竞赛式教学法：激发学生学习潜能，增强竞争意识

数学教学

操作教学法

何谓操作教学法呢？操作教学法就是在教学过程中运用大量的直观教具、学具、图片、实物等，通过学生自己的观察、操作和探究，获得丰富的感性认识，然后在教师的指导下进行抽象概括，从而掌握知识和技能的一种教学方法。现代教育心理学研究表明，对于学生能完全掌握并对以后学习起重要作用的那些基础知识，最好让学生不单纯凭借教师和书本，而通过自己的操作和探究而获得，这无论对掌握知识还是培养能力和个性都有着积极意义。基于此，安徽师大教育系陈思建教授首先提出了操作教学法。

教　例　一

教《圆环面积的计算》，教师先让学生自画一个半径是2厘米的圆，再以这个圆的圆心画一个半径小于2厘米的圆，并剪去内圆，剪下外圆，得到了环形，然后让学生叙述刚才是怎样得到环形的……这样通过学生自己动脑观察、动手画、动手剪、动口说多种感官活动，在实践操作中学生讲述操作过程，得到外圆剪去一个同心的内圆，就得到环形，从而在老师的引导下总结出：

S环＝S外圆－S内圆＝πR2－πr2＝π（R2－r2）

教　例　二

一位教师在教《长方体和正方体的认识》时，师生同时拿出各自预先准备好的小刀和土豆（其他薯块也可以），教师边演示边讲解，学生边观察边操作。

第一步，教师引导学生在土豆4?1处横切一刀，教师指着较大的那块的横截面说，这是一个面；

第二步，引导学生朝这个面的垂直方向（稍偏边一点）切一刀，这时就出现两个相交且垂直的面，教师指着实处说，两个相交的边叫做棱；

第三步，引志学生朝与两个面都垂直的方向切一刀，这时候便出现三个相交的面和三条棱，教师指着实处说，三条棱相交的点叫做顶。

仅仅切了三刀，就把立方体的三个基本构件要素——面、棱、顶的概念及其形象同时深深地烙印在孩子们的脑子里，可谓终身难忘。完成了本节教学任务之后，在布置作业时，教师要求学生，继续把那一粒不完全的立方体，再切三刀，使它成为一个标准长方体。

上述教学的成功，就在于遵循了儿童的从感性到理性、从具体到抽象的认识规律，把数学与生活，概念与事实有机地自然地结合起来，让学生在直接活动中获得数学知识，其认识效果是无疑的，正如挪威著名戏剧家易卜生曾经所说的：“即使千言万语也不及一件事实留下的印象那么深刻。”

上述教学之所以成功，还在于教师根据心理学关于多种感官参与认识活动，认识效果比较好的原理，把学生的视觉、听觉、触觉、运动觉都动员起来，参加学习活动，从而产生了良好的综合感知效应。

竞赛式教学法

竞赛教学法，即把“竞争”引入教学，类似“智力竞赛”的一种方法。其主要做法是：把要教授的内容编成竞赛题，在学生自学的基础上抢答记分或当场评论表扬。

英国教育家斯滨塞于1854年就提出了“快乐教育”思想。他认为求智如果能给学生带来精神上的满足和快乐，即使无人督促也能自学不辍。他的理论完全符合人的心理科学。竞赛式教学法，就是依他的理论和当代社会“竞争”意识创立的一种课堂快乐教学法。运用它，能激发学生学习“潜能”，最大限度地调动学生的积极性和主动性，增强时效观念和竞争意识，训练思维的灵敏性，使学生在快乐中既获得知识，又能消除心理疲劳，有效避免“走神”现象。

竞赛教学法，是采用学生喜闻乐见的比赛形式进行某项或几项知识与技能综合训练的教学方法。

竞赛法可以增强学生的参与意识，在紧张、热烈的竞争气氛中，学生的主观能动性得到充分的调动，无论是参赛学生还是观察学生，个个处于竞技状态，竞赛过程就是知识与技能复习以至形成熟练技能技巧的过程，有组织地开展竞赛还可以培养学生的集体主义思想，树立为集体争荣誉的好风尚。

在运用竞赛法时，应做到比赛有基础，比赛讲质量，比赛有情趣，比赛有评价。根据教材和学生心理特点，精心设计竞赛节目。竞赛法可在以下三种情况下使用：其一，巩固单项的知识与技能；其二，强化多项知识与技能的综合训练；其三，单元或半期，期终复习时的专项或多项的综合性训练。

教　　例

竞赛目的：通过竞赛要求学生能熟练地数100以内的实物。

竞赛内容、形式和方法：

采用数数、写数接力等形式。

方法是每组10人，全班分4组参加接力赛，每组从1—10个学生胸前挂上比赛号码，排成四列纵队，离每队排头一定距离的前方放一张长桌，桌上从1—10号放上比赛题目和实物，每队第一个学生带好一支笔。比赛开始，听口令进行接力赛跑，跑到桌子前按自己的号码找题目，按题目的要求数出数字，并写出所数的数字，然后跑回将笔传给第二个小朋友，……依此一个接一个，哪组跑得快，数得对而快，写得对而快！比赛内容如下：

