陶德麟文集：逻辑证明与真理标准解析

逻辑证明与真理标准⁽¹⁾

两年前开始的真理标准问题的讨论，对于破除反马克思主义的现代迷信、冲决思想罗网，起了振聋发聩的作用。但是，对“实践是检验真理的惟一标准”这个命题的理解，在学术界和广大群众中至今还并不一致，甚至有不小的分歧。例如:有的同志认为经实践检验过的正确理论也可以是检验真理的标准;有的同志认为逻辑证明也可以是检验真理的标准;有的同志认为检验真理的标准不是实践而是客观对象。总之，在这些同志看来，“惟一”标准的说法至少是绝对化、简单化了，不能成立。我个人是同意“惟一”论的。本文只先就“逻辑标准”问题谈一点粗浅的看法。

为了避免“假争论”，需要先明确语词的涵义和论题的意义。第一，这里说的“真理”(truth)是指认识与客观对象的符合，“检验真理的标准”(准确些说，是检验认识的真理性的标准)是指判定认识与客观对象是否符合的标准。第二，这里说的“逻辑”是专指传统的和现代的演绎逻辑。因为归纳推理的结论并没有必然性，辩证逻辑则还没有形成一套严密的推理规则，它们之不能作为检验真理的标准现在并无争议，没有特别讨论的必要。第三，这里不是一般地讨论逻辑在认识过程中的作用问题，而是仅仅涉及逻辑的证明作用问题(后者比前者的范围狭窄得多)。一句话，我们要讨论的问题是:作为演绎推理的逻辑证明是不是判定认识与对象符合的标准?

一

除了非理性主义者，谁也不会公然否认逻辑有证明的作用。在现代逻辑的研究和应用取得了巨大成就的今天，否认逻辑的证明作用更是荒谬的。问题不在于逻辑有没有证明的作用，而在于它证明的是什么，能不能由它的证明作用得出它是检验真理的标准的结论。而这就需要对逻辑证明的实质和功能作一点考察。

逻辑证明是以确定论题的真实性为目的的演绎推理(反驳是证明的特殊情况，不另讨论)。无论多么复杂冗长的证明，总是由论据、推论和论题组成的演绎推理。论题是待证的命题，是推理的结论，这里无需分析。论据是推理的前提，论证则是按照逻辑规则(即普遍有效的推理形式)由前提过渡到结论的思维活动，这两者是需要分析的。

先看论据。

论据可以是一个命题，也可以是若干命题。要使演绎推理成为逻辑证明(逻辑证明是演绎推理，但并非一切演绎推理都是逻辑证明)，第一个必要条件就是论据全部是真命题，即作为论据的每一命题都与它所反映的对象符合。如果论据全部假、部分假或真假不定，即使推理形式是普遍有效的，结论在事实上也是真的，仍然不成其为逻辑证明。

那么，论据的真能不能由逻辑证明来确定呢?回答是否定的。作为论据的命题不外以下几类:

(一)陈述经验事实的命题，亦称经验命题或知觉命题

这类命题反映的是可感知的事实，其真假取决于命题的陈述与事实是否符合。要判定这一点，逻辑显然无能为力。符合逻辑和符合事实并不是一回事。说“猫是吃老鼠的”固然符合逻辑，说“老鼠是吃猫的”也决不违反逻辑。我们设想一个逻辑推理能力很强、但对地球上的事物(包括猫鼠的生活习性)毫无所知的“外星人”忽然来到我们这里，我们请他用逻辑的方法来判定这两个命题的真假，事情会怎样呢?他一定会束手无策。因为在他看来，这两个命题在形式上是完全一样的，他怎么能根据“逻辑”来判定孰真孰假?这类命题的真假是只有实践(包括观察和调查)才能作出“裁决”的。

