《当代中国人文大系》：外延理论小结

二、外延理论

“是”更多的时候被当作系词，连接S和P两个词项，构成“S是P”这种形式的命题。如何理解“是”在这种命题中的作用？无论在传统逻辑中还是在现代逻辑中，哲学家对此都给予了一种外延的解释，即认为“是”在这里表示S和P的外延关系，具体来说有下述三种情形:（1）表示个体与个体或类与类之间的同一关系。例如，“老舍是《四世同堂》的作者”，“等边三角形是等角三角形”。这里，“老舍”和“《四世同堂》的作者”指称同一个人，“等边三角形”和“等角三角形”指称同一类事物。一般来说，形如“S是P”的命题，若S是专名，P是一个摹状词，则其中的系词“是”表示同一关系；形如“xS是yS”（x和y是加在S前面的限制语）的命题，若x和y表示同一类事物S的两种不同的特有属性，则其中的“是”表示同一关系。（2）子类与类之间的包含于关系，即对任一x而言，若x属于S则x属于P。例如，“人是动物”，“飞机是交通运输工具”。这里，人是动物的一个子类，飞机是交通运输工具的一个子类。（3）表示个体与类之间的属于关系。例如，“苏格拉底是人”，“《红楼梦》是小说”。这里，苏格拉底作为单个人属于人类，《红楼梦》作为一本书属于小说类。由于在现代逻辑中，关系词的外延被定义为有序偶的集合（或类），因此，在“曹丕和曹植是兄弟”这个命题中，也可以把“是”看成是表示〈曹丕，曹植〉这个有序偶属于“兄弟”这个序偶集，即是说，它在其中表示个体与集合（即类）之间的属于关系。顺便指出，有一种说法认为，系词“是”有时用于表述二项或多项关系，例如在“曹操是曹丕和曹植的父亲”，“廊坊是在北京和天津之间”等句子中。我认为，此种说法是不正确的。二项或多项关系在句子中只能由相应的关系词来表达，例如上两例中的“……的父亲”，“在……和……之间”，“是”的作用只在于把具有某种关系的对象与该种关系连接起来，构成关系命题，因此它仍起系词的作用，表示特定的序偶属于某个序偶集，并不直接表示关系。

传统逻辑就是建立在对“S是P”作外延性解释之上的，它把S和P都理解为代表某种实体化的东西。因此在它里面，就可以用欧拉图和文恩图来表示S和P之间的外延关系，直言命题中的主词和谓词也可以换质、换位、换质位，还可以在大词（P）、小词（S）和中词（M）的外延关系的基础上作三段论推理。尽管在细节上有所不同，数理逻辑中的谓词演算在对词项及其关系作外延性理解这一点上，与传统逻辑是完全一致的。

外延理论显然可以解释很多语言现象，问题在于它能不能解释所有语言现象。现有的逻辑理论是力图将其推广到一切语言现象的，即是说，它们认为在一切形如“S是P”形式的命题中，“是”都表示S和P之间的外延关系。若遇到“S是P”中的S或P表示某种性质时，它们就将其实体化为具有该种性质的事物类；若遇到其中的S或P表示某种关系时，它们就将其实体化为具有该种关系的序偶类。于是，命题“姑娘都是美丽可爱的”就被解释为表示姑娘类包含于美丽可爱的事物所组成的类，尽管后面这个类中还包括美丽可爱的狗、美丽可爱的猫、美丽可爱的树等。这样一来，“美丽可爱的”这个表示性质的谓词就被实体化为“有美丽可爱性质的事物之类”。如果说，这还勉强可以解释过去的话，那么，当遇到“勇敢是一种品德”，“大于是一种关系”，“人生是一首歌”，“团结就是力量”等命题时，仍采用外延解释就不只是牵强的问题，而几乎是完全行不通的。

更重要的是，外延理论有一个基本假定，即任一性质都可决定一个类（概括原则），用公式表示，即

（Ax）（y）（x∈y→A（x））

但这一假定太强了，罗素证明由此可以导致悖论。试把一切类分为两种:一种是不以自身为元素的类｛x｜x∈/x｝，例如“中国人的类”不是一个中国人，因而它不是“中国人的类”中的一个元素。另一种是可以以自身为元素的类，例如网罗一切工具书的一部工具书，也可以把有关自身的条目收入自身之内。现在要问:把一切不以自身为元素的类收集起来，构成一个类z，z是不是一个以自身为元素的类？如果z不以自身为元素，则根据z的定义，z应把自己包括进来，即应以自身为元素；若z以自身为元素，同样根据z的定义，z不应把自己包括进来，即不应以自身为元素。因此，无论怎样都导致悖论:

z∈z→z∈/z

即z属于自身当且仅当z不属于它自身。

实际上，性质可分为直谓的（predicative）和非直谓的（impredicative）两种。非直谓的性质是通过一对象所在的总体来叙说该对象的性质，如:

（1）小王是所有在座的人中个头最高的。(www.xing528.com)

（2）一位克里特岛人说，所有的克里特岛人都说谎。

（3）一切集合所组成的集合。

上述句子或短语中就包含着非直谓的性质。而直谓的性质就是不凭借对象所在的那个总体来叙说该对象的性质，如:

（4）树叶是绿色的。

（5）这个苹果是红色的。

这里，性质“绿色的”和“红色的”并不述说自身，而是述说他物，因而是他谓的（即直谓的）。直谓的性质都决定一个类，但至少有些非直谓的性质并不决定一个类，否则将导致悖论。因此，在公理集合论中，已将概括原则修改为:

（Ax）（y）（（x∈z）→（x∈y）∧A（x））

意思是:在一个已形成的类中，由任意性质可以决定一个类。（这里不严格区分集合和类，而将两者视为同一。）在采用这个修改过的概括规则的集合论中，没有发现悖论。

总体来说，我认为，外延理论实际上只适用于“S是P”中S和P都是实体名称的情形。当遇到其中的S和P是抽象名称时，它就不适合或不完全适合了。因此，我们需要新的理论去解释这一类特殊的“S是P”。