学具操作教学法

在国外，雷唐纳教授和鲍威尔副教授运用奎逊耐彩色棒、数学花砖、几何钉板等学具进行教学。近年来，在北京、上海等地研制出许多优秀的学具。运用学具操作，开拓学生思维，已引起广大教师的重视。

学具操作教学法，是在教师指导下，“学生对有结构的材料拨弄、操作，探索出材料所包含的概念和方法”（兰本达语）的一种教学方法。

使用学具学习，符合小学生好奇、好动的特点，可以激发学生学习的兴趣，符合儿童的心理特征；使用学具教学，从动作、感知到形成表象，进而抽象概括上升为理性认识，符合儿童的认识规律，用学具学数学，可以促进手脑并用。学生的操作过程是思维的过程，也是他们智力发展的过程。这样学习能充分发挥学生的学习的主动性，使他们从听众的角色变成主动探索知识的小主人。

教　　例

教学《圆的面积》，用学具探究圆的面积计算方法，分小小组进行。每组发给四个用厚纸板印刷的不同规格的圆形。（学具）教师组织组与组之间开展竞赛，看哪一组的方法多，想得巧，哪一组推导过程好，促使学生既动脑，又动手，发展学生思维灵活性。

（看作长方形）

（看作平行四边形）

（看作16个三角形的和）

幽默教学法

对于我们自身来说，幽默是一种轻松，是发自内心的无声的大笑；对于人和人来讲，幽默则是陌生人相识后的第一句问候，是行路之人相互和善的一缕微笑。幽默能调解课堂气氛，缩短师生之间的情感距离，有力地促进教育教学工作。

幽默在教育教学中应用范围很广，效果也极佳。当然，教师传授知识，应注重知识的内在联系，用知识本身的逻辑力量来震撼学生，不能一味只在幽默上下功夫。这就是说，使用幽默要恰到好处，不要滥用，以至于给人以油滑和庸俗的感觉。真正的幽默不是故弄玄虚，也不是哗众取宠，它是一种艺术。希望教育者能认识、把握这种艺术，使其产生预期效果。

教　例　一

课前提问，往往是一节课最紧张的时刻。那些贪玩而毫无准备的同学尤其感到局促不安。有位教师曾有一次说：“给大家两分钟，考虑一下昨天留的两个问题，一会儿找同学回答。”这两分钟的时间，同学们凝眉苦索，基本把问题想了一遍。两分钟后，老师说：“好，提问就到这儿。个别同学请注意，为了明天课前不出现心率加快、红头涨脸、低眉搔首、浑身冷汗的现象，多多用功吧！”这样，在轻松愉快的氛围中进入了上课。

教　例　二

邱学华老师在《三角形面积的计算》这课教学中有一个别开生面的教学情节。

教学按部就班地进行得很顺利，正当学生基本掌握了三角形面积计算公式，并能运用这个公式求标准三角形面积而充满成功喜悦的时候，教师发动学生计算下面三角形面积，看谁算得又对又快（这时，教师郑重其事地指定一个学生当裁判员，有意把竞技气氛鼓得浓浓的）。学生个个跃跃欲试。题目一出示，立即就有一人抢答：“这个三角形的面积是12平方厘米（即4×6÷2＝12）”。

霎时，其他学生都放下了小手。

教师问：“有不同意见吗？”

“没有！”学生异口同声地响亮回答。

“你们上当啦！……”教师诙谐而深情地揭示其奥妙所在。孩子们从喜悦转入了深思。

客观事物本来就是千奇百怪的，人们的物质生活和精神生活也是丰富多彩的，以使人学生生存为宗旨的教育和教学活动，也应当搞得生动活泼一些，比如：上述那个富有幽默感的情节，紧密配合教学，格调高雅，融艺术性、科学性和教育性为一体，恰到好处。它至少达到了如下预期的目的：

其一，打破了学生某些消极的思维定势，锻炼了学生思维的灵活性。也许有些学生原来万万没有想到老师竟会推出一道有已知条件而未能解答的问题，“吃一亏长一智”，从而打破了长期形成的盲目凭借已知条件解题的传统观念和习惯，提高了认真审题的警觉性。

其二，净化了数学概念，完善了认知结构。有的学生，原来仅笼统地记住三角形面积计算公式“底×高÷2”，可就没有精确地把握公式中的底和高是指相互对应的底和高，而不是任意的底和高。高明的邱老师，就在这知识的关节眼上（也是学生最容易疏忽的地方），有意创设一场适度的折腾，渲染情境，强化刺激，以加深印象，升华教学效果。

幽默是智慧的象征，它不但是艺术家的专有品质，也应成为教育家的一项不可或缺的素质。

自学指导法

自学指导法是江苏射阳县兴桥中心小学丁骥良创立的。所谓自学指导法，即是将传统的教学程序作逆向变动，先让学生自学探索，然后做作业，接着评议，最后由教师综合各种反馈信息，作有针对性的讲解，所以又叫逆反教学法。它是以科学的辩证唯物主义的认识论为基础，运用实践第一、理论与实践统一及内外因辩证关系的哲学观点，来解决教学过程中教与学的关系问题，处理好传授知识和培养能力、智力的关系。采用它，能激发学习兴趣，增强自学能力，记忆效果十分显著。

