应用数学瑰丽华章，科学与教育思想研究

钱学森的《Poincaré－Lighthill－Kuoo方法》浅析

戴世强

上海大学上海市应用数学和力学研究所教授

1956年钱学森先生在著名力学刊物《应用力学进展》（Advances in Applied Mechanics）上发表评论文章“庞加莱－莱特希尔－郭永怀方法（Poincaré－Lighthill－Kuo method）”，这是他一生的著述中唯一的一篇专门阐述应用数学方法的论文。我认为，此文集中地表现了他的深厚的数学根底，充分地体现了他的技术科学思想，至今读来仍回味无穷。这里对这篇传世之作进行简单剖析，让我们一起来领略钱学森先生作为应用数学和力学家的风采。

写作背景

1950年，钱学森先生遭到美国麦卡锡主义迫害，一度入狱，保释之后的五年间，一直处于“监视居住”的状态，失去了行动自由。幸亏有夫人蒋英照料，在家里安排了差强人意的科研环境。在此期间，钱学森被迫与军事科研“绝缘”，先后进行了工程控制论、星际航行、物理力学和应用数学等基础研究。

《庞加莱－莱特希尔－郭永怀方法》，以下简称《PLK方法》就是那一时期的产物。钱学森先生在《写在＜郭永怀文集＞的后面》中说：“1953年冬，他（郭永怀）和李佩同志到加州理工学院。他讲学；我也有机会向他学习奇异摄动法。”尽管钱先生当时的心情很坏，还是在短时间里掌握了PLK方法的精髓，并写出了他在美国发表的51篇科学论文中这篇唯一的应用数学方法方面的论文。

主要内容

懂得渐近分析的人都知道，PLK方法，亦称为变形坐标法，是一种简捷、有效的奇异摄动法。发端于1886年庞加莱的《天体力学新方法》，经莱特希尔（1949）和郭永怀（1953）的二度创造，形成了目前的形式，在力学、物理学和其他领域中得到了非常广泛的应用。

钱学森先生首次对这一方法进行了全面综述（参看文献［1］），全文目录如下：

I．引言

　1．发展历史

　2．简单例子

　3．PLK方法的基本特性

II．常微分方程

　1．一阶方程

　2．q0＞0的情形

　3．q0＝0的情形

　4．q0＜0的情形

　5．要求采用边界层方法的方程

　6．二阶方程

　7．非正则奇点

　8．组合方法；黏性气体的汇流

III．双曲型偏微分方程

　1．推广到双曲型方程

　2．远离点源的行进波

　3．行进波解

　4．满足初始条件的一致有效解(www.xing528.com)

　5．利用精确特征线的摄动

IV．椭圆型偏微分方程

　1．PLK方法应用于薄翼问题时的失效

　2．出现困难的可能原因

V．在流体边界层问题中的应用

　1．平板边界层

　2．二阶解

　3．坐标变形带来的零阶解的改进

　4．超音速流中的边界层

VI．结束语

参考文献

论文剖析

下面就这一论文的构思铺陈作概略描述。

钱学森先生在引言中概述了PLK方法的发展简史：庞加莱的创见；莱特希尔的发展；郭永怀的贡献；方法命名的由来。接着，举了一个非常简单的一阶常微分方程的例子（我在讲授渐近分析课程时称之为“钱学森例子”），说明用PLK方法居然得到了问题的精确解，这就一下子吊起了读者的胃口；随后，趁热打铁，阐述了此法的特点：简捷、有效、灵活、“傻瓜”，当然，文中没有用“傻瓜”一词，却的确说了此方法很容易为工程师们接受和运用。这是钱学森所有著述的一个“共性”：他始终惦记着工程师们，想方设法把深奥的理论和原理讲得工程师们也能弄明白。

在第二节中，钱学森熟练地运用归纳推理的过程，从分析有代表性的实例入手，引用了与他同时代的数学家沃森（Wasow）提出的模型方程进行解剖，讲明：求解此方程时应用经典摄动法时遇到的奇性困难；采用PLK方法如何使问题迎刃而解；对三类情况进行了细致的余项估计（误差估计）；然后，用PLK方法求解了一个较为简单的空气动力学问题（即莱特希尔例子）。随后，作者话锋一转，谈到PLK方法遇到的“边界层困难”，即方法的局部失效，并讲了一个黏性气体汇流的实例（即吴耀祖例子），说明PLK方法应与边界层方法结合的妙处，为后来讲述郭永怀的贡献做了铺垫。

论文的第三、四节是全文的核心。钱学森仍用一个简单的例子说明用摄动法求解双曲型方程的“远场困难”，并指出，这是由于问题线性化之后的特征线变形造成的，因此，必须用PLK方法进行特征线变形，恢复事物的本来面目；在分析过程中，与前一节的常微分方程情形进行了类比；通过细致的讨论，使人们对此法的认识渐入佳境，并顺水推舟地求解一个球面爆炸波的问题，让大家感受此法的魅力；进入第四节，作者又“泼了一盆冷水”，指明PLK方法求解薄翼问题失效，对椭圆型方程似乎难以发挥其功效，再次为郭永怀的创造做了铺垫。

论文第五节专门叙述郭永怀的工作。还是从最简单的不可压缩流体的平板边界层流动谈起，简介了边界层理论，然后指出了用PLK方法求高阶解时遇到的奇性困难；然后叙述郭永怀如何把莱特希尔的方法与边界层方法结合起来，求得了较为理想的解。钱学森特别指出，两者的有机结合是一种“乘法”，而非“加法”，所作的阐释令人信服；最后，简要地说明了郭永怀已将PLK方法用于更为复杂的可压缩流动中激波与边界层的干扰问题。

在第六节的结束语中，钱学森指明了两点：一是PLK方法是一种非常简捷有效的渐近方法；二是，关于PLK方法的有效性分析还有很多工作要做，它在数学上有一些不确定性，但是，这并不妨碍它的实际使用，只要用心检验结果就行了。全文结束时，作者引用著名的应用数学家、运算微积的发明者希维赛德（Heaviside）的话：“我难道要因为不完全了解消化过程而拒绝进餐吗？”这是画龙点睛之笔，为这篇长文增添了最后一道亮色。这实际上也代表了钱学森先生对发展应用数学方法的态度。

论文亮色

总体来说，这篇论文充分体现了钱学森先生的科技论文写作风格。这就是：

（1）重视应用背景，善于从实际应用中提炼问题，分析问题，解决问题，阐明问题。在阐述数学方法时，非常注意其可用性，经常站在工程师的立场，考虑能否被他们接受并运用；

（2）采用归纳手法，由浅入深，由简入繁，引人入胜地描绘了这一应用数学方法，使得有一般数学基础的理工科学人就能读懂；

（3）结构严谨，层次清晰，文字优美，行文流畅，使得读者在不知不觉中领略了PLK方法的特色与精髓。

这篇论文问世之后，PLK方法开始在世界范围内普及，坐标变形理念为人们广泛接受，并载入很多有关渐近分析的教科书和专著中。笔者三十多年来，曾反复捧读这一论文和庞加莱、莱特希尔和郭永怀的原著，从中得益匪浅，并在自己的几十篇论文中做了应用和发挥。

我认为，这篇论文是应用数学领域中的瑰丽华章，从中可以看到钱学森先生这位大师非同凡响的智慧。在科技领域，他是一位文武双全的勇士，我们应该用心地向他学习。

参考文献

［1］钱学森，钱学森文集，上海交通大学出版社，2011。