钱学森壳体结构论文解读及科学教育思想研究

吴永礼

中国科学院力学研究所研究员

20世纪30年代，航空和航天等工业开始发展。对于飞机、航空和航天等先进的工程结构，为了减轻自重以提高结构的性能，采用薄板、薄壳、加筋板壳和组合板壳等轻型结构。这种结构中的一个突出的问题是保证结构变形的稳定性，因此，研究板壳结构在各种载荷情况下的屈曲、屈曲后的状态和承载能力问题，具有很重要的理论意义和应用价值。钱学森在这方面进行了一些工作，发表了9篇论文，每篇论文均有独特的见解，下面作一简单的介绍。

1．球壳在外压下的屈曲

（冯·卡门，钱学森，1939年12月）

A．E．H．勒夫（Love）提出的薄壳一般理论是假定小挠度，从而在能量表达式中略去了所有高于二次的项，得到了确定壳体在给定外载作用下平衡位置的线性微分方程式。薄壳的屈曲理论本质上也基于勒夫的方程。

过去，R．洛伦茨（Lorentz），R．V．索思韦尔（Southwell），S．蒂莫西尼科（Timoshenko），W．弗拉杰（Flugge），L．H．唐奈（Donnell）等曾计算过等厚度圆柱壳在均匀外压下的屈曲载荷。E．E．伦德奎斯特（Lundquist）和L．H．唐奈（Donnell）等也用实验方法研究过同一问题。

遗憾的是，计算和实验得到的屈曲载荷有很大的差别，理论值要比实验得到的结果高3至4倍之多。

为了解释这种差异，W．弗拉杰首次提出，圆柱壳假定的边界条件与实验室中实现的有偏差，而且，根据W．弗拉杰的分析，屈曲波形的幅度是逐渐增加的，一直到发生塑性变形；而实验表明，圆柱壳在外压作用下发生的破坏并不是一个渐变的过程，而是非常快的。为了降低理论的屈曲载荷，W．弗拉杰以及随后L．H．唐奈作出的另一种解释是：要考虑壳体在未受力之前形状与精确的圆柱形之间的偏离，即原始缺陷。根据他们的假定，屈曲载荷或破坏载荷取决于材料的塑性破坏。但这解释有如下缺点。首先，为了得到实验中取得的那样低的屈曲载荷，必需假定原始缺陷的大小要达到壳体厚度的10倍之多。试样形状有如此之大的偏差，肉眼就应该很容易察觉。经验也未证实这样的偏差存在。第二，圆柱壳的破坏并不一定是塑性破坏（屈服），特别当壳体很薄时更是如此。在很多情况下，人们观察到，当卸载后屈曲波形就完全消失了。因此，这样的屈曲过程一定是完全弹性的，而并非如L．H．唐奈的分析所假定的是塑性的。而且，称有原始缺陷的壳体在破坏前的变形是逐渐增加的，这也与实验所观察到的不符。

球壳在均匀外压下的屈曲也有类似的问题：实验与理论不符。对此问题尚无系统的实验结果。E．E．赛克勒和W．博兰（Bollay）在加州理工学院所作的一些实验表明，实验测得的屈曲载荷仅为理论值的1／4。

不但理论和实验得到的屈曲载荷有这样大的差别，理论预测的屈曲波形也与实验所观察到的不同。根据理论计算，同一屈曲载荷产生的屈曲可以向里也可以向外；而实验结果明显地倾向于向里。对于球壳的情况，屈曲波形局限在一个立体角约为16°的微凹区域。而线性理论预测的屈曲波形是展开在整个球面之上的。

钱学森认为，对于有曲率的壳体，有必要引进“上”屈曲载荷和“下”屈曲载荷的概念；前者由经典理论给出，后者等于使壳体在有限变形的某屈曲形状下保持平衡的最低载荷。

钱学森提出这个理论，其最本质的特点是：提出的较低屈曲载荷并不依赖于试样或载荷存在的缺陷；而先前的计算及有限变形计算破坏载荷的方法都与试样的缺陷或不对称性的假定有关，而这样的假定是有随意性的。看来，为了在实验中达到上屈曲载荷只有当制造试样和进行试验时特别小心才行。由于在工程实际中总是允许有一定的缺陷。因此，得到的屈曲载荷总是接近下屈曲载荷，从而该较低的值应定为设计的标准。