教　　例

教学《分数除以整数》。教师先让学生看书上的例题自学，弄懂“分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数”。然后让学生做以下几道题：

③某正方形周长米，它的边长是多少米？教师下班巡视。结果发现有部分学生没有很好地理解“分数除以整数的法则”。教师便板演几则错例，如：

例如：

等，然后集体评议：错在哪儿，为什么错，怎么改？最后教师综合各种反馈信息，作有针对性的讲解：分数除以整数（0除外）即转化为乘法运算。

顺水推舟引新知

朱月英老师在“0的认识”（五年制小学数学第一册）新课的导入教学中，充分运用实物、图片、实例和小学生已有知识，忆旧引新，使学生逐步认识了“0”

师：小朋友，我们学过认数，你们已经认识了哪几个数？

生（齐答）：我们学过1、2、3、4、5，五个数。

师：很好！如果老师举出数学卡片，你们认识吗？能在桌子上摆东西表示吗？

生（齐答）：能！

（教师分别举数字卡片1、2、3、4、5，小朋友们兴趣极浓，一边认数一边在桌子上放学具，有几何图形、水果图片、小动物图片等等，课堂上气氛非常活跃。）

师：小朋友们放得对，而且很丰富！说明大家都学得很好。现在老师在磁性黑板上的圆圈里放东西，你们看老师放的个数，举出数字卡片，看谁举得又对又快。

（一双双小眼睛都盯着磁性黑板，老师在圆圈里放上3架飞机，小朋友很快举卡片“3”；老师在圆圈里放5个皮球，小朋友很快举卡片“5”；老师在圆圈里放1棵青菜，小朋友举卡片“1”；老师停了一下，突然装着放东西的样子，可是圆圈里一样东西也没有放，小朋友都呆住了，全班没有一张卡片举起来。）

师：你们为什么不举卡片？

生：没有卡片好举！

生：一样东西也没有，不好举卡片！

生：不知道举什么卡片！

师：对！小朋友们真会动脑筋。一样东西也没有能用一个数表示吗？

生：没有数表示！

生：学过的数不能表示！

师：好！现在老师告诉你们，一样东西也没有可以用一个数表示，这个数就是“0”。今天我们来认识“0”，现在老师送给大家一个“0”。

老师当场板书“0”，并按座位发数字卡片“0”，并出示课题：“0”的认识。

一年级小学生在10以内的数认识到5以后，要认识“0”这个更加抽象的数，比较困难。朱老师在这个教学片断中，抓住知识连结点，忆旧引新，充分激发小学生的学习兴趣。小学生在学习掌新知识的同时，锻炼了思维，教学效果颇佳。

突破教学难点六法

教学难点犹如学生学习道路上的“拦路虎”，是认知过程中的“大敌”。它直接影响学生对新知的理解和掌握。教学中选择恰当的教学方法突破教学难点，是优化课堂教学，大面积提高教学质量的需要，也是广大青年教师必须掌握的教学基本功之一。

突破教学难点的方法很多，或化抽象为具体，或化复杂为简单，或变生疏为熟悉，其目的都是为了化难为易，突破难点。下面就如何突破教学难点谈几点看法：

一、复习旧知突破难点

数学知识的科学性和系统性决定学生学习的循序渐进性。学生今天的学习是昨天学习的继续又是明天学习的基础，而学生对每一个新知识的学习都要以一个或几个旧知识为支撑点。因此，教学新知前复习与之相关的旧知识，可以起到搭桥铺路、分散难点的作用。如教学“除数是小数的除法”，通过复习商不变的性质和移动小数点位置引起小数大小的变化等知识，就可以扫除学生学习新知的障碍，减少学习新知的困难，从而顺利掌握新知。

二、预作准备突破难点

学生头脑里的数学知识结构，是由教材的知识结构转化而来的。学生一切新的学习都是在原有认知结构基础上产生的。教学中抓住新知识的生长点，新旧知识的联想结点，利用旧知同化新知，是突破难点的有效方法。如教学“两位数乘多位数”的难点是让学生理解在竖式中，用十位上的数去乘被乘数所得的数的末位，为什么要写在十位上。通过对准备题12 ×1＝12　12×10＝120　12×3＝36　12×30＝360的观察，可以使学生清楚地看到十位上的数同一个数相乘，是得多少个“十”，从而解决了难点保证了教学的顺利进行。

三、启发点拨突破难点

数学教学中，由于知识难度大或学生心理碍障等原因，产生了学生思维受阻的现象，教者如能抓住症结所在，设计精妙的问题启发学生，指引思维方向，就能使学生在理解知识的迷茫困惑中豁然开朗。如计算1000÷300，正确答案是商33余100，而一些学生的答案是商33余1，当他们的答案被否定时还不服气，他们认为是根据商不变的性质用简便方法计算的，不可能出错。这时老师启发，“商不变性质是说什么不变？”（商不变）“这个性质是否说余数也不变？”（没有）。这时学生恍然大悟，很快找出了错误原因得到了正确答案。

