符号树图解与熵在汽车悬架性能评价中的应用

符号树是符号统计量的图形表示，符号统计量是符号序列长度L的函数。在获得符号树后可以方便地提取符号序列统计量。图1.3是一棵3层符号树，其中p001为观测符号序列001的概率。显然，树中每一层对应着符号序列的特定长度，符号序列长度L=3，表示3个连续符号出现的情况。L同时等于符号树的层数，因为它表达了用以评估符号统计量的符号树的深度。在树的第L层有(q+1)L种不同的符号序列。L也等于状态空间的维数d。

图1.3　一棵3层符号树的符号序列长度、符号序列概率

有多种方法可用来描述符号统计量。可以把符号统计量看做树矢量空间中的高维矢量，从而引入多层熵来描述符号统计量，其中最常用的是Shannon熵。对于二进制划分，在树的第L层可定义Shannon熵为：

H(p(τ，L))=-∑ps1s2…sLln ps1s2…sL

(1.6)

变元p表示树的个数，是时延τ和树层数L的函数(求和是在树的L层上对所有树的个数进行)，所有的熵都隐式地依赖于划分q的选择。

对于混沌数据和紊流数据，相关性随着时延τ的增加而衰减，且其Shannon熵渐近地达到上限H∞(p(L))，即

H(p(τ，L))=H∞(p（L）)

(1.7)

在有限时延τ的情况下，数据中残余相关性表述为：

I(τ)≡H∞(p（L）)-H(p(τ，L))(www.xing528.com)

(1.8)

I(τ)也称为残余熵。

对于固定的时延τ，树的个数严格满足分支法则。将sL+1对所有符号在(0，1)情况下求和，得到通常的条件：

ps1s2…sL(τ)=ps1s2…sLsL+1(τ)

(1.9)

类似地，L层树与任意(L+N)层树的关系为：

ps1s2…sL(τ)=　ps1s2…sLsL+1sL+2…sL+N(τ)

(1.10)

显然，对于有限层树结构，树是由最低层树的个数完全确定的，即测量的最大L值。对于最低层为L的符号树，在更高层L′(L′<L)树的个数可以理解为符号序列长度为L的邻近轨迹的概率之和。

噪声的存在使得符号动力学与连续动力学之间呈现相同拓扑性是不可能的，因此，应当宽容地理解诸如“邻近轨迹”的条件：对适度低噪声的系统，即使在符号序列与相空间区域之间没有一一对应的关系，邻近的符号序列仍然趋向于连续相空间中类似的轨迹；但是对于高噪声的系统，不存在这种对应关系；当时延变化时，仍然可以通过符号化方法获得连续动力学的大致行为。