2．曲率对结构屈曲特性的影响

（冯·卡门，唐奈，钱学森，1940年）

对于有单曲率或双曲率的薄壳结构，预测其屈曲载荷，或者更确切地说，破坏载荷，是应用弹性力学领域中最令人困惑的问题之一。任何对此问题有所接触的人都注意到理论与实验结果的巨大差别。但是对于设计师们来讲，不管弹性理论能否对他们提出的问题给出正确的答案，他们的工作还得进行下去。因此，就上述薄壳结构而言，设计师们不得不依靠实验方法所测定的经验公式。但是，采用这种没有坚实物理学基础的经验公式去处理复杂的问题是有一定局限性的。因此，对于确定破坏载荷的各种相互影响因素和破坏过程的机制给出正确的描述，总是于设计师们有用的。

钱学森提出对问题症结的一些考虑。

（1）比较了有曲率和无曲率的一维和二维结构的屈曲。

（2）评述了圆柱壳屈曲的经典理论与实验观察结果之间的差别，以及能揭示破坏机制真实特点的一些研究结果。

（3）根据前两节提出的观点，讨论在实验室里观察到的、不同结构（直柱、平板、曲杆、球壳、曲板、加筋壳结构）的屈曲现象，指出柱壳经典理论的不足之处，提出圆柱壳屈曲的可视化研究，为了对圆柱壳屈曲作可视研究而设计了加载机构。

论文对于经典理论和实验中得到的破坏载荷之间的巨大差异所作的解释，与唐奈的圆柱壳薄理论有类似之处，都将初始挠度作为控制因素确定破坏载荷。但是明确指出：唐奈假定破坏是因材料进入塑性变形引起的；而论文的解释则是基于结构某些元素的非线性特点，但是还处于弹性变形极限之内。

3．圆柱壳在轴压下的屈曲

（冯·卡门，钱学森，1941年）

在文中，卡门和钱学森采用大挠度方程和更能代表实际屈曲波形（棱形波）的挠度函数，第一次得到了轴压圆柱壳在屈曲后的相当精确的挠度曲线，曲线中最有意义的是在达到临界载荷以后，为了保持平衡所需的轴向载荷急剧下降。对于已产生有限变形的平衡状态，壳体可以在大大低于临界载荷的情况下保持平衡，他们以此来说明临界载荷和实验结果的巨大分歧，并以试验机的振动说明可以触发跳跃现象。这个工作奠定了用非线性理论解决圆柱薄壳在轴压下屈曲后问题的基础。

作者在前两篇论文中已详细讨论了经典的薄壳理论不能解释圆柱壳和球壳屈曲现象的方方面面。并指出，不仅计算得到的屈曲载荷比实验值高3至5倍，而且壳体屈曲所生成的波形也与预测的不同。进一步指出，L．H．唐奈和W．弗拉杰对此所作的不同解释站不住脚，因为根据他们的解释得到的一些结论与实验结果不符。作者对球壳的理论分析结果使作者相信，一般说来，有曲率壳体的屈曲现象只能用非线性的大挠度理论才能解释。用有非线性弹性支撑的细柱的模型试验验证了这种观点。由于这类结构的非线性特点，一旦结构发生屈曲，随着屈曲波形幅值的增加，壳体维持平衡所需载荷就会迅速降低。因此，首先，当屈曲时壳体内的一部分弹性能马上就释放出来了；这解释了观察到的屈曲现象为何如此迅速；其次，正如作者在前几篇论文中的一篇所表明的，由于试样的微小的缺陷以及试验过程中的振动，也会大大降低屈曲载荷。

本文采用同样的想法研究等厚度圆柱薄壳在轴压下的屈曲问题。首先，用近似的计算再次说明随着挠度的增加，壳体的载荷是下降的。然后，根据计算的结果，更详细地讨论在实际试验机上观察到的屈曲现象。

