传统乡村聚落形态量化方法的研究成果

(1) 形状指数的选择

聚落边界轮廓的闭合图形是一个平面二维形态，对于该几何形态特征的度量，相对比较容易计算，一般都是通过周长、长轴与短轴、面积等基本数据的一些数学转换；但是目前并没有一个普遍接受的方法[18]。因为任何一种数学方法，都难以全面而准确地描绘其平面形态的特征。相关文献中主要提供了以下几种计算方法，其中P是周长，A是面积。

① 周长面积比[19]

S=

该指数对形状的变化其实并不是太敏感，主要能够表征图形的边界效应，也即单位面积中的边界数量。S随着面积的增大而减小。

② 形状指数

这是一个在景观生态学中得到广泛应用的数学指数(相应，三维形体亦有体形系数的概念)，是以紧凑形状(圆、正方形、长方形或者其他正多边形等，视需要而定)的形状指数来作为参照标准的。其中应用最为广泛的是与结构最简单而紧凑的圆形来作为参照，将该图形的周长与等面积圆的周长来比较，得到以图像轮廓周长为基础的圆形度(轮廓比)[20]，反映该图形与等面积圆形之间在形状上的偏离程度，也即“形状偏离度”[21]。

设P与A分别为该图形的周长与面积，则同样以A为面积的圆的半径为，则该圆周长为2，因而形状指数：

S=

该指数S最小值为1，数值越接近于1，则表示该图形与圆形越接近。数值越大，则形状与圆形相差越大，越复杂越不规则。

也有与正方形来作为参照的，采用该图形的周长与同面积正方形的周长的比值，由此，公式为：[22]

S=

③ 离散度

心理学上采用实验方法研究规则多边形的离散度、图形基边数、显示条件及三因素的交互作用对图形信号认知绩效的影响(图2.36)。离散度的计算公式如下：[23]

D=1-

其中，D为离散度，定义域为0～1；

其实也就是：

D=1-

其中，S为形状指数。图形的离散度指数其实是从图形的形状指数中另外衍生出来的一个变量。

图2.36　心理学实验所用的不同离散度的图形

(资料来源：曹立人，朱祖详.规则多边图形的离散度、图基边数及显示条件的交互作用研究［J］.心理学报，1996，28(03)：292.)

④ 二维空间形状指数

有学者指出，前文所提到的一维空间指数，容易产生信息失真，特别是实际应用中需要以非紧凑图形为参照形状时，该一维空间指数将难以满足提取精度的要求。因而提出了一种基于面积紧凑度的二维空间形状指数：[24]

S=

AP为该图形的面积；Amin_ref为最小外接参照图形的面积。这个指数反映了该图形相对于其最小外接参照形状的面积紧凑度。

⑤ 分形几何中的分维值：[25]

S=

或

S=

⑥ 小结

上述几个指数中，唯有②中的形状指数(以及以此为基础的离散度)与测量单位无关[26]，选择这个指数来对聚落边界图形的形状特征进行量化是比较合适的。它可以表征聚落平面形状的饱满度和复杂度。数值越高，边界的凹凸程度就越复杂，形态越琐碎，聚落内部与外部基质之间相互渗透，通常在空间形态上越多样，体验也越丰富；而反之，数值越小，边界的凹凸程度就越简单，形态越平滑，聚落内部与外部基质之间的关系越生硬，通常在空间形态上也越单调。

(2) 形状指数的修正

本书选择了一个以圆为参照的形状指数来继续进行聚落边界图形的量化分析。但是，对于一个二维闭合图形，它越狭长，其形状指数越大；而同时，它的边缘越凹凸，也即越指状化，其形状指数也将变得越大。于是，仅凭前文以圆为参照的形状指数的数值本身，无法判定一个图形的高形状指数是源于其狭长的长宽比还是边界本身的凹凸程度。前文已经通过长宽比λ对边界图形作出了团状抑或带状的初步筛分，后续的形状指数，只要能够相对单一地反映出其边界的凹凸状态即可。因而，需要该形状指数能够适当消解掉长宽比λ数据的影响。方法是将参照图形由同面积的正圆修正为同面积同长宽比的椭圆，将图形的周长与该参照椭圆的周长来对比[27]。因为该参照椭圆里也已经包含了长宽比λ这一信息，通过比对以后，长宽比λ这一数据所带来的影响就被约减过滤掉了，因而新的形状指数就主要反映其边界的凹凸程度，也即指状特征。

设椭圆的面积为A0，长半轴为a，短半轴为b；则椭圆的面积为：

A0＝πab

设椭圆的周长为P0；椭圆的周长只有积分式或无限项展开式，没有初等数学表达式，经过查询与比较，本书选取如下的近似简化公式：[28]

P0=π［1.5(a+b)-］

设该图形的面积为A，周长为P，长宽比λ＝a/b，则

a=λb

A0=πab=πλb2=A(www.xing528.com)

b=　a=λb=

参照椭圆的周长为：

　　　　　　P0　=π［1.5(a+b)-］＝π

　　　　　　　　=π=(1.5λ-+1.5)