或曰不然。有些命题也是陈述经验事实的，我们却可以从逻辑上判定其真假。例如“这个老年人是人”必真，“这个等边三角形是六边形”必假，又当作何解释?其实，这样的命题并不是陈述经验事实的命题。前者是分析命题，谓词包含在主词之中，相当于说“A集的某一元素属于A集”，其逻辑形式是永真;后者是矛盾命题，谓词与主词互相排斥，相当于说“A集的某一元素属于A集的补集”，其逻辑形式是永假。这两种命题的真假与它们的经验内容无关，而只取决于它们的逻辑形式，当然可以依据逻辑公理来判定。就是说，只要肯定了公理，它们的真假就是必然的了，无需援引具体经验。至于公理的真实性靠什么来证明，正是下面要讨论的。

(二)公理

像逻辑和数学这样的纯演绎科学是以公理为原始论据的。这类科学是公理系统。公理的真实性能不能靠逻辑来证明?不能。有人想去证明欧氏几何第五公设，结果只是徒劳。这是为什么呢?因为任何演绎系统的基本要求就是自洽，也就是不允许自相矛盾;而要不自相矛盾，就会至少有一个命题在本系统中得不到证明(也得不到否证)。假如我们在某一演绎系统中用A₀证明A₁，用A₁证明A₂，用A₂证明用A₃……一直到用A_n－1证明A_n，那么用什么来证明A₀呢?用从A₀到A_n的任何命题来证明，都陷入了循环证明，等于不证明。可见像A₀这样的命题在本系统中是不可能被证明的，它只能作为不证自明的公理。

那么，在本系统中得不到证明的命题不能在别的系统中得到证明吗?那要看两个系统的关系怎样。(1)如果A系统与B系统的命题不相干，显然不能证明。(2)如果A系统与B系统的命题互相矛盾，也不能证明。例如“平行线不相交”在欧氏几何里是真命题，在非欧几何里却是假命题。“全体大于部分”在有穷集合里是真命题，在无穷集合里却是假命题。这样矛盾的系统当然不可能互相证明。(3)如果A系统与B系统不相矛盾并且有某种关系，那么在A系统中得不到证明的命题在B系统中是可能得到证明的，但B系统又会有命题在本系统中得不到证明，又得求助于别的系统。这样一直推下去，公理的证明问题还是不能在逻辑的范围内解决。

这并不是说公理是不反映客观实际的人为约定和任意假设，无所谓真实性，而是说它们的真实性不能由逻辑来判定。欧氏几何和非欧几何的公理当然都是一定的现实空间的特性的正确反映，有客观的真实性，是真理。但逻辑是无法证明这一点的。只有当由这些公理推导出来的结论被应用于特定领域的实践并得到了预期的结果时，公理的真实性才得到了证实。

(三)定理

在纯演绎科学中，定理是以公理为原始论据推论出来的，定理的真实性靠公理的真实性来保证。既然公理的真实性不能由逻辑证明来检验，定理的真实性当然也不能由逻辑证明来检验。定理是否与客观现实符合，与什么客观现实符合，只有实践才能判定。

至于在经验科学中，定理(或原理)一般说来并不是从公理演绎出来的，而是从经验事实中概括出来的普遍命题。这些经验事实是从实践中得到的(通过观察、实验、调查等等)，因而普遍命题是否真实也只有由实践来确定。这是显然的。不错，现代的经验科学有许多部门采用的已经不是早期实验科学所采用的纯粹经验的方法，“而是研究人员受到经验数据的启发而建立起一个思想体系;一般来说，这个思想体系在逻辑上是用少数的基本假定，即所谓公理，建立起来的”⁽²⁾。例如爱因斯坦的狭义相对论就是从两个被视为公理的命题出发的(光在真空中速度不变，与光源的运动无关;在相对作匀速而无转动的直线运动的诸坐标系中一切物理定律等效)。但是，第一，这些公理之所以能被提出，首先还是由于研究人员“受到经验数据的启发”，并不是离开经验凭空构想出来的。第二，这些公理的真实性要在实践中受到检验。例如相对论的第一个公理就是在迈克尔逊—莫雷的著名实验中得到证实的。第三，这样建立起来的理论体系(它由一系列相互联系的命题组成)究竟是否符合实际，是否真实，逻辑并不能回答，只有实践才能回答。例如广义相对论是得到了水星近日点的移动、光线在引力场中的偏转、光谱线的红向移动的观测证实的。在得到证实以前，爱因斯坦本人也并不认为他的理论就一定符合实际。他在1916年还写道:“无论如何在未来的几年中将会得出一个确定的结论。如果引力势导致的光谱线红向移动并不存在，那么广义相对论就不能成立。另一方面，如果光谱线的位移确实是引力势引起的，那么对于此种位移的研究将会为我们提供关于天体的质量的重要情报。”⁽³⁾亚当斯(Adams)通过对天狼星的伴星的观测证实了谱线红移，这才使广义相对论的真实性得到了一个实践上的验证。爱因斯坦完全理解，“理论有存在的必要的理由乃在于它能把大量的个别观察联系起来，而理论的‘真实性’也正在于此”⁽⁴⁾。至于在化学、生物学、人类学等经验自然科学和各门社会科学中的定理和原理的真实性只有实践才能判定，就无需一一说到了。