四、直观演示突破难点

学生学习书本知识，一般来说是从感性认识开始的，小学生的感性认识虽然可以在生活经验中取得，但毕竟是有限的，有些则需要教师演示直观材料才能获得。因此，恰当地演示直观材料，给学生鲜明具体的表象，有利于学生思维能力的发展，为学生顺利掌握知识创造有利条件。如三角形面积公式的推导，对学生来说是不容易理解的，但通过演示就可以把建构过程充分展示给学生，使学生对用割补法如何把三角形转化为平行四边形进而导出公式的过程一目了然。又如一道难度较大的复合应用题，利用线段图就可以把抽象的数量关系在图上清楚的揭示出来，给学生正确列式提供有利的条件，从而达到突破难点的目的。

五、动手操作突破难点

小学生抽象思维能力差，具体形象思维处于主导地位。在学习过程中要完成从感性到理性认识的飞跃，是很不容易的。尤其是学习抽象的数学概念困难就更大。在数学中让学生动手操作形成表象，再利用表象的中介作用把具体形象思维上升到抽象逻辑思维，是突破教学难点的好方法。如对二年级学生进行“等分除法”和“包含除法”概念的渗透。教师不好教，学生也难以理解。如果让学生动手摆一摆分一分，并且把操作和语言表述结合起来，逐步抽象，就会收到很好的效果。

六、质疑问难突破难点

根据教材内容确定难点，采取恰当的方法突破难点，是教者在教学中必须虑及到的。然而由于教者对教材理解掌握有限，学生知识基础和智力上的差异，教学中又会出现教师事先估计不到的难点。这样在教学中给学生质疑问难的机会，由学生自己提出难点，并让学生集思广益去解决难点，学生解决不了的再由教师解疑答难，是一举两得的好方法。

突破难点还有一些方法，如电教手段的运用，设计题组突破习题中的难点等。

总之，只有教师在真正理解和掌握教材的基础上，才能摸准教学难点的“脉搏”，做到“对症下药”，使课堂教学产生增效应。

数学概念的分类及其教学

众所周知，数学概念是数学知识的基础。学生对数学概念的掌握、理解、深化的程度，直接影响到对数学学习的效果。在小学数学中概念的教学贯串整个小学数学知识的各个领域。长期以来，由于小学生知识面和生活经历的局限，小学数学概念的教学一直是教师感到头痛的一件事。本文试想从小学数学概念的分类及其教学，谈谈个人粗浅的看法：

一、小学数学概念的分类

小学数学概念大致可以分为下面几类：

1．数的概念——整数，小数，分数，百分数，奇数，偶数，基数，序数，计数单位，分数单位，数值，绝对值，倒数等。

2．几何形体的概念——点，直线，线段，射线，垂线，平行线，锐角，直角，正方形，长方形，平行四边形，梯形，三角形，圆，圆柱，圆锥，周长，面积，体积等。

3．运算方面的概念——加、减、乘、除，加数，被加数，减数，被减数，乘数，被乘数，除以，乘以等。

4．数的整除方面的概念——整数，约数，倍数，公约数，公倍数，最大公约数，最小公倍数，质数，合数，互质数等。

5．比和比例的概念——比，比例尺，正比，反比，比例，前项，后项，比值，正比例，反比例等。

6．量的计量的概念——长度单位，重量单位，时间单位，面积单位，体积单位，地积单位等。

7．式的有关概念——等式，不等式，方程，方程的解等。

8．其他有关术语——增加、减少，扩大，缩小，路程，速度，平均等。

二、概念教学的几种方法

根据小学生的知识水平及心理特点，我认为概念教学，可采用以下方法：

1．根据学生熟悉的事物，采用诱导的方法

根据学生熟悉的事物，在增强感性认识的基础上，引导他们进行比较、分析、综合、抽象和概括，抛弃事物的非本质属性，把事物的本质属性集中起来，形成数学概念。

例如，二年级教“长方形”的认识时，可利用“书本面”、“文具盒面”、“桌子面”，“黑板面”等，引导学生观察并数出每个图形有几条边、几个角，用尺量出每个图形四条边的长度，观察其中哪两条边的长度相等，然后再用三角板的直角跟每个图形中的四个角比一比，看看四个角是不是直角。通过学生熟悉的事例和老师的不断引导，逐步领会到这些图形的共同本质属性，然后再概括出抽象的“长方形”的概念，并指出各部分的名称。

2．在原有概念的基础上，利用种加类征的方法进行新的概念教学

概念与概念之间往往有着非常密切的联系，除了少数原始概念外，新的概念一般都是在原有概念的基础上运用“种加类征”的方法建立起来的。所以在教学中，只要在原有概念的基础上，添加新概念的类征，就可以形成新的概念。这样，学生既学习了新的概念，又理解了新、旧概念之间的联系和区别。

例如，四年级在教“锐角三角形”、“直角三角形”、“钝角三角形”、“等腰三角形”等概念时，都可以三角形这个概念的基础上引出。以“钝角三角形”为例，它除了具备“三角形”的本质属性外，还具有其中有一个角是钝角这一特殊的本质属性——类征。在教学中，可以画出几个形状各异的三角形，让学生比较、鉴别，从而得出“钝角三角形”这一概念。

