陀螺仪的进动性和稳定性探索

刚体的进动

Precession of Rigid Body

法国物理学家傅科（1819—1863）在1850—1851年间研究地球自转时发现，高速转动中的转子由于惯性作用，其旋转轴永远指向一固定方向，他将这种仪表命名为“陀螺仪”。建立在角动量守恒定律下的稳定性和进动性是陀螺仪最主要和最基本的特性。比如我们大多数人在童年时都玩过的地陀螺，高速旋转的陀螺可以保持与地面垂直而竖直不倒，这就反映了陀螺具有很好的稳定性。

实验装置

进动回转仪如图1所示。它由金属支架、转轮、横杆、平衡重物等组成。横杆为转轮的自转轴；平衡重物由砝码的增减来调整；横杆支承在金属支架上，并可在竖直方向（上下）与水平方向（左右）绕支点转动。

图1　进动回转仪

现象观察

1.刚体的定向转动

恰当增减作为平衡重物的砝码数量，把回转仪调节成平衡状态。左手握住横杆使其保持稳定的水平状态，右手连续用力驱动转轮，使转轮达到较高的转速。松开双手后，可观察到转轮的转轴方向保持不变，处于刚体的定向转动状态。

2.逆时针进动和章动

使转轮停止转动，恰当减少作为平衡重物的砝码的数量，改变它对横杆支点的力矩，在转轮重力矩作用下系统向转轮端倾斜。

左手握住横杆使其保持稳定的水平状态，右手连续用力驱动转轮，使轮达到较高的转速。松开双手后，可观察到横杆并不倾倒，而是绕支架沿水平方向逆时针向内慢慢转动，即产生了进动。横杆在进动过程中，还会出现微小的上下周期性摆动，即产生了章动。

3.顺时针进动和章动

使转轮停止转动，恰当增加作为平衡重物的砝码数量，改变它对横杆支点的力矩，在砝码重力矩作用下系统向平衡重物端倾斜。

左手握住横杆使其保持稳定的水平状态，右手连续用力驱动转轮，使轮达到较高的转速。松开双手后，可观察到横杆并不倾倒，而是绕支架沿水平方向顺时针向外慢慢进动。横杆在进动过程中，也会出现微小的上下周期性章动。

现象解密

转动刚体的进动效应可用角动量定理解释：

设转轮按图2中的方向转动，转动惯量为J，自转角速度为ω，则其自转角动量L为

(www.xing528.com)

图2　进动回转仪转动方向示意图

L的方向沿横杆指向转轮，如图2所示。设横杆向转轮一侧倾斜，受到对支点的合外力矩（重力矩）为M，M的方向沿水平方向垂直横杆向内。

根据角动量定理，在dt时间内转轮对支点O自转角动量L的改变量为

dL的方向与重力矩M的方向一致。在重力矩的作用下，角动量矢量沿垂直于横杆的方向发生了改变，由此形成进动。

在dt时间内，进动转过的角度为

进动角速度为

由式④可见，进动角速度Ω与外力矩M成正比，与回转仪的自转角动量L成反比。因此，在外力矩为零时，刚体不进动；在回转仪转轮转动惯量J或自转角速度ω很大时，进动角速度Ω较小；反之，在J或ω变小时，Ω就增大。

回转仪进动的同时，它的头部还在做着微小的上下周期性“点头”运动，这种运动称为章动。章动的效果是使回转仪的重心保持在低于起始点的水平上，由此释放出来的势能提供进动和章动所需的动能。地轴也存在着章动，地轴的章动是英国天文学家布德雷在分析了20年的观测资料后于1748年发现的。地轴章动的周期是18.6年，我国古代历法将19年称为一章，这就是章动这个中文名称的由来。

应用拓展

利用陀螺的力学性质所制成的各种功能的装置称为陀螺仪，被广泛应用于航空、航天和航海等领域。陀螺仪的种类很多，按用途可以分为传感陀螺仪和指示陀螺仪。传感陀螺仪用于飞行体运动的自动控制系统中，作为水平、垂直、俯仰、航向和角速度传感器。指示陀螺仪主要用于飞行状态的指示，是驾驶和领航仪表的主要组成部件。

现代的陀螺仪则分为压电陀螺仪、微机械陀螺仪、光纤陀螺仪、激光陀螺仪等，这些都是电子式的陀螺仪，可以和加速度计、磁阻芯片、GPS等做成惯性导航控制系统。

思考题

1.观察进动时转轮转速与进动快慢的变化关系，验证（4）式的结论。

2.转轮自转方向不变，当平衡重物增加或减少时，判断横杆的进动方向，并通过实验验证你的判断。

3.改变转轮的转动方向，判断横杆的进动方向，并通过实验验证你的判断。

4.刚体的定向转动及进动等现象有何实际的应用价值？

5.分析实验中摩擦力的作用，其力矩能否对角动量进动产生影响？