(四)定义

以定义为论据是常见的。定义有语词定义和实质定义的区别。

语词定义是对语言符号的意义的规定，被定义的东西不是客观对象而是语词。它无非是说明我们用某一语词去指称某一对象，以便使人们了解我们的陈述，相当于给一个对象取名字。这种定义是约定的，无所谓真假，至多不过要求下定义的时候遵守日常用语或科学用语的习惯而已。我们把“圆”定义为与平面上一定点等距离的点的轨迹，就等于给具有如此这般特性的几何图形命名为“圆”，这就无所谓与客观对象是否符合，无所谓真假。如果有人不愿遵守这个约定，偏要把“圆”定义为别的什么，那么，只要他交待清楚，也不能说他的定义是假的;至于他在此后的议论中是否首尾一贯，不自相矛盾，那是另一个问题，与定义的真假无关。语词定义既然无所谓真假，当然也就无所谓以什么为标准来检验其真假的问题。

实质定义与此不同，被定义的东西是客观对象。实质定义是对事物的本质或本质属性的断定和陈述，是有真假之分的。与事物的本质或本质属性相符合的断定和陈述是真的，反之就是假的。那么，逻辑能否判定一个实质定义与它所反映的对象是否符合呢?不能，道理同前述的公理或定理的真假不能由逻辑判定一样。例如“国家是全民利益的代表”和“国家是阶级矛盾不可调和的产物”这两个定义哪一个符合国家这个客观事物的本质，从逻辑上是不能判定的，因为两者都符合逻辑;只有阶级社会中的实践才能回答这个问题。

可见，无论哪一类论据的真实性都不能由逻辑证明来确定。逻辑证明的第一个必要条件，它自身就不能保证，它怎么能成为检验真理的标准?

二

再看论证。

逻辑证明的另一个必要条件，是论证的每一个步骤都合乎演绎推理的规则，即遵守正确的推理形式。那么，正确的推理形式能不能成为检验真理的标准呢?回答也是否定的。

第一，推理的形式本身正确与否靠什么来检验?这就是一大问题。为什么我们恰恰把如此这般的推理形式看做“正确”的，而把另一些推理形式看做“不正确”的呢?推理形式的正确性靠什么来证明呢?如果用逻辑来证明，那么在一动手证明的时候就不可能不运用这些推理形式本身，就等于把待证明的东西当成已证明的东西，这就违反了逻辑。当然，在证明某种特定推理形式时可以设法避免运用它自身，而只用别的推理形式，但这时别的推理形式是否正确又还是没有证明。就推理形式的总体看，谁要想从逻辑上去证明推理形式，就无法避免由推理形式自己证明自己，而这也就等于什么也没有证明。可见，推理形式的正确性是不可能由逻辑来证明的，它只能被当作“当然如此”和“无需证明”的规则来采用。这种“当然如此”和“无需证明”，正是因为它已被亿万次的实践证明过了的缘故。例如，为什么我们在推论时都得遵守同一律呢?因为人类亿万次的实践证明了它。原始人在追捕一头野牛的时候，他们将发现这头野牛在整个追捕过程中始终是一头野牛，具有野牛的一切属性;他们只有始终认定它是一头野牛，采取捕野牛的特殊办法追捕它，才可能达到预期的目的。假如他们一方面认定那是一头野牛，另一方面又认定那不是一头野牛，而是一块石头或一棵树，试问他们将如何行动，他们的狩猎还要不要进行呢?可见，若不遵守“如果X是A，那么X是A”这样的推理形式，人们就无法行动，无法生活。这种推理形式的“正确性”就是这样经过无数次的实践反映到人的头脑中来、被无数次的实践所证明，而不是被推理形式自己证明的。列宁说得很精辟:“人的实践经过亿万次的重复，在人的意识中以逻辑的式固定下来。这些式正是(而且只是)由于亿万次的重复才有着先入之见的巩固性和公理的性质。”⁽⁵⁾“人的实践活动必须亿万次地使人的意识去重复不同的逻辑的式，以便这些式能够获得公理的意义。”⁽⁶⁾