3．利用运算结果，引导学生自觉发现结果中的某些特征的方法进行新的概念教学

一般反映数量关系的数学概念都是与数字运算密切相关联的。它们的本质属性常常表现为运算的结果具有某些特征，可以通过计算引出来。

例如，四年级在教学数的整除这一概念时，就可以通过除法算式：32÷0．8＝40，32÷8＝4，3÷2＝1．5……，105÷5＝21的计算，然后引导学生观察、分析：一类商正好是整数，没有余数；另一类是有余数。在商是整数的算式32÷0．8中虽然商是整数，但除数0．8不属于自然数范围，而只有算式32÷8，105÷5，不但商为整数，且被除数和除数都是自然数，从而得出整除的概念（整除的概念推而广之，可在整数集中讨论）。(www.xing528.com)

在使用这一方法进行教学时，应尽量让学生自己进行有关的计算，教师着重引导学生观察、分析计算结果的特征。

4．运用逐步渗透的方法进行概念教学

数学中的一些原始概念，如“集合”、“单位1”、“对应”、“直线”等，只能给予某种描述。要使小学生精确地理解这些概念，并非一日之功所能奏效的。对于这些概念，可以采用逐步渗透的办法，让学生在不同的教学阶段，从不同的角度，多次接触概念所反映的一些事物，使他们在潜移默化中逐步领会概念含义，然后在适当的时候，对概念给予恰当的描述。

例如，在认数教学中，课本中就出现某些集合的图形。有的把5朵花画在一个圆圈内，有的把7只羊画在一个圆圈中。这样做的目的，是使学生初步孕育整体的概念。诸如此类的图形在课本中一再出现，使学生对整体的观念不断增强，逐步认识到几个同类的东西可以看成一个整体，为引出集合这一概念作准备。

当然，在进行某个概念教学中，并非单独地使用某一个方法，有时几种方法有机地配合起来使用，教学效果会更佳。这要视具体的教学内容和不同的教育对象而定。

让学生自己发现规律

培养学生思维的创造性是素质教育的培养目标之一。让学生自己发现数学规律，是小学数学教学中培养学生思维创造性的重要手段。王晓莉老师的比例的基本性质的教学比较好地体现了这一培养目标。

王老师在介绍了比例各部分的名称以后。出示了两个比例：

（1）80：2＝200：5。

（2）4．5：2．7＝10：6。

师：请同学们分别计算这两个比例的内项积和外项积。

生：第一个比例的内项积和外项积都等于400，第二个比例的内项积和外项积都等于27。

师：观察计算结果，谁发现这两个式子有什么共同特点？

生：两个比例都是外项的积等于内项的积。

师：其它比例是否也具有这一规律呢？请同学们实验几个比例。

生（学生计算一阵后，异口同声地说）：每个比例都具有这一规律。

师：对。任何一个比例的两个内项的乘积都等于它的两个外项的乘积，这个规律就叫做比例的基本性质。

（师生一起复述比例的基本性质，并指定学生把这一性质写到黑板上。）

评析：这种让学生从观察中自己发现数学规律的教学方法，不仅可以使学生对所学新知识理解深刻，更重要的是使学生在发现数学规律的过程中，潜移默化地感知到了发现事物规律的思维方法，培养了学生的创造能力。

理解原理促进迁移

学习迁移，普遍地存在于知识学习和技能训练之中，其主要功能是能使知识“举一反三”、“触类旁通”。教师有效地教学，就是能促使学生在学习的过程中，尽快地、准确地实现知识的迁移。一位教师在教小学数学“简便运算方法”时，发现学生计算如“153—98”这类题，一般都采用100－98＋53＝55 或153－98＝153－100＋2＝55这两种简便运算方法，为了帮助学生寻找更为简便的计算方法，他是这样设计教学过程的：

第一步：联系生活，巧设问题

师（联系小学生熟悉的生理年龄提出问题）：小强今年12岁，他的妹妹小红今年9岁，小强比妹妹小红大几岁？

生（齐答）：小强比妹妹小红大3岁。

师（板书）：12－9＝3（岁）

师：3年前，小强和妹妹小红各几岁？又相差几岁？

生：小强是12－3＝9（岁），小红是9－3＝6（岁），两人相差3岁。

师（板书）：（12－3）－（9－3）＝3（岁）

师：3年以后呢？两人又相差几岁？

生：小强是12＋3＝15（岁），小红是9＋3＝12（岁），两人仍相差3岁。

师（板书）：（12＋3）－（9＋3）＝3（岁）

第二步：观察算式，找出规律

师：请同学们仔细观察老师板书的三个算式，思考两个问题：

1．在每个算式中有几个减数？

2．在只有一个减数的算式中，被减数和减数同时加上或减去一个相同的数，差变不变？

生：每个算式中都只有一个减数。在只有一个减数的算式中，被减数和减数同时加上或减去一个相同的数，差不变。

师：这就是规律。有谁能用这个规律说出“153－98”的简便运算方法？

（学生纷纷举手。）

一生回答：153－98＝（153＋2）－（98＋2）＝155－100＝55。

第三步：练习巩固，实现迁移

最后这位教师又举了一些如“278－103”、“305－95”等例子，让学生反复练习巩固，学生很快就实现了知识的迁移。

产生迁移的关键是学习者能在两种活动中概括出它们之间的共同原理。上述这位教师，充分联系学生的生活实际选材举例，深入浅出地分析启发，引导学生认真观察、反复比较、发现规律，从而使学生在理解原理的基础上，有效地促进了知识的迁移。这种教学构思别具一格，对我们确有很大启发。

