山西省高职高专大学数学课程教学指导意见

山西省高职高专数学课程教学指导委员会

第一部分 课程的内容与分类

一、内容

大学数学课程分为必修内容与选修内容两大模块.其中必修模块为：高等数学（微积分）、线性代数、概率论和数值计算方法.选修模块为：复变函数与积分变换、线性规划、离散数学、数学物理方程、数学建模、模糊数学应用初步、场论初步.

二、分类

根据山西省现行高职高专（非师范）类专业设置情况可暂分为以下四类：

（1）工程类.包括机械工程、电子工程、信息工程、计算机工程、化学工程、制药工程、环境工程、生物工程、建筑工程、农林工程、资源开发与测绘、材料与能源、交通运输等大类.

（2）经贸类.包括财政金融、财务会计、经济贸易、市场营销、工商管理和工程技术管理类等.

（3）医药类.包括医药卫生、生物技术和食品等大类.

（4）艺文类.包括建筑设计、艺术设计传媒、文化教育、公共事业、档案、考古、旅游、公安和法律大类和农林技术等.所有二年制各专业可参考该类要求.

第二部分 工程类教学指导意见

一、课程的性质、任务与要求

课程的性质：大学数学（工程类） 课程（主要包括微积分、线性代数、数值计算方法、概率论与数理统计）是高职高专大工程类专业必修的重要的基础理论课之一.

1.高等数学（微积分）

课程任务：通过本课程的学习，使学生系统地获得微积分、空间解析几何、级数及常微分方程的基础理论知识和常用的运算方法.并通过各教学环节逐步培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维能力和逻辑推理能力、几何直观和空间想象能力.从而使学生受到数学基本方法和运用这些方法分析、解决几何、力学和其他物理等实际问题的初步训练.为学习后继课程和进一步学习现代科学技术知识奠定必要的数学基础.

教学要求：根据高职高专教育的培养目标，高职高专数学课程的教学，要求以应用为目的，以必须够用为度；以掌握概念，强化应用，培养技能为教学重点.在知识覆盖方面，要求在保持数学自身的系统性、逻辑性的基础上，与本科相比，只做较小的削减.对难度较大的部分基础理论，不作过分的严密论证和推导，与本科相比，应有较大的削减，加强与实际应用联系较多的基础知识和基本方法.注重基本概念的了解和基本运算的训练，不追求过分复杂的计算和变换.

2.线性代数

课程任务：由于线性代数问题广泛存在于技术科学的各个领域，某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，因此本课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科，所以学生必须具备有关本课程的基本理论知识，并熟悉地掌握它的方法.通过本课程学习，使学生初步掌握线性代数的基本内容、理论与方法，为学习有关专业课程与扩大知识面提供必要的数学基础.

教学要求：了解行列式的定义、性质及计算法；熟悉矩阵的代数运算；正确理解向量组的线性相关与线性无关；会解线性代数方程组.

3.概率论

课程任务：通过本课程的学习，应使学生掌握概率论基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，初步培养学生运用概率方法分析和解决实际问题的能力.

教学要求：由于随机问题广泛存在于技术科学的各个领域，因此本课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科，所以学生必须具备有关本课程的基本理论知识，并熟悉地掌握它的方法.

（1）要正确理解以下概念：样本空间、事件、古典概型、概率的公理化定义、条件概率、样本空间的划分、事件的独立性，一维随机变量及其分布（包括概率密度函数、分布律以及分布函数）、随机变量的独立性，随机变量的数学期望、方差等.

（2）要掌握下列基本理论、基本定理和计算公式：随机事件的关系与运算，概率的基本性质及加法定理，条件概率的计算，概率的乘法定理，全概率公式，独立事件的概率计算，概率密度函数、分布律、分布函数的性质以及利用它们计算有关事件的概率，正态概率计算，6 种常用分布（ （0 -1） 分布，二项分布，Poisson 分布，均匀分布，指数分布，正态分布）的分布形式及其数字特征，一维随机变量函数的分布，随机变量的数字特征（数学期望，方差）的性质与计算，契比雪夫不等式.

二、建议使用教材

《大学数学应用教程》 （北京大学出版社，2005）；《大学数学讲练教程》 （北京大学出版社，待出版）.

三、教学方法与手段

以课堂讲授为主，采用启发式教学，研讨式教学方法.引导学生主动学习和思考.注意由实际问题引入基本知识.如导数用驾车的速度（瞬时速度） 引入，定积分用不规则图形的面积计算引入，级数用弹球路程、自然数e的确定等引入，引导学生积极思考问题，并带着问题学习.同时，简明扼要地穿插相关数学史的介绍.数学史本身就是一部人类科学史，通过数学史的介绍，让学生正确、全面地了解知识的产生过程，弄清知识的来龙去脉，并能对学生进行科学精神的熏陶，激发学生学习兴趣.