第二，即使把正确的推理形式本身如何形成，如何证明的问题存而不论，仅就它形成以后的作用来说，它能不能充当检验真理的标准呢?也不能。正确的推理形式无非是指这样的推理形式:它可以被归结为一个蕴涵式，而这个蕴涵式又是一个重言式，即永真式。检查一种推理形式是否正确，就是看它的相当的蕴涵式是不是永真式。如果把前提和结论的关系归结为A→B的命题形式，而A→B又是永真式，则推理形式是正确的，否则是不正确的。永真式是什么意思呢?它是指这样的命题形式:无论把具有什么具体内容的名词(或命题)代入它的变项，也无论被代入的命题(如果不是名词而是命题的话)是真是假，得到的命题总是真的。例如“如果P，那么P”(P≡P)，“不可能P并且非P”(﹁［P∧﹁P］)，“P或者非P”(P∨﹁P)等等，就是常见的永真式。一个揭示了前提和结论的关系的蕴涵式是永真式，这表明了什么呢?表明了前提和结论的必然关系是不以前提和结论的具体内容及其真假为转移的。可见，正确的推理形式的实质和功能正在于、也仅在于撇开了前提和结论的具体内容，不管前提和结论在事实上真不真，而单从思维的形式结构方面揭示命题间的必然关系。换句话说，推理形式所涉及的只是思维本身的形式结构问题．而不是前提或结论与客观对象是否符合即是否真理的问题。如果问:正确的推理形式能证明什么?回答只能是:能证明前提和结论在命题形式方面的关系，再没有别的。至于前提和结论是不是正确地反映了客观实际，是不是真理，它是不去“管”、也管不了的。

正确的推理形式所能证明的仅仅是逻辑上的蕴涵，即命题形式上的蕴涵，而不包括事实上的蕴涵。例如客观世界里的对象或事件之间的因果关系、函数关系等等，是不能由推理形式来证明的。在这一点上，休谟说对了。要想从原因中“演绎”出结果来，是做不到的。同样，演绎也证明不了函数关系。例如，假定我们已知A物体的质量为B物体质量的两倍，又知道加在A、B两物上的力相等，我们也就可以断定A的加速度必为B的加速度之半。这个断定是不是从两个已知条件“演绎”出来的呢?很像是，其实不是。因为这两个已知条件与我们的断定之间在命题形式上并无必然联系，或者说，虽有必然联系，但只是物理的必然而非逻辑的必然。即使我们作出与此不同的断定，也并不违反逻辑。为什么我们认为只有这样的断定才是正确的呢?是因为我们依据了F=ma的经典力学公式。这并不是什么逻辑规则，而是力学公式;它反映的是力、质量、加速度这三个物理量之间的事实上的必然关系(函数关系)，而不是三个概念之间的逻辑上的必然关系。这种事实上的必然关系的普遍性是不可能由逻辑推理来证明，而只能由亿万次的实践来证明的。(www.xing528.com)