图形变而结论不变

练习课上，张老师出了一道习题：

正方形中有宽为2厘米和宽为6厘米的两个长方形条块重叠构成的部分（见图1中阴影部分），面积是308平方厘米。求正方形的边长。

出题后，张老师给了学生充分思考的时间，并且允许他们互相讨论。一阵沉思后，又一阵争论。有人举手了，要求发言。

学生甲画出了图2，她把原图中宽为2厘米的长方形条块补到正方形下方，说图2中的阴影部分构成的长方形面积是320平方厘米：308＋6×2＝320（平方厘米）；宽是8厘米：6 ＋2＝8（厘米），长是40厘米：320÷8＝40（厘米）。这也就是原来正方形的边长，是40厘米。

正当学生为解决了一道较难的习题而欢欣鼓舞时，张老师又画出了图3和图4，说阴影部分的面积仍都是308平方厘米，怎样求正方形的边长。

又是一阵沉思。忽然学生乙情不自禁地喊“行了！”张老师提醒他举手发言。他说，如果把图3、图4中竖着的长方形条块往右移到右边，把图4中横着的长方形条块往下移到下边为止，那么就都变成了刚才那道习题了，所以正方形的边长也都是40厘米。

张老师说：同学们，他把图3、图4转化归结为刚才那道题的图形来做，这种想法太好了。现在，我把图再变一下，图5中两个平行四边形的重叠部分构成长是6厘米、宽是2厘米的长方形，整个阴影部分的面积仍是308平方厘米。怎样求正方形的边长呢？

学生丙大概很聪明，他很快举手了。他说图5中的两个平行四边形分别与原题中的两个长方形条块等底等高，面积分别相等，所以仍可以把图5化成图1来做，正方形的边长仍是40厘米。

张老师说：你说得真好。

张老师笑了，同学们也笑了。

精心设计练习　培养思维能力

教师要设计一些难度适中、新而有趣的问题，让学生从多角度、多方面去探索解决问题，培养学生的思维能力。

一、多向探索，培养思维的灵活性

让学生对熟悉的事物变换角度认识，可以引起新的思考，培养思维的灵活性。如，六（1）班有女生20人，占男生人数的，全班共有学生多少人？多数学生会用分数解：20÷＋ 20。但教师不能只满足于一种解法，要鼓励他们寻求多种解题途径，训练学生的扩散思维。另一种分数解：；归一解：20÷4×（5＋4）；倍比解：20×〔（5＋4）÷4〕；方程解：x －20＝20÷；比例解：

二、大胆设想，培养思维的独特性

在课堂教学中，学生有时会提出独特的见解，有些甚至是教师预料不到的。在教学中，我经常鼓励学生大胆提出自己的见解，使学生的思维从求异向创新发展，培养思维的独特性。如，某工厂生产22500台机器，原计划25天完成，工作5天以后，改进技术，工作效率是原来的4倍，这批机器可以提前几天完成？多数学生按照常规思考并列式为：25－5－（22500－22500÷25×5）÷（22500÷25×4）。可是，有一个学生却与众不同，列式为：25－5－（25－5）÷4。原来他经过思考，快速抓住了问题的实质，明确了解题的关键，正确进行推理：因为剩下的台数不变，工效与工时成反比例关系，改进技术后，工作效率是原来的4倍，所以完成任务的时间应该是原来的，则列式为；（25－5）÷4。

三、扩散与集中相结合，培养思维的创造性

创造性思维是人类在创造过程中产生新的思维成果的思维活动，它的表现形式有两种，即扩散思维与集中思维，在教学中，要精心设计练习，培养学生的这两种思维能力。如，在一个正方形池塘四周种柳树，四个顶点各种一棵，每边24棵，一共种多少课？学生列式时提出以下几种解法：

①24×4＝96（棵）　②24×4－4＝92（棵）　③22×4＋4 ＝92（棵）④（24＋22）×2＝92（棵）　⑤（24－1）×4＝92（棵）

⑥24×2＋22×2＝92（棵）⑦24＋23＋23＋23＝93（棵）　⑧24＋23＋23＋22＝92（棵）

学生列式后，教师评讲，评讲前，先让学生讨论这些答案中哪些对？哪些错？哪些解法最佳？最后得出：①、⑦是错的，②、⑤最佳，⑧繁琐，其余解法一般。从而培养了学生的创造性思维。

一题多变练思维

在应用题教学中，如何训练学生的思维很值得研究。南京市特级教师孙丽谷的一节应用题教学课，在这方面给我们启发很大。

首先，孙老师出示问题：“有6人植树，计划每人植10棵，实际植树时有一人未来，为完成任务，问实际每人多植几棵？”

教师先引导学生按常规思路分析，求出一共植多少棵树，再求出实际每人植多少棵，最后求出实际每人多植的棵数。列综合算式：10×6÷（6－1）＝2（棵）。

接着教者又引导学生从其它角度寻求解法。有个学生列出如下算式：10÷（6－1）－10＝2（棵），这时全班愕然。这个学生说出了算理：6人的任务5人完成，人数减少1人。这1人的任务（10棵）要分配给5人完成，所以每人要多栽10÷5 ＝2（棵）。大家恍然大悟，课堂气氛也活跃起来。

