不顾样本大小的6个基本错误

假设你家乡镇上有两家医院，较大的那家医院每天约有45名婴儿出生，较小的医院每天约有15名婴儿出生。你知道，大约50%的婴儿是男孩，但确切的百分比每天各不相同，有时可能高些，有时可能低些。在过去的一年里，两家医院分别记录了超过60%的婴儿是男孩的日子。你认为哪家医院记录的这样的日子较多——较大的那家、较小的那家，还是两家大致相同（即相差在5%以内）？①

①本例取自D. Kahneman和A. Tversky的“Subjective Probability：A Judgment of Representativeness”，Cognitive Psychology 3，no. 3（1972）：430。

当被问及这个问题时，大多数人认为两家医院会有大致相同的这样的日子。然而，我们应该预计小医院有较多60%是男孩的天数。为什么呢？因为小样本中的结果有更大的变数，因此有更多的机会发生这样看似不具代表性的事件。但是我们做判断时没有意识到样本规模的重要性，而是误以为小样本具有与大样本一样的代表性。

如果抛6次均匀的硬币，你认为更可能发生下面哪种序列？

(A)　H　T　H　T　T　H
(B)　H　H　H　T　T　T(www.xing528.com)

是A、是B，还是它们具有相同的概率？大多数人都说A，其实A和B的可能性是相同的。为什么呢？由于每个硬币哪面朝上都与下一次无关，每次正面朝上或反面朝上的概率都是1/2。为了得到每个特定序列的概率，要将1/2自乘6次（抛硬币的次数）。结果是1/64，即每种序列的概率是1.5%。然而，我们往往以为即使一个随机过程的短序列也会是那个过程的代表，因此这个序列的每个部分看上去一定是随机的，因为随机过程在正面和反面之间切换，所以选项A似乎更像。②

②这被称为小数字定律中的信念，在这里我们认为大数字定律同样适用于小样本。参见A. Tversky和D. Kahneman的“Belief in the Law of Small Numbers”，Psychological Bulletin 76（1971）：105。

正如你所看到的，我们有一个错误的观念，以为小样本能较近地代表母体，而实际上并不能。因此我们在做判断时认为小样本与大样本一样可靠。这样可能导致各种各样的错误决定。例如，一项研究表明，学生经常根据几个同学的建议来选课，而不是根据数十名学生写的书面评价。为什么呢？学生将注意力集中在少数个人陈述上，忽略了那么小的样本规模的不可靠性。③但是小样本能代表母体的可能性较小——班上的几名学生相比于整个班级，其观点的差异性可能更大。意识到小样本并没有大样本那样具有代表性，将大大有助于我们形成更好的信念，做出正确的决定。

③Sutherland，Irrationality第213页。