集的扩集，扩集满足以下条件:

（1）□（p→q）→（□p→□q）∈S；

（2）S在分离规则下封闭:若α∈S，α→β∈S，则β∈S；

（3）S在代入规则下封闭:若α∈S，则α′∈S，这里α′是α的代入特例；

（4）S在弱必然化规则下封闭:若α是重言式，则□α∈S；

（5）S在必然化规则下封闭:若α∈S，则□α∈S。

若一个模态系统满足（1）—（4），则称它是古典模态逻辑；刘易斯所构造的S1、S2、S3就是古典系统。若一个模态系统满足（1）—（3）和（5），则称它为正规模态逻辑。是否具有必然化规则（记为N），是正规系统区别于非正规系统的主要标志。N说:如果一个公式是某系统内可证的，则它是逻辑必然的。只满足上面（1）—（3）和（5）的模态系统是正规的，并且是极小正规的，其他正规系统都是在极小正规系统上做某种添加得到的。下面给出的模态系统都以代入规则（记为US）、分离规则（记为MP）和必然化规则作推理规则，此外还以下面的某些公式作公理:

A1　　所有真值函项重言式

A2　　◇p→□p

K　　　□（p→q）→（□p→□q）

D　　　□p→◇p

T　　　□p→p

4　　　□p→□□p

　　　◇p→□◇p

B　　　p→□◇p

Tr　 　□p→p

Dum　　□（□（p→□p）→p）→（◇□p→p）(www.xing528.com)

M　　　□◇p→◇□p

由此可以定义一批模态逻辑系统如下（其中粗体字母表示某个公式的名称，非粗体字母表示相应系统的名称）:

A1＋A2＋K＋US＋MP＋N＝K＝极小正规模态逻辑系统

K＋D＝D

K＋T＝T＝哥德尔/费斯/冯·赖特系统

K＋T＋4＝S4

K＋T＋B＝B＝布劳维尔系统

K＋T＋4＋B＝K＋T＋＝S5

K＋T＋4＋Dum＝普赖尔的模态逻辑系统Q

K＋Tr＝K＋T＋4＋B＋M＝不足道系统

在这些系统中，常见的正规模态命题逻辑系统是K、D、T、B、S4和S5。

构造模态谓词逻辑有两种方法:一是以谓词演算作基础，加入模态词□和◇以及上面列举的某个或某些模态公式，得到模态谓词逻辑系统，这叫做量化逻辑的模态扩充。若把谓词演算记为LPC，则LPC＋K、LPC＋D、LPC＋T、LPC＋T＋B、LPC＋T＋4、LPC＋T＋4＋B就分别是相应于模态命题逻辑系统K、D、T、B、S4和S5的模态谓词逻辑系统。二是以模态命题逻辑系统作基础，用谓词演算的语言和公理对它们作扩充，得到模态谓词逻辑系统，这叫做模态命题逻辑的量化扩充。这两种办法得到的最终结果是等价的。有些正规模态谓词逻辑系统中包含著名的巴坎公式:

BF

通常把这些系统记法中的LPC省略掉，简记为K＋BF，D＋BF，T＋BF，S4＋BF，S5＋BF等。

1951年，冯·赖特发现:在模态概念之间成立的关系可以扩展到其他许多概念之间，因而可以给模态概念以其他的解释。他实际上给出了下表中除时间论之外的部分:

续前表

在这一思想的激励下，先后发展出了道义逻辑、认知逻辑（知道逻辑、相信逻辑、问题逻辑、断定逻辑等）、时态逻辑等广义模态逻辑分支，模态逻辑本身则被叫做（真势）模态逻辑。 ⁽¹⁾

在模态逻辑特别是模态谓词逻辑的发展过程中，特别是在其早期，确实遇到了许多哲学或技术的难题，主要是由模态词与个体词、谓词、量词和等词相结合所产生的问题，如模态语境中的指称晦暗性问题，内涵对象和可能个体的增殖问题，以及de re模态和本质主义问题。正因为这些难题，主要是在20世纪五六十年代，有些哲学家和逻辑学家如蒯因、柏格曼，对模态逻辑的合理性、融贯性、有用性进行了激烈的抨击，其中尤以蒯因为甚。蒯因从动机、来源、解释等方面对模态逻辑特别是模态谓词逻辑进行了全面的攻击。他认为，从动机和来源看，模态逻辑是被错误地构想出来的，源自于混淆表达式的使用与提及，因而从其来源看就是不合法的，是“哲学的私生子”，并且对于科学的目标来说它也是不必要的；从解释方面看，模态谓词逻辑面临着许多不可克服的困难，模态命题逻辑也是如此。他的最后结论是:整个模态逻辑都应该取消。蒯因的上述诘难是深刻和强有力的，它激起了极其强烈的反响和广泛的讨论。“为了表明模态逻辑基本概念在哲学上的正确性，人们提出了各种辩护和证据。有些人固守本质主义和de re模态的传统学说，另一些人对运用于模态量化中的量词采取了一种特殊的解释——称它为‘替换量化’，以此作为调解量词和模态概念的使用的一种方法。最近数十年的一个重要发展是建立了一种求助于‘模态’或‘可能世界’这种观念的语义学（说明模态逻辑的形式句法公式的可能运用及解释方法）。” ⁽²⁾对于模态逻辑的这些问题，可以分别从哲学和形式技术两个角度去讨论，从而给出哲学的解决和形式技术的解决。下面几节的讨论从蒯因的批评入手，提纲挈领式地同时探讨对相关问题的哲学的和形式技术的解决方案。