抓住这个时机，教师又进行变题训练，将条件改成。”实际有2人未来”。受思维定势的影响，个别学生列出了10÷（6 －2）的式子。针对这种错误，教师没有急于纠正，而在黑板上画出了直观图示（见下图），学生很快便明白了：两人的任务10×2棵要分配给4人完成，每人多载的棵数是：

10×2÷（6－2）＝5（棵）　或10÷（6－2）×2＝5（棵）

对于后一个式子，孙老师要求学生口述算理，即一人的任务留给4人完成，每人要多植10÷（6－2），现在是2人的任务，所以要乘以2。

至此，教师又趁热打铁，继续进行变题训练：“实际有3人未来，每人要多植几棵？”受以上思路的启迪，学生很快都能列出算式：

10×3÷（6－3）＝10（棵）　或10÷（6－3）×3

对于后一个算式，在计算过程中将出现循环小数，于此教师埋下伏笔，以激发对未来知识的兴趣。

在此基础上，教师又启发学生。找出新的解法：10×2－10＝10（棵）。由于实际的人数只有原来的人数的一半，所以实际每人栽的棵数是原来的两倍，即10×2，再减去10得到多栽的棵数。

纵观整个数学过程，教师设置的一题多变、新意迭出的一题多解，步步深入，环环相扣，不仅启发学生轻松地学到了新颖的解法，而且促进了知识间的联系与沟通，增强了学生思维的灵活性和深刻性。

小学数学概念的学法指导

一、找要点。每教学一个新概念，都要求学生“咬文嚼字”、“逐字推敲”，弄清每一个字、词的含义；分清每个概念的层次要点。例如“平行线”概念，通过讨论，找出“在同一平面内”、“不相交”、“两条直线”这三个要点。

二、抓关键。通过关键性词语的剖析，揭示概念的本质属性。例如：梯形定义中的“只”字是关键性词语，揭示了梯形的本质是“只有一组对边平行的四边形”，至于形状、位置、大小等都是非本质因素。

三、举实例。对于比较抽象的概念，要求学生多举实例说明，把抽象的数学概念与日常生活中的事例联系起来，活跃学生思维，有助于理解和运用概念。

四、举反例。课本一般只从正面阐述概念，为了让学生更好地理解和掌握概念的本质属性，应引导学生从反面或侧面进行剖析。想一想，概念中的要点去掉一个后，内涵外延会发生什么变化。

五、抓变式。运用变式，有意识地变换概念的非本质属性（如几何图形的形状、位置、大小，代数概念中的不同叙述形式），以突出概念的本质属性。

六、找联系。每教学一个新的概念，都要密切联系与它有关的旧概念，通过对比、归类，揭示概念之间的内在联系，使学生对概念有完整、清晰的认识。

教给学生回想、联想、猜想的解题方法

一般说来，回想越充分、联想越丰富、猜想越合理，解题思路就越明确。究竟想什么，怎样想呢？

回想。即在审题的基础上，根据题目的条件和问题的关系，回想——与题目有关的基本概念、定律、性质、公式、法则是什么？能否直接或间接地利用它们来解题？这类题目的常用解法是什么？能否用它来解题？许多题目，通过这样回想就可找到解题途径。

联想。联想是从一个数学问题想到另一个数学问题的心理活动。即寻找一个相似的问题，或指出与题目接近的方法，变通使用这些知识，看能否解决问题。例如：计算72×36＋75×63，从题目数目的特征和结构形式，首先联想72×36＋75×63的简算方法。这样联想，就能很快地顺向迁移，对上题作出相应的简便运算。

猜想。猜想是对事物变化方向的一种“试探”性判断，这种判断往往并没有经过严密的推理和验证。例如，三角形的三个内角可能是什么角？（可能三个全是锐角或两个锐角和一个直角或两个钝角）为什么？猜想的思维基础是不完全归纳推理，即由特殊到一般的推理，通过试探找到解题方法。

加强学具操作的指导

儿童的认识规律可简述为“动作——感知——表象——符号”。这就是说，儿童的认识不只是从直观开始的，而首先是从动作（操作）开始的。在教学中组织好操作活动需要：

1、课前做好操作的准备工作。对初入学的学生可以安排一定时间训练，先掌握一些操作的基本步骤。

2、明确操作的目的、操作的重点。通过操作要着重引导学生观察，揭示概念的意义和本质特征，引导学生分析题里的数量关系。操作的步骤直接影响操作的目的是否能达到，教学中也应该给予重视。

3、从操作中获得有关数学概念或数量关系的表象。应设计好利用学生建立表象的过程。例如，教学“100以内数的读法”按这样三个程序施教：（1）把小棒、计数器上拨出的珠子和数字一一对应；（2）逐步让学生借助数位表读数；（3）完全脱离直观看数字读数。数位表实际上是操作动作的升华，即表象。