我国50年代讨论逻辑问题时有的同志主张把“正确性”和“真实性”加以区别，我认为这种意见是很对的，对我们当前的讨论仍有意义。卡尔纳普(R.Carnap)把“逻辑上有效”(L-valid)和“物理上有效”(P-valid)加以区别的说法也不无合理的成分。所谓“正确”或“逻辑上有效”相当于通常说的“合乎逻辑”，是指推理形式正确(前提蕴涵结论);“真实性”或“物理上有效”，则相当于通常说的“合乎实际”，这才是指命题是真理。逻辑只能证明前者而不能证明后者。人们常常在说到逻辑证明的场合叫“证明”(proof)，而在说到实践证明的场合则叫“证实”(verification)或“确证”(confirmation)，这并不是无意义的咬文嚼字，而是为了表示两者在性质和功能上的区别。当然，问题不在于用语，“实践证明”并非不可以说，而在于“实践证明”和“逻辑证明”所解决的问题确实是不同的，不应该混为一谈。

或许有的同志会说:如果前提的真实性已被实践证明，不就可以推出结论的真实性吗?在这种情况下，结论的真实性不就是由正确的推理形式确定的吗?看来很像是这样，但实际上并不是这样。在这种情况下，结论的真实性本来就被蕴涵在前提之中，早就同前提一起被实践证明过了。推理的作用不过是把已被实践证明了的真实性揭示出来而已。打一个不完全恰当的比喻:一个进行了犯罪活动的人，他的犯罪性质在他作案完成的时候就已经在客观上确定了(即使当时没有任何人知道也一样)，法庭宣判时所作的推论不过是依据他的作案事实把他的犯罪性质揭示出来而已。证明此人是罪犯的并不是逻辑推论，而是此人的犯罪活动的事实。

第三，正确的推理形式之不能检验真理，在前提为假的情况下显示得更清楚。从假前提出发，按照同样的正确推理形式，既可以推出假结论，也可以推出真结论(假前提不仅蕴涵假结论，也蕴涵真结论)。试看下面的两个推理:

这两个推理的前提都假，在这一点上没有区别;推理形式都正确，而且是同一个推理形式(“所有的M是P”，“所有的S是M”，所以“所有的S是P”)，在这一点上也没有区别。可是得出的结论却一个假，一个真，截然相反。如果一个人根本没有生物学的知识，仅以推理形式为标准，能检验得出究竟哪一个结论是假的，哪一个结论是真的吗?显然不能。这就表明了正确的推理形式只能揭示前提和结论的逻辑蕴涵关系，而不能判定结论的真假。

三

有的同志说，上面这些道理至多不过说明逻辑不是检验真理的最终标准罢了，这一点我们并不反对。可是不管怎么说，如果前提真并且推理形式正确，则结论必真，这总是无可否认的吧，而这就是逻辑证明的威力所在。我们说逻辑证明也是检验真理的一种标准，也无非就是这个意思。这又有什么不对呢?

