乡村聚落的分形形态研究及量化方法

继续以杜甫村为例探讨聚落公共空间的形态。前文将公共空间从聚落中单独解析出来以后，得到一个支离破碎而又略带有一定结构性特征的聚落公共空间的平面图斑(图3.12)。对于破碎化图形的形态描述，分形几何学为之提供了启示。

图3.12　杜甫村的聚落公共空间图斑

(资料来源：作者自绘)

(1) 分形理论概述

分形理论由美国科学家B.B.Mandelbrot于20世纪70年代中期创立[10]，在此理论基础上发展出一种非欧几何，即分形几何学。所谓分形，原意为破碎和不规则，用以指那些与整体以某种方式相似的部分所构成的一类形体，其基本特征是自相似性(Self-similarity)，其大小难以用一般测度(如面积、长度、体积等)来度量，需要通过分形维数(Fractal Dimension，简称分维)来描述其形态特征。

到目前为止，分形还未形成一个严密的定义。Mandelbrot于1982年提出，如果一集合在欧氏空间中的Hausdorff维数DH恒大于其拓扑维数DT，即DH＞DT，则称该集合为分形集，简称为分形。这一定义并不严格，它排除了一些不具备上述条件，但是也有明显分形特征的集合。于是，Mandelbrot于1986年又提出，组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。这个定义突出了分形的自相似性。这一观点很受实验科学家的欢迎，但也有学者认为自相似性不能概括分形的全部属性。分形几何学家Falconer给出了分形的基本特性，他认为如果某一集合F具有下列所有或者大部分性质，它就是一个分形集：① F具有精细的结构，即有任意小比例的细节；② F是如此的不规则，以至于它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述；③ F通常具有某种形式的自相似性，可能是近似的或是统计的；④ F的“分形维数”(以某种方式定义)一般大于它的拓扑维数；⑤ 在大多数令人感兴趣的情形下，F可以由非常简单的方法来定义，可能由迭代产生。[11]

分形几何分为线性分形与非线性分形两类，而前者又分为有规分形与无规分形两类[12]。有规分形指严格满足自相似条件的分形，也称为数学分形，是一种理想情况，必须具备两个条件：首先必须具有无穷的层次结构，其次是任何一个局部放大后，都和整体完全相似。Koch曲线就是典型的有规分形(图3.13)。但是自然界的许多事物和现象表现出极为复杂的形态，比如频繁演变的海岸线(图3.14)、变幻莫测的布朗微粒运动轨迹等，不是数学分形所显示的那么理想化，自相似性往往以统计方法表示出来，即当改变尺度时，在该尺度包含的部分统计学的特征与整体是相似的。这种分形是数学分形的一种推广，称为统计分形或无规分形[13]。

(2) 分维概述

维数是几何对象的一个重要特征量，是为了确定几何对象中一个点的位置所需要的独立坐标的数目，或者说独立方向的数目。欧氏几何中的这种维数是拓扑维，整数维数构成了欧氏几何的法则：点的维数是零，线的维数是1，面的维数是2，空间的维数是3。一个d维几何对象的每一个独立方向，都增加为原来的l倍，结果得到N个原来的对象，于是ld=N，两边取对数，写成：

(资料口源:张济忠.分形[M].北京:清华大学出版社,1995:85.)

图3.14　用多边形近似去测量海岸线
(左边多边形边长为100km,右边为50km)
(资料口源:陈颙,陈凌.分形几何学[M].北京:地震出版社,2005:55)

d=

上式的拓扑维d在欧氏几何中都是整数，但若将公式作为维数的定义，对其不加以取整数的限制，推广定义的维数称为分维，用D表示：[14](www.xing528.com)

Ds=

上式即为最易理解的相似维数(Similarity Dimension)[15]。图3.13中的三次Koch曲线，由于N＝4，l＝3，相似维数：

Ds==1.261 8

无论分形的生成机制和构造方法多么不同，它们都可以通过分维这一特征量来测定其不平整度、复杂度和卷积度，描述分形集的不规则度和破碎度。因而，分形维数是贯穿分形理论的主线[16]。

由于分形理论正处于发展阶段，因而往往笼统地把取非整数值的维数统称为分形维数。至今，数学家们已经发展了多种不同的维数，相似维数、Hausdorff维数、信息维数、关联维数、容量维数、谱维数、填充维数、分配维数等。[17]

(3) 分形的主要应用

目前分形理论广泛运用于数学、物理学、化学、生物学、地球物理学、天文学、材料科学、地质科学、水文科学、气象科学、地震科学、计算机图形学、经济学、语言学与情报学等各个学科领域[18]。

在地貌学领域，基于分形理论的研究主要集中在海岸地貌、喀斯特地貌、流水地貌等方面。艾南山、李后强研究了分形地貌(主要是流水地貌及地貌的分形模拟)并提出了分形地貌学的概念，以分形理论为基础对地表现象进行了描述，并以分数维为中介参数建立地貌现象与其内部机制之间的联系[19]。

在景观生态学领域，通过分形方法揭示斑块及斑块组成景观的形状和面积大小之间的相互关系，反映了在一定的观测尺度上，斑块和景观格局的复杂程度[20]。

在城市规划领域基于分形理论的研究方兴未艾，普遍认为分维是反映空间现象的重要参数。早在1985年，英国著名学者Batty和Longley就用分形结构来模拟伦敦的空间结构，到1994年，两人合著了《分形城市》(Fractal Cities: A Geometry of Form and Function)；同年，法国学者Frankhauser出版法文专著《城市结构的分形性质》(La Fractalitédes Stuctures Urbaines)。这两部专著为分形理论在城市研究中的应用开创了历史[21]。国内的分形城市研究主要集中在城市规模分布[22]、城市体系空间结构[23]、城市形态[24]、城市化评价[25]、土地利用[26]、交通网络[27]等方面。陈彦光总结了分形城市的研究框架、内容、方法，提出了分形城市包括宏观、中观和微观三个层次的研究：宏观是指分形城市体系；中观是指城市形态分形；微观是指城市建筑分形；至此，分形城市的概念框架逐渐成形[28]。

在建筑学领域，也开始了分形理论的研究。1995年，美国数学家、建筑理论家Nikos A. Salingaros发表了《一个物理学家眼里的建筑法则》(The Laws of Architecture from a Physicists Perspective)，将复杂理论、分形理论、热力学理论的研究成果引入建筑学，认为不仅建筑需要足够的尺度分级，而且各尺度之间应该按照一定的数学规律分布。在《新建筑中的分形》(Fractal in the New Architecture)一文中认为，建筑或城市同生物群落、复杂的计算机程序一样遵从相似的组织法则，新建筑将建立在科学定律的基础上而不再是风格的讨论。1996年，Carl Bovill在《建筑设计中的分形几何》(Fractal Geometry in Architecture and Design)一文中，认为许多现代建筑过于“穷干”(flat)因而难以被大众接受；建筑设计可以通过分形几何生成复杂的韵律。国内的建筑分形研究中，赵远鹏阐述了分形几何在建筑学中应用的两个方面——尺度层级分析和在设计中引入复杂韵律[29]。于雅琴探索了分形在建筑中的运用，分类、比较、归纳了具有典型性分形的成功案例，并论述了分形几何在世界观与审美意识层面对建筑发展的深层影响[30]。冒亚龙探讨了分形理论与山地城市形态、建筑美学、建筑设计、园林设计的关系[31]。