于是，形状指数为：　　S＝=

其中，P为周长，A为面积，λ为长宽比。

表2.2　南石桥村与统里寺村两种形状指数的数据比较

(资料来源：作者自绘)

图2.37　分别以圆与椭圆为参照的形状指数分析南石桥村与统里寺村
(资料来源：作者自绘)

以南石桥村与统里寺村为例进行验证。如图2.37所示，(1) 为南石桥村，(2) 统里寺村；以它们的中边界图为基础，并分别以等面积圆以及与等面积同长宽比椭圆为对照，计算其形状指数S，得到两组S值并汇总(表2.2)。

在以圆作为参照图形的形状指数S1中，可以看到两者数值相对比较接近，说明总体而言，它们的形状复杂程度是比较接近的。但是从图中的(3)、(4)中可以清晰地看到，南石桥村的指数值1.663 4主要来源于图形边缘的凹凸，而统里寺村的指数值1.717 7则主要来源于其高达4.132 8的长宽比所导致的扁平狭长的体形特征。因而在这里，以圆为参照的形状指数就难以区分上述两种不同的形体特征。

而在图中的(5)、(6)中，以等面积、同长宽比的椭圆来作为参照图形，则能够相对纯粹地反映出边缘的凹凸程度。南石桥村的指数值1.627 2，明显大于统里寺村的指数值1.232 5，与图形上的直观表现也较为吻合。

因而，本书选取以等面积、同长宽比椭圆为参照的形状指数公式：

S＝

作为经由长宽比λ的初步区分之后，对边界形态继续进行更为深入的定量分析依据。

(3) 形状指数的加权

前文对每一个乡村聚落分别以100 m、30 m、7 m设定了大、中、小三层边界图形。这三个从大到小的图形，层层收缩，使得乡村聚落的边界形态从宏观到中观最后到微观尺度上逐渐清晰和精准起来。虽然说，在这三个边界图形中，中边界相对比较符合乡村聚落的空间尺度，但并非就说其他两个边界就没有意义，其意义就在于，在这三层推进和收缩的过程中，它们形态特征之间的变化关系。一般而言，小边界将延续中边界的主导特征，并且将之推演得更琐碎化；但大边界与中边界之间，却可能会存在一定的差异。通常出现的情况是，大边界的形态比较接近于团状或条状，但是到了中边界，其指状特征才得以显现出来。因而本书希望通过这三个指数的加权平均来获得一个综合性的指数。如果三个指数都比较高，或者都比较低，则加权以后它们还将各自保持高或者低的状态，意味着它们在各层尺度上都显示出了这一明确的形态特征；而大边界与中边界存在形态差异时，则通过加权的数据修正，会使数据在总体上从中边界指数的位置适度降低。

很显然，大边界的S值较小，中边界的S中等，而小边界的S值最大。本书统计了22个乡村聚落样本，大边界的平均值为S大＝1.169 5，中边界的平均值S中＝1.638 5，小边界的平均值S小＝2.919 9。因而，如果直接采用这些原始数据进行平均，由于S小明显大于S大，将使得S小的权重过大，S大的权重过小。因而本书将它们统一转换到中边界的数据尺度再求均值。由于S中/S小＝0.561 1，S中/S大＝1.401 0；于是通过S大×1.401 0，S小×0.561 1，使两者便都转换到中边界的数值尺度。由于中边界相对比较符合乡村聚落的空间尺度，因而本书设定在这三个数值中，还是以S中为主，其他两个指数只是对其提出适度修正。分别以25%、50%、25%的加权求大、中、小边界图形形状指数的平均值，最后作为这个边界图形的加权平均指数。

于是，本书设定的边界图形的加权平均指数公式如下：

S权均＝S大×1.401 0×0.25+S中×0.5+S小×0.561 1×0.25

图2.38　正态分布的68—95—99.7规则
(资料来源：柯惠新,沈浩.调查研究中的统计分析法［M］.北京：中国传媒大学出版社，2005：71.)

对前文整理的22个聚落样本的三层边界闭合图形计算其形状指数并汇总(表2.3)。由于在任何正态分布中，68—95—99.7规则近似成立(图2.38)，也即大约有68%的数据，落在距平均值一个标准差的范围内[29]，均值μ=1.648 4，标准差σ＝0.448 1，μ-σ＝1.200 3，μ+σ＝2.096 5。将中间的这部分68%的数据区间，1.200 3～2.096 5定义为中形状指数数据区间；并以此为界，0～1.200 3定义为低形状指数数据区间，2.096 5以上定义为高形状指数数据区间。

以加权平均指数S权均的升序排列数组，构建各级形状指数的变化关系图(图2.39)。图中表明三层形状指数S大、S中、S小，平均形状指数S均，与加权形状指数S权均呈现显著的正相关性。