4、借助出声的言语表达操作过程。要引导学生通过说，把外部的动作内化为智力活动，在内化的过程中提高思维的深刻性。说，主要是说操作的程序、思考的过程。指导学生把学具操作内化为智力活动，宜遵循（1）运用出声言语循序说出操作过程；（2）离开操作情境用出声的言语进行推想；（3）在头脑中不出声地默念前面的用出声言语推想的过程，并逐步简化思维的层次和步骤。

教材思路提示语教学的思考

教材中呈现的思路（方法）提示语，突出了基本概念的理解过程，数量关系的分析过程，问题发现探究过程，以及对解决问题的一般策略和方法作了精当的思维启导。必须从记忆为主的教学转到以引导学生展开思维为主上来。

1、必须遵循学生的认识规律，认真设计教学过程，使学生对提示语的理解掌握过程成为发展思维能力的过程。着力指导学生看、想、讲，舍得在“提示语”的教学过程上花气力而不走过场，使学生真正领悟、理解并基本形成清晰的“思路”。

2、在思路（方法）提示语的教学过程中，要为学生的思维展开提供尽可能大的空间和机会。要使学生会想和善想，除了精心安排教学过程，使学生的想有依托和支持外，还必须保证“想”的时间。还要靠学生的“讲”来进行信息反馈和交流。要求提供学生讲的机会，要尽可能地使大多数学生都有表达的机会。

3、要突出思路（方法）提示语的练习过程。要指导学生按“提示语”的指向使“想”和“讲”的要求到位。

4、要把握好“提示语”训练的“度”，教学时不得随意增减。

培养学生阅读数学课本的习惯与能力

学生通过阅读课文，发现疑难，积极思维，提出问题，寻求答案是一种非常重要的自学能力，也是学生学习主动性的表现。指导学生读课本可以激发儿童的强烈求知欲，培养学习数学的兴趣；可以加强对知识的理解和记忆；可以促使学生自己发现问题，解决问题，从而培养学生动脑、动口、动手、质疑、解惑的良好习惯。阅读数学课本的要求是：

1、读通。这是对课前读书的要求：①读懂课题；②读通例题；了解例题的内容，弄清已知条件和要求的问题；③找出课文中哪些是旧知识或是旧知识的延伸；④找出课文中的新知识，其中哪些能看懂，哪些还不懂；⑤找出课文中新旧知识的联系。

2、读懂。这是课堂上在老师指导下读书的要求。学生应该边读边思考，边读边划，边读边批，能把课上的重点、难点和关键勾划出来，并能理解其意。

3、读透。这是课后阅读课文的要求：①能用自己熟悉的具体实例来验证课本的结论；②能从课本上的许多实例中概括出普遍规律；③能整理一节、一单元的学习内容，弄清知识的内在联系；④能大胆地对课本内容质疑，从多方面、多角度提出自己的看法，展开讨论，把知识学活。

阅读的方法有：①既读文又读图，图文挂钩。②既读题又读式，题式并重。③既读题又读全文，题文结合。④既读例题又读习题和思考题。

加强思维训练的三大环节

数学知识的形成过程是思维的抽象、概括过程，蕴含了探索、猜想、发现、论证、应用等一系列认知活动，也是人的数学素质形成发展的基本过程。然而，这些内容，却都隐含在较为枯燥的数学知识的文字叙述之中。发挥它的潜在教育功能，关键是教学过程中思维价值的体现程度。思维培养一般具有三大思维环节：置疑——探索——解决。

置疑，是思维培养的基础。问题设置是否适当，直接影响学生的后继思维。问题必须具有：（1）实际的出处（或生活的原形、或数学的原形），具有直观性；（2）认知位差（知识结构位于学生认知结论的近区），具有可接受性。

探索，是思维培养的主要内容。探索的关键是学生的参与，探索的重要功能，来自于学生的自我体验。

解决，是思维培养的关键。这需要学生将抽象的结论，经过验证、使用而纳入自己的认知结构中，形成新的认知结构，是同化过程。在这个环节中，练习、运用、巩固是其表现的主要内容。教师要注意运用心理激励去强化同化过程。

思维训练方式种种

1．模仿式。在进行这种方式训练时，要注意多层次多方向的模仿，不应只停留在单一的机械模仿训练上，应鼓励学生仿中有创，培养学生思维的变通性。

2．求同式。这是一种进行综合、概括的思维方式。如，概念、公式、法则等的教学，从实例中概括方法和规律等等。

3．递进式。这是一种属于逻辑推理、判断的思维方式。引导学生分析判断正误，选择答案或作一些递进式题组的练习，都属于这类方式的训练。

4．联想式。联想的思维方式有助于增强思维的灵活性、发散性和独特性。教学中常用的联想方法有：接近联想、类比联想、对比联想、关系联想、可逆联想等。

5．连想式。这是一种具有激化性、跳跃性的快节奏的思维方式。可以通过有目的有要求的口答问题、口算、速算等形式进行训练。

6．系统式。这是把事物或问题作为一个系统，从不同层次或不同角度去考虑的高级整体思维形式。进行这种思维方式训练，就是要使学生从整体出发，认识和分析一个问题，考虑整体内容各要素之间的各种联系。

7．发散式。这是一种不依常规，寻变求异，从多方面寻求答案的思维方式。可以一问多答、一式多题、一图多问、一题多变、一题多解等形式进行训练。

常用的思维训练方式还有逆向、求异、类比等。