是的，逻辑证明作为演绎推理，有它的必然性、强制性。否认了这一点就等于否认了逻辑证明的存在权，连这个名词都该取消了。这当然很荒谬。可是，只要哪怕是极粗略地考察一下人类认识的历史，就不难发现这样的事实:尽管人们从自认为(而且公认为)千真万确的前提出发，极严格地遵循演绎推理的规则去进行推理，因而极自信地认为得出的结论必定为真，但实际的结果还是常常(虽然不是每次如此)出乎意料地错误，使自己大吃一惊。这是为什么呢?是因为实践已经超出了前提的有效范围。这并不表明演绎推理的规则不灵了，而是表明被人们原来当作“千真万确”的前提并不是在任何范围内都是千真万确的。那么，难道我们不可以对某种真前提的有效范围一劳永逸地作一个完全正确的规定吗?可惜，这是做不到的。人们的认识不可能超越具体的历史条件。任何时代的人们都只能根据当时的实践所揭示、所证实的情况对某一真命题的有效范围作出规定——这是应当和可能要求于人们的一切。这个规定与这个真命题的实际有效范围是否一致呢?可能一致，也可能不一致。如果不一致，也并不是在任何情况下都可以发现的。只有当实践的触角伸进了以前没有估计到的新领域时，才可能发现原来的规定与实际情况不符。而在此之前，人们还是可以心安理得地把某个真命题连同人们对它的有效范围的规定一起当作“千真万确”的前提来进行推理，得出仿佛“万无一失”的结论的。这正如在篮球场上奔跑的运动员如果事实上没有出界，即使“忘记”了球场的界线也无关紧要一样。可是“界线”毕竟客观存在，并不因为忘记了它而消失掉。如果不估计到它，运动员闯出了“界线”之外的时候就会大吃一惊，觉得不可理解。列宁说:“每一科学原理的真理的界限都是相对的，它随着知识的增加时而扩张、时而缩小。”⁽⁷⁾说的正是这种情况。例如，实践证实了经典力学的公式是真命题。在什么范围内真呢?人们长期没有想到这个问题(因为实践还没有提出这个问题)，于是按照当时的认识水平对它的有效范围作了一个规定，然后以它为前提进行推理。这种推理也许进行过亿万次，每次的结论都没有超出经典力学公式的实际有效范围，事实上都是真的，因而也就没有发现这里面还有什么问题。可是，当实践的触角伸进了前所未知的微观现象和宏观高速(接近光速)现象时，以经典力学的公式为前提推出的结论就不是真命题，这就表明了经典力学的公式在这个领域里并不是真命题。只有在这个时候人们才可能认识到经典力学公式的真理性的界限，才可能知道原先对它的有效范围的规定超出了它的实际有效范围，因而以此为前提推出的结论并非在任何范围内都必然是真的。像这种由于推理的前提超出了实际有效范围，因而推出了错误结论，终于被新的实践所揭露、所修正的情况，在科学史以至整个认识史上是屡见不鲜的。可以说，没有这种“超出”和“修正”就没有科学的发展和认识的进步。试想，如果认定从经典力学公式合乎逻辑地推出的结论无论在什么范围里都无可怀疑地是真理，无须实践的检验，相对论和量子力学还有出世的权利吗?

有的同志反驳说:你这里说的实际上并不是由真前提合乎逻辑地推出的结论，而仅仅是由被误认为真而实际上假的前提合乎逻辑地推出的结论，这样的结论真不真当然不能由逻辑来判定。可是，如果我从被实践充分证实了的、确凿无疑的真前提出发来进行推理，那么我就可以仅仅根据推理形式正确这一点来断定结论的真，不需要再诉诸实践。如果还说要诉诸实践，那在理论上就是否认了演绎推理的必然性，在行动上就是迂腐可笑了。

我认为这种说法是似是而非的。如果不作脱离人类认识的实际历史进程的抽象议论，恐怕很难否认:在任何特定历史条件下被一切严谨的科学家、思想家当作前提来进行推论的命题，总是被当时的实践所充分证实，因而有理由被认为确凿无疑的命题。然而进一步发展了的实践往往会揭示出这样的情况:人们当时对这个或这些命题的有效范围的规定并不符合实际，因而包括有效范围的规定在内的整个命题并不是真命题。但是，我们在这个问题上只能是“事后诸葛亮”。我们只有在新的实践“教训”了我们之后才可能由结论的错误反推出前提的错误。我们今天之所以能傲然地说17、18、19世纪的物理学家进行推论的前提不过是被“误认”为真而实际上假的前提，那是因为我们生活在相对论和量子力学诞生之后，否则我们也不可避免地会这样“误认”的。不宁唯是，我们今天认为确凿无疑的命题，会不会被实践的进一步发展表明也是一种被“误认”为真的命题呢?我看，“后之视今，亦犹今之视昔”，我们这一代人也并没有绝对免除错误的特权。可见，要想一劳永逸地找到连有效范围的规定都绝对不会错误的科学定律作为推论的前提，那只是违反认识规律的幻想。如果以为只有这样的命题才有资格充当推论的前提，我们就只有停止推论;而停止推论也就是停止思维，停止认识，科学的发展也就完结了。人类认识的实际进程完全不是这样的。人们总是以被当时的实践证实了的真命题为前提来进行推论，同时又估计到此时此地对这个或这些命题的有效范围的规定可能有错，因而并不迷信推论的结论;而当推论的结论与新的实践所揭示的事实发生矛盾的时候，不是用裁剪事实的办法来固守结论，而是以尊重事实的态度来修改结论，修改原先对前提的有效范围所作的不符合实际的规定。这是科学发展的必由之路。显然，在这里起着检验标准作用的正是不断发展着的实践，而不是逻辑推理。

还有一种诘难说:数学定理难道不是真理吗?它们不是由推导来证明并且仅仅是由推导来证明的吗?