表2.3　22个聚落的边界形状指数统计表

(资料来源：作者自绘)

图2.39　各级形状指数口变化关系图

(资料口源:作者自绘)

图2.40　三层形状指数口变化关系图

(资料口源:作者自绘)

在以上几组数据关系中，S小与S均、S权均与S中、S权均与S均这三组数据各自的相关程度较高。原因在于S小的数值普遍相对较高，S均受S小的直接影响较大，因而S均与S小的相关性较高。在S权均的计算公式中，S中的权重较高，也就是说S权均是一个以S中为核心，辅以S大、S小的一个统计数据，因而S权均与S中相关性较高。S权均与S均，它们都是关于S大、S中、S小的综合性指数，各聚落大致上保持了较为接近的位序关系，无非具体的计算有一些细部差异从而导致了一些局部位序修正。

S大、S中、S小三组数据相互之间的相关性，没有上述三组数据关系的相关性高。以升序排列数组，构建三层形状指数的变化关系图(图2.40)。

可以看到，三者之间大致上呈正相关性。从S大开始，到S中、S小，数据的紊乱程度越来越高。意味着当虚边界尺度减小以后，聚落边缘的随机性与复杂性特质越来越有所显现。S中与S小在变化趋势上联动性要高于S大，意味着S中与S小的相关性要高于S大。大边界形态特征是最为模糊而不明确的，中边界形态特征相对较为明确，因而从大边界到中边界之间的位序差异就可能较大。比如下庄村(图2.11)，大边界之下的形态，基本上是略带有条状倾向的团状，但是到了中边界层面，则呈现出相对比较明确的指状特征来。杜甫村(图2.14)和南石桥村(图2.18)也有类似现象。值得注意的是凌家村(图2.24)，偏差幅度最大，大边界的形状是团状，但是在中边界层面，则是半围合的带状。而从中边界到小边界，紊乱度略有下降，这是因为在一般情况下，中边界形态已经相对精准，小边界只是进一步的细致深入，而不会有太大的变动导致不同边界形态类型。

将三层形状指数S大、S中、S小，平均指数S均以及加权指数S权均的数据各自进行升序排列，得到各数组的位序图。然后再将每一个聚落在位序上的对应点通过联系线连接起来。位序直接对应的以粗实线表示，位序差异越大，则线越细越虚；从而对这些具有不同层级指数的聚落位序关系进行纵向比较，形成了22个聚落边界图形的形状指数位序关系纵向比较图(图2.41)。

图2.41　22个聚落边界图形的形状指数位序关系纵向比较图

(资料来源：作者自绘)

从大边界到中边界再到小边界，边界图形越来越复杂越来越琐碎，从形状指数的数据而言，S小大于S中，S中大于S大。理想状况之下，每一个聚落的边界形状指数在不同纵向层级之间按特定层间比例涨落的同时，在横向的位序关系上也能够保持各自一贯的位置。但是在图2.41中看到，边界的实际变化情况比较复杂，上下位序之间具有一定的偏差，使得联系线表现出一定的紊乱性。

其左右两端部分的聚落边界闭合图形指数的上下位序关系都相对比较秩序化，因而它们在形态特征上比较典型。而处于中间部分的聚落则表现得相对紊乱，这是因为通过某种统计的手法，总是倾向于将比较典型的数据离析出来。在前文的相关设定中，形状指数越小的图形越简单光滑，而反之，形状指数越大则图形越复杂凹凸。如果三层图形的指数都比较简单光滑，则可以认为这是一个全方位简单光滑的图形，相应它的平均指数或者加权指数都必然是比较小的。如果三层图形都比较复杂凹凸，则可以认为这是一个全方位凹凸复杂的图形，相应它的平均指数或者加权指数也必然是较大的。于是，最简单光滑和最凹凸复杂的图形被离析出来，排列于数据链的左右两端。而其他的一些聚落在不同层面具有不同的形态特征，使得上下位序关系发生较大的偏差与改变，最后计算平均或者加权平均指数的时候，一部分典型性特征数据必然被消耗掉，使得它们最后落入中间部分相对中庸的数值区间。

按照计算与统计结果，比较明显呈指状的五个乡村聚落，上葛村、东川村、施家村、高家堂村以及东山村，由于三层边界图形均呈现较为明显的指状特征，因而指数数值均较高，均集中于数据链的右侧，导致最后的加权平均指数数值也相对较高。而下庄村，由于大边界图形只是呈现团状特征，指状特征是在中边界才开始显露出来的，因而它并非典型的指状聚落；而从指数数值上来看，由于大边界指数相对较低，也降低了最后的加权指数，从而位列第六。

在前文的计算中，高、中加权形状指数的数据分界为2.096 5；而在样本实例中，从下庄村(1.809 5)到上葛村(2.152 5)也显示了指状特征从不明确到明确的变化；综上所述，同时为了简化数据识别，本书界定形状指数S＝2，作为指状特征的数据标记。