初等数论教学改革探索及新做法

浅谈“初等数论”课程中的几点新做法

刘　翔

(信息工程大学电子技术学院二系，河南郑州450004)

摘　要　本文分析了“初等数论”课程的教学特点，从课程内容的安排等五个方面着手，介绍了在教学实施过程中的几点新做法，为“初等数论”课程教学改革提供了有益的思考和探索。

关键词　初等数论;教学改革;新做法

根据院训练部研究生办和教研室的安排，本学期笔者承担了2009级硕士研究生“初等数论”课程的主讲任务。本课程是密码学、应用数学、军事通信和微电子与固体学专业的一门选修课(50学时)，使用的教材是北京大学出版社出版的潘承洞、潘承彪编著的《初等数论》(第二版)。本课程旨在为上述四个专业的研究生进一步研究现行密码体制，特别是公钥密码体制，提供必须的数学理论基础。

一、教学班次基本情况的科学分析

(一)学员组成

此次选修本课程的学员为密码学、应用数学、军事通信和微电子与固体学专业的2009级硕士研究生，共8人。具体人数分布如表1。

表1　各专业选修“初等数论”课程人数统计

其中，微电子与固体学专业学员是首次选修本课程。以上8名学员有4人来自我院应届本科毕业生，3人是由部队单位通过强军计划考入学院的，1人是由地方大学国防生考入我院继续学习深造。

(二)学员特点

学员特点相当明显，主要表现为:(1)眼界开阔，具有较扎实的基础;(2)勤于思考，具备良好的自主学习能力;(3)学习目的明确，敢于表达自己的思想。例如，军事通信和微电子与固体学专业的4名学员就曾明确表示，选修本课程的目的就是为了掌握与RSA公钥密码体制相关的数学知识和设计原理，为下一步的研究和应用进行理论铺垫。

(三)主要问题

由于学员来源的多样性，也暴露出一些问题，其中最主要的问题是:学员的数学基础参差不齐。如密码学专业的3名学员在本科阶段就已初步学习过“初等数论”，但内容偏重理论，涉及应用的内容较少，尤其是与密码学联系的内容几乎没有涉及。而其他专业学员的本科阶段不但没有学习过“初等数论”，就是与数学相关的课程也没选修过几门。

二、教学实施过程的几点新做法

为配合“具有厚实的科技底蕴、精深的专业知识、善于学习新知识的能力，能够掌握科学方法论，开阔眼界和思路、突出创新能力的培养”的研究生培养目标，结合“初等数论”课程的教学改革，在此次教学的具体实施过程中，笔者通过对以下几个方面的精心设计和巧妙结合取到了较好的教学效果，顺利圆满地完成了既定的教学目标，部分地实现了“四个转变”，即教育理念向能力为本转变，教学内容体系向有利于通识教育转变，教学方法向“启发式”“研究型”的转变，教学组织模式向课内外有机结合转变。具体做法如下:

(一)教学内容的精心编排

针对学员的特点，特别是考虑到学员的数学基础参差不齐的问题，在承担教学任务之初笔者就为教学内容的选定颇费了一番心思。一方面，如果选定的内容过于基础，与本科内容重复度过高的话，对于3名密码学专业的学员而言，就不可能产生浓厚的学习兴趣;另一方面，如果选定的内容都是较高的应用层次的内容，不讲或少讲基础理论内容，则对其他专业的5名学员而言，会带来学习的困难，直接导致学习兴趣的减退，甚至产生厌学情绪。为兼顾教学大纲和学员的具体情况，经过与课程组的其他教员的商讨，笔者从初等数论在实际问题的应用入手，由浅及深地讲解基础定义、性质、定理;再结合“密码学”课程的部分内容，深入讲解这些基础理论在密码编码、密码分析及密码体制环节设计中的具体应用，内容编排具体见表2和图1。

(二)课堂教学的深刻优化

依托“初等数论”的课程建设，在教学导师的指导下，笔者对每一堂课的引入、承接、递进、转折进行了深刻地优化，这一过程不但使课程的体系更加清晰，内容丰满完整，也使得个人的课堂教学水平有了较大的提高。

表2　“初等数论”(硕研)课程教学内容编排表

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图1　“初等数论”(硕研)教学内容学时安排

以讲解二元一次不定方程为例。第一步，在简要回顾了整除理论相关知识后，以著名的“百钱百鸡”问题引出二元一次不定方程的概念;第二步，就二元一次不定方程在什么情况下有整数解进行分析，进而给出有解的判定定理，并引导学员对求方程特解的方法进行归纳;第三步，通过给出“百钱百鸡”问题的两组特解，启发学员思考二元一次不定方程特解与通解的关系，以及特解表现形式的“内在统一性”，并引导学员对求方程通解的方法进行归纳;第四步，通过分析上述方法的局限性，给出改进的求解方法，并推广到多元一次不定方程之上;第五步，利用“百钱百鸡”问题的具体解，引导学员思考一般的二元一次不定方程的非负整数解和正整数解的问题;第六步，小结二元一次不定方程的有解条件和具体解法，启发学员将已有结论推广到多元一次不定方程的有解判定和求解问题上。