数学的来源、对象和本质是很复杂的问题，直到今天也还在激烈争论。这些争论在这里不必赘述。这里需要指出的是:在什么意义上我们说数学定理是真理?我们认为，说数学定理是真理(truth)，除了指它们与客观世界的量的关系或空间关系相符合以外，没有别的意义。那么，数学定理是不是正确地反映了这种客观的关系呢?这恰恰是推导所不能证明的。为什么?因为数学的原始论据是公理，推导所遵循的是逻辑规则。公理本身是否与客观现实符合，逻辑规则本身是否普遍有效，推导尚且不能证明，它又怎么能证明由公理推导出来的定理是否与客观现实符合呢?爱因斯坦说过:“‘真实’这一概念与纯几何学的论点是不相符的，因为‘真实’一词我们在习惯上总是指与一个‘实在的’客体相当的意思;然而几何学并不涉及其中所包含的观念与经验客体之间的关系，而只是涉及这些观念本身之间的逻辑联系。”⁽⁸⁾又说:“几何观念大体上对应于自然界中具有正确形状的客体，而这些客体无疑是产生这些观念的惟一渊源。”⁽⁹⁾这些话是对的，不仅适用于几何学，而且原则上也适用于其他门类的数学。数学推导所证明的，只是数学概念之间的逻辑联系，公理和定理之间以及定理和定理之间的逻辑联系。至于这些概念、公理和定理与客观世界的客体(或关系)是否符合，即是否真理，数学推导是没有证明、也不能证明的。只有把这些概念、公理、定理应用于各门经验科学，通过亿万次的实践，才能解决这个问题。

四

这样说来，逻辑证明对检验真理岂不是没有任何作用了吗?

不，并不是这样。我们说逻辑证明本身不是检验真理的标准，并不是说它在检验真理的过程中没有作用。相反，它的作用是巨大的，不可缺少的，而且是不可代替的。

第一，结论的真实性虽然已被蕴涵在前提之中，在前提被实践证明的同时就已被实践证明，但前提与结论的蕴涵关系并不是可以一望而知的。当它还没有明晰化的时候，人们并不容易认识到这种关系的存在。即使知道了前提真，也未必就知道结论真。在欧氏几何中“平行线内错角相等”的命题蕴涵着“三角形三内角之和等于两直角”，但是如不经过一番推导，即使知道了前一命题的真，也未必知道后一命题的真。同样，即使知道了方程式x²－7x+12=0正确地反映了某种客体间的关系，是真的，但是如不经过一番演算，也未必能一眼看出x=3或x=4是真的。像这样极简单的蕴涵关系尚且如此，复杂的蕴涵关系就更不用说了(有的蕴涵关系甚至需要经过千万次的推论才能揭示出来)。逻辑能够把前提和结论的蕴涵关系明晰地揭示出来，把虽然已被实践证实但还不为人们所知道的真理确切地陈述出来，这对于达到检验真理的目的来说就决不是可有可无的。没有它的辅助，已被实践证实了的真理也往往不为人们所知道和确认。正如一个人的犯罪行为虽已发生，但如不经过调查核实并作出合乎逻辑的推论就不能确认此人是罪犯一样。

这里顺便说到，有的同志认为逻辑证明根本不能提供任何新知识。此说未免失之偏颇，我未敢苟同。诚然，演绎推理(包括逻辑证明)的结论是被前提所蕴涵的，从这一点说，演绎推理确是同义反复(tautology)。但是，关于前提的知识并不等于关于结论的知识。演绎推理能把蕴涵在前提中的结论揭示出来，使人们知道前所未知的东西，这也就是提供了新知识。如果不能提供新知识，那就无异乎说只要承认了为数不多的几条公理就等于精通了某门演绎科学，一切演绎科学的著作就都成了废话集了。

