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月亮宝石的价值及割开前后比较

时间:2023-12-01 理论教育 版权反馈
【摘要】:如图,取正方形ABCD中的线段AB表示月亮宝石的重量G,即AB=G。显然SMNRP<SABCD,即割开后宝石的价值要受损失。如果取正方形ABCD的四边中点E、F、G、H,则正方形EFGH的面积xK则表示宝石被割成相等两块时的价值,下面证明SEFGH≤SMNRP。

月亮宝石的价值及割开前后比较

月亮宝石的价值

你看过《月亮宝石》这本书吗?《月亮宝石》是十九世纪英国著名作家威廉·威尔基·柯林斯(1824-1889)的代表作,这本书被后世誉为“第一部英国侦探小说,也是最伟大的一部”。柯林斯也因此而被戴上“现代侦探小说的鼻祖”的桂冠。以写福尔摩斯探案小说闻名今世的柯南·道尔也在很大程度上受到他的影响。

这部小说是围绕着一颗价值连城的黄色的印度钻石而展开的。这颗宝石原来一直被镶嵌在一尊四只手的印度神——月亮神的前额上。

1799年,英国侵略者攻入印度圣城塞林加柏尔。官兵烧杀劫掠,无恶不作——就象他们当年在我国焚毁园明圆那样。英国侵略军军官亨卡什抢到这颗宝石后,把它带回英国。而印度爱国者不甘心国宝流落异邦,也跟踪来到英国,伺机夺回。亨卡什临死前把宝石送给侄女雷茜儿,但雷茜儿得到宝石的当晚就失窃了。于是探长登场大显身手。几经波折,扑朔迷离的案情终于真相大白。原来是以慈善家面目出现的雷茜儿的表哥艾伯怀特偷走了宝石。艾伯怀特一方面为了逃避印度爱国者的追索,另一方面也为了销赃方便,想把宝石带到阿姆斯特丹去割成几块,他认为宝石如被割成几块,不成完璧,印度爱国者就可能因为不能再镶嵌到月亮神像上而放弃追索,从而有利于他销赃。当然,宝石被割开,价值会大跌。但这笔飞来之财,对艾伯怀特来说也足够他挥霍的了。

宝石的价值,要看它的纯净度,还要看它的颜色。而在颜色纯度都一样的情况下,其价值与重量的平方成正比。这块宝石,据当时的宝石商,高利贷者鲁克的估价,至少价值30000英镑——这在当时已经可算是天文数字了。而且贪婪的鲁克也是为了杀价才这样压低估价的。就算这块宝石价值30000英镑吧,再假定这块宝石重G克拉(克拉是计算宝石的重量单位,1克=5克拉),于是可知一粒重1克拉的这种宝石价值为30000英镑,不妨记K=img27

为方便计算,假定艾伯怀特准备把宝石割成重量为x克拉及(G-x)克拉的两块,于是割开后宝石价值y为:

y=Kx2+K(G-x)2=2Kx2-2KGx+KG2

 =2K(x-img28G)2img29KG2

显然,宝石的价值是x的二次函数,其中0<x<G,于是

|x-img30|<img31。所以2K(x-img322img33

从而y<img34KG2img35KG2=30000。

这就是说,割开后宝石价值一定受损失,且当宝石割成相等两块时受损失最大。此时的价值只有原价的一半。

这个问题用几何方法也可以说明。(www.xing528.com)

如图,取正方形ABCD中的线段AB表示月亮宝石的重量G,即AB=G。

于是,月亮宝石的价值为KG2=K·SABCD

设宝石被割成重为x=AM及G-x=BM的两块。在正方形的各边上依次截取BN=CR=DP=AM,则MNRP也是正方形。

两块宝石价值和y=Kx2+K(G-x)2=K(AM2+AP2)=K·MP2=K·SMNRP

显然SMNRP<SABCD,即割开后宝石的价值要受损失。

如果取正方形ABCD的四边中点E、F、G、H,则正方形EFGH的面积xK则表示宝石被割成相等两块时的价值,下面证明SEFGH≤SMNRP

不妨设AH>AP。作PS‖AB,交HE于S,且设HE与PM交于O,易证S△OEM=S△OSP。

于是SAMP=SAEOP+SOSP=SAESP<SAEH

∴SEFGH=SABCD-4SAEH<SABCD-4SAMP=SMNPR

即当E、F、G、H为正方形ABCD的四边中点时,其面积取最小值,且SEFGHimg37SABCD

当然,故事的结局是:正当化装成水手的艾伯怀特揣着宝石准备动身前往阿姆斯特丹时,探长们赶到了,但三位印度爱国者先到了一步,夺走了宝石并重新把宝石送回国镶嵌在月亮神的前额上去了。

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