中美数学教育：寻求平衡

寻求平衡

——纵论中美数学教育

张奠宙

近来美国的教育，最触目惊心的是校园犯罪。5月15日的《纽约时报》报道，14岁的黑人少年，因杀害他的英语教师而被陪审团判决有罪，罪名是二级谋杀。同日还报道，新泽西州的一名10岁女孩，因为她的裙子脏了要上洗手间被老师拒绝，高叫“我要杀了她”，结果地方检察官罚了这名女生停学3天。记得去年参观德克萨斯州一所最好的橱窗学校时，每个学生进校都必须经过安全门，看看是否带有枪支。进学校大门如此紧张，可见校园犯罪已到了不得不防的地步了。

许多家长认为，校园犯罪增加的原因之一是电视和游戏机里的暴力教唆。一些孩子成天模仿一些“怪兽”、“狂人”的口吻，动不动就是刀枪相见，大打出手。那些白雪公主小矮人的故事都没人看了。写到这里，我国的儿童电视和游戏机中的内容是否也有类似问题？“人无远虑，必有近忧”。教育的事，马虎不得。

近读美国华文报纸《世界日报》的一则报道，感到值得重视。今年4月6日，美国经济的掌舵人、联邦储备局主席格林斯潘在华盛顿的社区开发会议上说，消费者应从年轻时就开始了解基本的个人理财知识。“应加强小学生和中学生的金融基础教育，达成金融扫盲，使年轻人避免做出盲目的财务决策。例如对计算复利的数学公式的理解，将会使消费者知道，某些信贷计划可能造成灾难性的结果。”实行社会主义市场经济已经被列为我国的长期国策，加入WT O近在眼前，个人投资、储蓄、贷款、抵押、税收等诸如此类的金融活动和每个人密切相关，但是，在我国似乎还没有在教育上对此作通盘的考虑。即使在上海这样的全国金融中心，金融知识在义务教育中的地位和作用并没有很好研究，更谈不上落实。这也许是中国数学教育的重大弱点之一。

美国著名的《时代》杂志3月12日的一期封面上画有一支铅笔，大字标题是：“为什么一些大学废弃SAT考试？”SAT是美国的高考，英语和数学各800分，1600分为满分。自1926年起，各大学大多以SAT成绩作为录取新生的重要依据（录取标准并非完全从高分到低分）。但是，今年2月18日，加州大学校长R·阿特金松决定，每年申请入学的9万新生，可以有SAT成绩，也可以没有，由学生个人选择。他说：“谁知道SAT在考些什么？”《时代》杂志还刊登了一张照片，一个委员会正在举手表决是否同意某位没有SAT成绩的学生入学。更有趣的是，该杂志刊出了一些名人进大学时的SAT成绩：新任总统布什1206分，原副总统戈尔1335分，参议员P·威尔斯通800分以下，一个知识竞赛节目主持人斯梯恩的成绩高达1537分（近年来华裔学生的SAT成绩一般在1400分以上）。反对SAT的意见主要是“不公平”，觉得不擅长考试的人吃亏。在中国，意见似乎相反，大家认为只有“考试”才是公平的，科举意识仍在。

4月28日《纽约时报》头版刊登了长篇报道，标题是“悄悄的反叛：家长提倡基础，领导新的学校运动”。说的是美国著名学府普林斯顿市的渣打中学，现在由家长作为董事来领导学校。他们把“进步教育横行”的状况扭过来，让他们的孩子接受“启发式地回到基础”的教育：学语法，拼写，记忆名句，历史事实，背诵九九表以及做数学题。确实，今日美国占统治地位的教育哲学是：“学生应当不只是学习知识，他们应当学会如何学习。”但是，渣打中学的学生家长认为：“有效的教育应该有严格的课程，能够掌握核心知识和基本技能。”这种教育观念，正在美国悄悄地扩张，以对抗所谓的“进步教育”。

这条消息，反映了美国教育上的弱点。学校里不注重打基础，却硬要学生发挥个性，随心所欲，只讲兴趣，不下苦功。于是九九表不会背，（1/2）+（1/3）=（1/5）竟成了中学生的常见错误。这就难怪家长要造“进步教育哲学”的反了。

亚洲各国，特别是中国的情形正好与美国相反，强调背诵、记忆、苦学、考试。不过美国家长们从来不提教育上“向亚洲学习”的口号，因为“创新教育”、“发展个性”、“提高素质”毕竟比“打基础”更为重要！在美国，在一些优秀的中学里，学生选学微积分、计算机C⁺⁺语言、分子生物学、艺术、戏剧等科目非常普遍，优秀人才依然辈出。

西方教育和亚洲教育各有所长，也许真理恰在中间的平衡点。最近，由笔者建议在美国的网上开展中国课程改革的讨论（网址是：http：//www.Mathforum.com/epigone/mathchina/）。著名美国数学教育家A·熊费尔德在网上说：“美国和中国在文化上的差异也反映在数学课程上。美国学生比中国学生少学许多几何，中国学生则很少学习概率统计。”的确，数学教育带有强烈的民族特点，需要互相取长补短，寻求平衡才是。

我和阿卡提大学数学系的伏利德教授和沃而夫教授进行了多次交谈。我们有相同的看法：美国和中国的数学教育处于两个极端，而真理却在当中。我的数学教育演讲题目是“寻求平衡”。以下几个例子是我在几次演讲中经常提到的：

◆中国小学生上课时，两只手必须放在背后。

◆中国的中学用百分制对学生排名，有学生因为考试压力而自杀。

◆最优秀的数学家出在国际数学教育测试成绩落后的美国。(www.xing528.com)