第二，在如何组织实践的检验上，逻辑的辅助作用也不可缺少。如果我们要用实践来检验一个命题的真假，就不能不碰到这样的问题:用什么实践来检验?通过什么途径来检验?是直接检验这个命题还是通过检验别的命题来检验它?这就需要进行一番“设计”。要使“设计”能达到有效地检验命题的目的，除了借助于已有的经验知识以外，还少不了运用逻辑。即使检验最简单的经验命题，也必须如此。例如我们要检验“这只梨是甜的”这个命题真不真，是怎样检验的呢?当然，吃一口就是了。但是，我们怎么知道恰恰是用“吃”这种实践去检验这个命题，而不是用别的实践(例如把梨砸碎、把梨扔到水里等等)去检验呢?这是因为我们从以往的实践经验知道了这样一种必然关系的存在:“X是甜的，当且仅当X被人吃并且人产生甜的味觉。”把这个关系式用于这只梨味的检验，就得到:“如果我吃这只梨并且我尝到甜味(前件)，那么这只梨是甜的(后件)。”于是我们的任务就变成了去检验“如果我吃这只梨并且我尝到甜味”这个前件是否真。而这个前件又是“我吃这只梨”和“我尝到甜味”的合取;只有这两个命题都真，前件才真。于是我们的任务又变成了分别去检验这两个命题的真假。首先，我们用行动保证“我吃这只梨”是真的。然后，如果我的味觉没有毛病，因而可以确定“我尝到甜味”也是真的，那么“我吃这只梨并且我尝到甜味”就是真的。前件既然真，后件也必真。这样。“这只梨是甜的”的真实性就被证实了。像这样最简单的经验命题的检验尚且如此，复杂的就更是如此。如果要用实践来检验一个普遍命题的真假，其“设计”的复杂，需要调动的逻辑手段之多，就更不用说了。很显然，没有逻辑的辅助，一个待检验的命题摆在我们面前，我们也会不知道用什么实践、通过什么途径来检验它。

第三，在如何确定实践结果对检验真理的意义上，逻辑的辅助作用也是显然的。实践的结果总是某种经验事实。这种经验事实说明了什么呢?它是不是确实证实了我们想要证实的命题呢?要确定这一点，一方面要检查我们的检验“设计”是否合乎逻辑，一方面还要对实践结果进行逻辑的分析，也就是说，要仔细检查表述实践结果的命题与待检验的命题之间是否确有逻辑联系，以及这种联系的意义如何。常常有这样的情况:我们想用实践来证明命题P，实践的结果Q所实际证明的并不是P而是P’，而我们却认为P已经由Q得证。这就弄错了。这种错误，有时大科学家也不能避免。巴斯德的著名实验本来并没有证明生命在任何条件下都不能由无生命的东西产生，而他却误认为证明了，就是一例。

总之，逻辑证明在检验真理过程中不是不起作用，而是起着不可缺少的重大作用。对这种作用必须充分估计。我想说明的只有一点，就是:不管它的作用多么重大，就其性质来说也还是一种辅助作用，它不是、也不能是检验真理的标准，因为在确定认识与对象是否符合这一点上，实际的“判决”者并不是逻辑，而是实践。我们说逻辑证明不是检验真理的标准，其意义正在于此，也仅在于此。

【注释】

(1)原载《哲学研究》1981年第1期。

(2)爱因斯坦:《狭义与广义相对论浅说》，中译本，上海科技出版社1979年版，第102页。

(3)爱因斯坦:《狭义与广义相对论浅说》，中译本，上海科技出版社1979年版，第102页。

(4)爱因斯坦:《狭义与广义相对论浅说》，中译本，上海科技出版社1979年版，第102页。

(5)列宁:《黑格尔〈逻辑学〉一书摘要》。《列宁全集》第55卷，人民出版社1990年版，第186页。

(6)列宁:《黑格尔〈逻辑学〉一书摘要》。《列宁全集》第55卷，人民出版社1990年版，第160页。

(7)列宁:《唯物主义与经验批判主义》。《列宁全集》第18卷，人民出版社1988年版，第135页。

(8)爱因斯坦:《狭义与广义相对论浅说》，中译本，上海科技出版社1979年版，第3页。

(9)爱因斯坦:《狭义与广义相对论浅说》，中译本，上海科技出版社1979年版，第3页。