4．带非线性横向支撑的柱的屈曲

（钱学森，1941年）

作者在薄球壳和薄柱壳的屈曲现象研究中发现：对这种结构，即使应力低于弹性极限并和相应的应变成正比，但持续的载荷不是挠度的线性函数。这个非线性的载荷和挠度关系给出完全不同于经典理论的结果。但是，这些问题因为涉及一组非线性偏微分方程，很难得到精确解。在本研究中采用的方法称为能量法，首先假设一个带一些待定参数的合理的壳挠度形状，然后用系统的应变能的一阶变分等于零来确定这些参数。虽然这个方法对所研究的情况得到了相当满意的结果，由于这些问题的新奇性，所以精确解是非常令人向往的。带非线性横向支撑的柱的实验表明，这种结构可以重现曲壳屈曲的基本特征，但是，带非线性横向支撑的柱问题比曲壳问题简单得多，绕过了数学上的困难就可以得到精确解。本文给出了柱问题的精确解。(www.xing528.com)

5．薄壳的屈曲理论

（钱学森，1942年）

本研究的目的是寻找对“经典”理论和实验之间的差异的解释。对于外压下薄球壳的情况和在轴压下薄圆柱壳的情况，发现了包含大挠度的平衡状态，比用无限小挠度的经典理论计算的屈曲载荷小得多的载荷下能够维持这个平衡状态。于是感到因为这些新发现的平衡状态紧密地接近所观察的现象，壳体必须突然地从未屈曲的形状“跳跃”到这些平衡状态，结构失效是这个突然变化的结果。但是，为什么壳体将“跳跃”到这些平衡状态而不是其他状态的原因还没有被解释。在本文中，为了确定在平衡状态中的这个突然变化，发展了包括能量水平和几何约束的新原理，用这个原理计算了球壳和柱壳的屈曲载荷，与实验很好地符合。

6．薄壳非线性屈曲理论中的下屈曲载荷（钱学森，1947年）

对于薄壳，在超出经典屈曲载荷以后，载荷P和挠度ε之间的关系经常是非线性的。例如，当均匀薄圆柱壳在轴向加载时，载荷P与端部缩短ε，假如计算应变能S和总势能φ＝S－Pε，那么可以证明：图1中的分支OC和AB相应于稳定的平衡形状，分支BC相应于不稳定的平衡形状，B点则是从稳定的平衡形状到不稳定的平衡形状的转变点。

作者在以前的论文中已经建议：应用“试验机”加载的S～ε曲线和应用“死重”加载的φ～P曲线，A点是在外部扰动下结构屈曲的临界点。与A点相应的壳的未屈曲形状的载荷被称为壳的下屈曲载荷，从A点到曲线BC的垂直距离是造成在A点屈曲所要求的最小外界激励。

但是，假使外界激励是大的，那么屈曲为什么不能直接在B点下的B′点发生就没有理由了，因此，所要求的最小外界激励由距离B′B所表达的能量给出，这个能量实际上是屈曲时结构吸收的。因为曲线BA表示屈曲后的结构的最终状态，为了在B′和A之间发生屈曲吸收了能量。在A和C之间发生屈曲则释放了能量，但是无论如何，屈曲载荷的下限肯定由B′点给定，而不是A点。因此，下临界屈曲载荷将是与B′相应的载荷P。

参考前面所述论文的图，假设四方形波，均匀薄圆柱壳在轴压下的下屈曲应力由下式给定，对于试验机加载：

σ＝0．42Et／R

对于死重加载：

σ＝0．19Et／R

在以前建议的准则中，对这两种情况所相应的值分别为σ＝0．46Et／R 和σ＝0．298Et／R．

图1

7．黏弹性介质Alfrey定理

（钱学森，1949年）

对于在应力、应变和它们对时间的导数分量之间为线性关系的各向同性不可压缩黏弹性介质中的不均匀应力，阿尔弗雷（Alfrey）已经证明：在第一类边值问题情况下，应力分布与在相同瞬时表面力情况下不可压缩弹性材料的情况相同。对于在边界上指定位移的第二类边值问题，可以得到相似的结果。

