物理现象：双节混沌摆的运动不确定性

双节混沌摆

Double Chaos Pendulum

一个由确定性理论描述的系统，即使是一个低速、宏观的力学系统，由于其动力学规律存在着非线性特性，其运动行为也会表现为不确定性，即不可重复且不可预测性，这就是混沌现象。所谓在南美洲亚马孙河流域的一个蝴蝶抖动了一下翅膀，有可能会因此在北美大陆引起一场风暴的传说，讲的就是这种不可预知性。混沌是非线性动力系统的固有特性，混沌现象在非线性系统中普遍存在。只有线性系统才可以用牛顿的确定性理论来做出预测，但自然界中完全的线性系统是不存在的。所谓的线性系统也只是由非线性系统简化而来的。因此可以这么说，在现实世界中混沌将是无处不在的。

本演示实验就是利用一个常见的力学双节混沌摆，来展示其运动的不确定性，即使两次初始值相差甚微，经过一段时间的运动后，其运动结果也会截然不同。

实验装置

混沌实验演示仪。

图1　双节混沌摆演示仪

现象观察

用手将混沌摆的双臂连接点升至最高点后释放，观察双杆的摆动。重复多次，可以发现双杆的摆动呈现“混乱、无秩序”的特点，即出现了非线性系统中的混沌现象。

即使两次初始值相差甚微，一段时间后所发生的运动竟会截然不同，运动对初始值的差异表现得非常“敏感”。多次重复实验后你会发现，尽管你努力使摆的初始位置保持“不变”，但是放手一段时间后摆动的情况将无一次相同，而且是非常之不同。

如果用相同的两台混沌实验仪来做对照演示，这个现象就会更加直观明显。

现象解密

如果描述一个动力学系统运动状态的动力学方程是线性的，则只要初始条件给定，就可以预见以后任意时刻该系统的运动状态，这就是通常我们所说的确定性。但如果描述其运动状态的动力学方程是非线性的，大量的研究表明，即使是宏观低速的系统，其以后的运动状态也会有很大的不确定性，初始条件的细微差异会导致结果的巨大不同！其运动状态对初始条件具有很强的敏感性，具有内在的随机性。

本演示系统是一个非线性系统，一个很小的扰动，就会引起很大的差异，导致不可预见的结果，出现称之为混沌的现象。对初值的极端敏感性，以及对结果的不可预测性是混沌的基本特征。混沌是继不动点、周期循环、拟周期运动之后，另外一种新类型的运动，即回复性非周期运动。混沌通常被认为是确定的、耗散的非线性动力系统中无序的、不可预知的运动过程。

混沌摆的主摆和副摆运动时将互相影响和制约，因而使整个系统出现明显的非线性物理特征，其运动变得无法预测。即便多次重复操作，使系统获得几乎相同的初始条件，但是其后的运动状态都会表现出明显的差异，呈现混沌无序。

对混沌现象，我们可以在系统非线性动力学方程的基础上，用计算机进行模拟分析，目前这是物理学和数学研究的热点之一，已经有很多学者做了大量卓有成效的工作，积累了很多的研究成果。

应用拓展(www.xing528.com)

1972年12月29日在美国科学发展学会第139次会议上，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹提出一个惊人的假设：在南美洲的巴西，一只蝴蝶翅膀的拍打有可能在美国产生一个龙卷风，并由此提出了一个观点：长时期的天气预报是不可能准确的。混沌学由于它的变幻莫测，人们对它表现出持续的、浓厚的兴趣，即使是在40年后的今天，它仍然是物理学和数学研究的一个热点课题。

人们在研究磁阻尼混沌摆的运动中发现，对无驱动、无阻尼的保守系统，当摆角不是很大时，它将以一个确定的频率做简谐振动。给定一个初始状态以后，系统保持能量守恒，在等能面上运动。其动力学相图如图2所示。

图2　保守系统的动力学相图（a），角速度时序（b）和角速度功率谱分析（c）图

图3中α为无量纲的调节参数，Ac为驱动振幅，m为阻尼系数。当有外部策动力和阻尼存在时，该系统将成为耗散动力学体系，此时系统表现出许多复杂的动力学性质。当系统动力学状态处于弱非线性情况下时，系统会出现准周期运动。其相图演变成如图3所示。

图3　a=3，A_c=0.5，m=0.01条件下的系统相图（a），角速度时序（b）和角速度功率谱分析（c）图

图3中a为无量纲的调节参数，A_C为驱动振幅，m为阻尼系数。当非线性程度继续增大，系统便进入混沌状态。其动力学特征主要表现为运动状态对初值的敏感依赖，功率谱没有明显周期峰而呈噪声状，相图上表现出分形维数的奇怪吸引子几何形状。图4将是此时的系统混沌解相图。

图4　a=0.07，A_c=1.8，m=0.01条件下的系统相图（a），角速度时序（b）和角速度功率谱分析（c）图

“本节部分内容选编自：朱桂萍，王健.混沌摆系统的动力学分析和数值模拟.扬州大学学报，第11卷第3期（2008年8月）p27-34

非线性物理问题在理论研究中会面临很大的数学困难，所以在早期的研究中，每一个研究结果就是一个“手工工艺品”，非常珍贵和稀少。但伴随计算机等技术的飞速进步，这种局面已经得到了根本的改善，非线性科学已发展成为一门影响深远、发展迅速的前沿科学。

思考题

1.非线性物理现象是广泛存在的，你是否能列举一些？

2.天气预报为什么在远期就很难进行？

3.孤立子现象也是非线性物理中的一个重要现象，你能通过阅读，说出孤立子波的特点和混沌的关联吗？