此外，在课堂授课过程中还鼓励学员即兴提问，通过这一手段，不但活跃了课堂气氛，取得了较好的教学效果，受到了学员的欢迎，而且在潜移默化中将传授知识和传授方法、教员讲授和学员研讨、讲解基本理论和解决现实问题有机地结合起来了，有效地激发了研究生学员的求异思维和求新热情，从而使得学员的创新精神和能力得到了培养。

(三)教学模式的巧妙设计

在以往的教学中，常以教为主体，“满堂灌”、“照本宣科”，这样不可能充分发挥学员学习的主动性，更谈不上让学员主动思考。所以，在此次教学实施过程中，针对授课对象是有较强自主学习能力的研究生，笔者始终坚持“教为主导、学为主体”，利用启发式、研究型教学来引导学员主动学习和主动思考，多次发现一个巧妙的教学模式的设计往往能起到意想不到的教学效果。

例如，笔者所设计的“翻硬币”的小游戏加深学员对奇偶数的理解和应用;所设计的“买香烟”的智力题加深学员对所学不定方程的相关知识的应用;所设计的“巧称物”、“截金条”的智力题加深了学员对完全剩余系的理解和实际应用;等等，而在整个过程中，笔者将数学建模的思想有机地融合进来，从问题的提出—问题的分析—问题的抽象—相关知识的讲授—问题的解决—答案的实际解释等环节，引导学员逐渐培养起对实际问题主动思考和主动学习新知识的习惯，使学员运用数学解决实际生活工作中遇到的问题的能力得到了一定程度的提高。

在教学实施中，笔者还坚持“教为主导、学为主体”，以讲授Wilson定理为例。教材中在讨论模m简化剩余系中全部元素之积模m的剩余时，只对m= 1，2，4，p^α，2p^α，α≥1，p为单质数，这五种情况进行了讨论，给出了Wilson定理，但是对这五种情况之外的其他情况没有进一步地讨论，如果只是简单地处理成由学员自行研究，难度较大，不利于学员对重点知识的理解和掌握。于是，笔者将这个问题设计成课堂讨论，先让学员将他们对问题的初步研究思路提出来，然后指出研究思路上“共性”问题，再结合自己在该问题上的研究成果引导学员逐步解决问题。最后，将与Wilson定理研究对象相似的Wolstenholme定理提出，并对定理巧妙的构造性证明方法进行重点讲解，使学员对构造性证明的设计和运用有了新的认识和提高。

(四)教学手段的有机结合

在教学过程中，笔者合理运用各种教学手段，既注重利用传统的板书推演重点和难点内容，也注重多媒体技术在课堂教学中的有机结合，特别的，还在多处内容中加入了国内外最新研究成果的介绍，例如讲授Euler函数时，先利用板书推导出具体的Euler函数计算公式，然后引导学员思考计算公式与“大数分解”困难问题之间的关系，再利用PPT课件对常用的“大数分解”概率算法和国际上最新研究成果进行介绍，从而更有效地展现教学思维、逻辑推导和知识衔接的过程，大大地提高了课堂教学效率和效果。

笔者在综合考虑授课内容和讲解方式等方面的因素，具体的各章节使用传统板书和多媒体课件的课时安排如表3所示。

表3　两种教学手段时间分配表

(五)考核方式的多渠道组织

一个合理的考核方式应该全面考察学员的综合素质，以及运用知识解决实际问题的能力。在考虑到学员的特点，本课程考核方式定为由“开卷考试+自主阅读+课堂表现”构成，采用百分制，三个部分占总成绩的比率分别为: 60%、30%、10%，各部分具体要求及评分规则如表4所示。

表4　考核方式的具体要求和评分规则

三、结束语在教学实施过程中，通过以上做法，大大激发了学员的“学数学，用数学”的热情，学员自主学习的能力得到了提高，创新思维和创新能力得到了锻炼，取得了良好的教学效果。但在实际实施中也暴露出一些问题需要进一步思考，譬如，如何更有效地体现学员在讨论中的主体地位，如何更合理的安排授课内容等，相信这些问题将随着“初等数论”课程教学改革的不断深入而逐渐解决，最终达到“初等数论”课程“讲精、精讲”的目标。

参考文献

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