本文的目的是把这个定理推广到包括体力的各向同性不可压缩介质，只讨论第一类边值问题，同样，第二类边值问题相应的定理也是如此。

8．快速加热应力薄壁圆柱壳的相似律

（钱学森，郑哲敏，1952年）

当均匀厚度的薄壁圆柱壳被壳体中流动的高压热气体迅速加热时，材料的温度从内表面的高温急剧地降低到外表面的环境温度，因此，材料的杨氏模量也随之变化。本文的目的是将这样的圆柱壳的应力分析问题变换为在壁中没有温度梯度的一般圆柱壳的等价问题。等价概念表达为一系列热圆柱量和冷圆柱量之间的关系式。这些关系式给出了相似律，借此，可以简单地从冷圆柱上测得的应变推导出热圆柱上的应变，从而极大地简化实验应力分析问题。

固体推进火箭的圆柱在短的运行时间内受到非常快的加热。在薄壁圆柱壳的壁中温度虽然在每个截面上是近似地相同的，但是是非线性的。这种情况在推进器药柱燃烧结束时最为严重。从材料工程师的角度来看，这种情况不同于其他加热的时间速率，它的速率如此之大，以致在材料的结构中发生可以看到的变化而不允许有足够长的时间。在这种运行条件下壁材料的强度完全不同于缓慢加热的情况。R．L．诺兰（Noland）在最近的一篇论文已经明确地证明这个事实。从应力分析的角度来看，由于大的温度梯度而造成沿壁厚有非常大的热应力和变化的材料杨氏模量，使固体推进火箭圆柱的合理设计将复杂化。此外，由于短的试验时间和高的温度，在实际燃烧试验中的应力的确定也是非常困难的。

正是由于上述原因，现在用可行的合理的方法分析的只有一种情况，就是均匀内压下的火箭圆柱。由斜喷嘴造成的弯曲应力，因端部封闭、安装把手等所引起的应力只能用非常粗略的方法来估计。本文提出一个方法来改善这个情况，这个方法就是把热圆柱壳的一般应力问题归纳为等价的冷圆柱壳问题。这个等价的问题可以用惯用的方法分析或用实验应力测量来直接确定。无论那一种选择，问题将极大地简化了。在热圆柱壳和冷圆柱壳之间的这个等价定律称为相似律。

9．受热应力机翼的相似律

（钱学森，1952年）

飞机以超声速飞行引起的高滞止温度造成飞机表面严重的气动加热。例如，在凯（Kaye）的最近论文中，计算了加速飞行时楔形固体机翼上的瞬态温度分布，发现它们随机翼上的空间和时间迅速变化。当在材料中有大的温度梯度时，由于材料的不均匀热膨胀，一般有大的热应力，因此，与严重的气动加热同时，有确定机翼中的热应力问题。本文的目的是提出计算这种加热机翼中应力的方法。

应力分析的出发点是机翼中的温度分布，因为与材料中变形的响应时间相比，温度的变化要慢得很多，应力计算可考虑为准稳态问题。即机翼中每一时刻的应力可以从这一时刻的温度分布来计算，而不必考虑由变化的应力和热膨胀系数所要求的材料位移的时间变化的惯性效应。因为机翼是薄的，因此薄板弯曲的柯克霍夫（Kirchhoff）假设成立，在一般的弹性理论中，这个问题将大为简化。事实上，不久以前，纳达（Nadai）已经处理了弹性薄板中的热应力问题。本研究在两个方面推广了这个理论：板的横截面上线性温度分布的Nadai假设不再必要了，现在温度分布是任意的，第二，材料的杨氏模量E可以作为温度的函数而变化，因此，在本理论中可以考虑杨氏模量随温度的升高而减小的效应。

本文的主要目的并不是构造受热板的理论，主要目的是应用理论来给出相似律的表示式，由此，可以在不加热的室温情况下，用恰当的比例和恰当的加载机翼上进行一组试验来解热机翼的应力问题。作者以前已探讨过薄壁圆柱的这个相似律概念，相信处理受热机翼应力问题的这个途径比纯分析解有很多实际的优点。