◆美国小学教师有60％做不出（1+3/4）÷1/2（Ma.1999）。

◆8个女孩分两个饼，3个男孩分一个饼，哪一块比较大？美国8年级学生中56％还依赖画图来思考，中国学生只有2％靠画图，绝大多数用分数计算。（蔡金法，2001）

我的结论是，中国学生的数学平均成绩较好，而优秀学生的培养则以美国的模式为佳。

在这次访问中，我的目标是弄清美国最好的数学教育是怎样进行的。两位教授带我看了两所学校，一所是地区名校：Strange Haven Schol；另一所是费城最好的公立学校——费城中心高中（Central High School in Philadelphia）。名校果然名不虚传，印象深刻。

我认真地听了几堂课。一堂是微积分（AP选修课），先是作业订正：求旋转体的体积，计算颇繁。学生答案不同，方法不同，讨论热烈。新授课是研究函数exp（-x²）的性质，先求一阶、二阶导数，判断图形，找出关键点。然后拿出计算器，观察图形与理论判断的异同。最后是求该函数的积分，以及75％、90％、95％面积的积分限（用计算器）。最后是联系正态分布，一直讲到exp-[（x-μ）/σ]²、均数、方差为止。教师是一位数学博士，基本运算准确与熟练，教学中规中矩，严密推导，和大学没有什么不同。学生来自11和12年级的数学优秀生，他们选修的动机是喜欢。此外进大学后可以免修，少交学费也是一个原因。贫苦的华人家庭，尤其要孩子去选修。这些所谓的AP课程，全国各地都有，约有30％的学生选修。隔壁是计算机专用教室，教师在讲C⁺⁺语言。这很令人吃惊，这种计算机语言都是大学计算机系的基本课程，我国中学难觅踪影，但在美国的优秀高中却很普通。我在走廊上看到一堂平面几何课正在进行，选修微积分的学生预先必须学，内容就是传统的证明。美国的好学校都在高中开设论证严密的平面几何（Monthly of MAA）。一些杂志专门刊登文章说明平面几何教学的重要性。显然中国的平面几何教学的传统值得重视发扬。过分削弱平面几何，无异于教育自杀。

在Strange Haven中学，听了一堂讲二次函数的课，教师言明是按传统方法教学。教材的名称是《Firework（放焰火）》，16开本130页。其内容是讲放焰火时焰火弹的轨道、初速、最高点、落地点的计算。这涉及二次函数、二次方程、配方（二次函数的顶点形式）以及坐标平移等数学内容，都在一个单元里完成。这样的课程设计和我们以数学内容分章节不同，值得思考。教师重视基本训练，每天有一张练习纸，教师自己拟题，相当于我们的一日一练。他们习惯于用计算器，于是配方后都是小数，没有分数。这是习惯，但也表现出某种不足。

关于建构主义数学教学。我还听了一堂所谓的“改革课”（reform lesso）。校长明确说，这是教育家们正在推广的上课模式。基本方法是让学生尝试，分组讨论，教师只是创设学习环境，很少讲。这堂课是“不等式”单元的开始，单元的最后是“线性规划”内容。上课铃一响，学生到老师那里抽一张扑克牌，然后指定位置。原来这是“随机分组”，两星期分组一次，我正好赶上。教师开始让学生读教材，3个学生读3段，然后学生自己回答教材上问题：小组开“派对”（Party），要买咖啡、果汁。咖啡3元一盒，果汁4元一瓶，现有120元，问有多少种买法（大意，数字不确）。学生于是就在那里凑，半小时后，大家交流。学生的答案写在透明薄膜上，在投影仪前讲结果。当然有对有错。整整一堂课，就这样凑过去了。

这样的课，我当然不欣赏。我问为什么要这样做？为什么不把不等式的教学目标事先告诉学生？为什么要学生瞎凑，不在抽象的数学思维层面上进行？教师说这是规定的改革教法，目的是要学生理解，建设学生自己的数学，即建构主义教学法。我问校长的看法，他说，我尊重教育家的研究，进行试验是必要的，但是我们学校基本上是用传统方法进行教学。

按建构主义心理学进行数学教学，在中国也有不少文章在讨论。理论探讨可以，付诸实践要慎重。请看我从网上下载的一段话：

什么是建构主义？

“学生需要对每一个数学概念构造自己的理解，使得‘教’的作用不再是演讲、解释，或者企图去‘传送’知识，而是为促使学生进行心智建构创设学习环境和条件。这种教学方法的关键，是将每一个数学概念按皮亚杰的知识理论分解成许多发展性的步骤，这些步骤的确定要基于对学生的观察和谈话。”（见http：//forum.swarthmore.edu/mathee/constructivism.html）

满堂灌固然不对，难道让学生瞎碰瞎闯就对了？每一个概念都要学生自己去建构，演讲、解释、传授知识都是多余的？未免走得太远了。我直言不讳地表示了对这种教育理论的怀疑与批评。上面那堂“不等式”课正是按这一理论进行的，我以为不成功，浪费了学生的时间。

综上所述，美国数学教育虽然在大部分学生的基本训练上有重大缺陷，教育理论上也许有过于极端的观点。但是，它的高水准数学教育是存在的，对优秀学生的成长是有利的。现在，从美国总统到社会舆论，从数学教授到普通百姓，正在努力改正他们的缺陷。中国数学教育往何处去？中国的数学教育界颇有一些骄傲情绪，以为自己的“双基”教学天下第一，小修小改就行了。但是，从国际竞争的观点来看，普通百姓的数学修养固然重要，顶尖人才的数学创新能力更是决定的因素。扬长避短，虚心学习，恐怕是我们应取的态度。