研讨式教学，激发学生的求知欲.要精讲多练，同时，引入数学建模方法，设置创新意境，诱导创新思维.

案例教学，培养学生学以致用的能力.以实际问题的求解过程为铺垫，引出数学知识，再将知识应用于处理实际问题，强化知识的应用，培养学生分析、处理实际问题的能力.

四、课程内容与学时分配

建议总学时120 ～140 学时.

高等数学（微积分）

线性代数

概率论

五、课程内容与基本要求

高等数学（微积分）

（一） 函数、极限、连续（ 14 学时）

1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法.

2.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性.

3.理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.会建立简单函数关系式.

4.掌握基本初等函数的性质和图形.

5.理解极限的概念，了解描述性定义，知道极限的ε-N（ε-δ）定义了解分段函数的极限.

6.掌握极限四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法.

7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限.

8.理解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限.

9.理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型.

10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质.

（二）导数与微分（ 14 学时）

1.理解导数的概念（包括左、右导数）导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系.

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式.会求分段函数的一阶和二阶导数.

3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数.掌握初等函数的二阶导数的求法.

4.会求分段函数的一阶、二阶导数.

5.会求隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数.会求反函数的导数.

6.了解微分的概念，一阶微分形式的不变性和四则运算法则，会求微分.

7.会用导数描述一些简单的物理量.

8.理解并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，利用定理能求方程的根、证明不等式等.知道柯西中值定理.

（三）不定积分（ 12 学时）

1.理解原函数概念，理解不定积分的概念及性质.

2.掌握不定积分的基本公式、换元法、分部积分法（对有理函数的待定系数法分解，不作过高要求）.

（四）定积分（ 10 学时）

1.理解定积分的基本概念，定积分中值定理.

2.理解变限函数及其求导定理，掌握牛顿莱布尼兹公式.

3.掌握定积分的性质及换元积分法和分部积分法.

4.了解广义积分的概念，会计算广义积分.

（五） 导数与微分的应用（12 学时）

1.掌握洛必达法则求型和型未定式极限的方法.

2.理解函数的极值概念，掌握用导数判别函数的单调性和求函数极值的方法.

3.会用导数描绘图形（包括水平、垂直渐近线） （求斜渐近线和利用凹性证明不等式不作要求）.

4.会求最大值、最小值的应用问题.

*5.了解曲率、曲率半径的概念，并会计算.

6.微分的应用.

*7.导数的经济学应用.

（六）定积分的应用（8 学时）

1.掌握定积分在几何上的应用（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和侧面积、平行截面为已知的立体体积） 和物理上的应用（质量、变力作功、引力、压力和函数的平均值）.

*2.定积分的经济学应用.

（七）微分方程（ 14 学时）

1.了解微分方程及解、通解、初始条件和特解等概念.

2.掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法.

3.会解齐次方程，伯努利方程和全微分方程、会用简单变量代换解某些微分方程.

4.会用降阶法解下列方程：y（n）=f（x），y″=f（x，y′），y″=f（y，y′） .

5.理解线性微分方程解的性质及解的结构定理.

6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解高于二阶的常系数齐次线性微分方程.

7.会求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解（自由项由多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数及它们的和、积构成）.

8.会用微分方程解一些简单的应用问题.(www.xing528.com)

（八） 无穷级数（8 学时）

1.理解常数项级数收敛与发散的概念、收敛级数和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.

2.掌握几何级数、 P—级数的敛散性.

3.掌握正项级数的判别法（比较法、比值法）.

4.会用交错级数的莱布尼兹判别法.

5.了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，及二者之间的关系.

6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.

7.掌握幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域的求法.

8.了解幂级数在收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数.

9.了解泰勒公式、泰勒级数，掌握的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数展开成幂级数.

*10.了解傅里叶级数的概念及函数展开成傅里叶级数的狄利克莱定理.

*11.会将定义在[ -π，π]、 [ -l，l] 上的函数展开为傅里叶级数、会将定义在[0，π]、 [0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数和的表达式.

* （九）数值计算方法（*10 学时）

1.理解误差，理解绝对误差与相对误差；

2.掌握方程的近似解及定积分的近似解计算；

3.掌握常微分方程的数值解法，知道插值函数.

（十）向量代数和空间解析几何（ 12 学时）

1.理解向量的概念及其表示.

2.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），了解两向量垂直、平行的条件.

3.掌握单位向量、方向数、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法.

4.掌握平面方程（点法式、截距式、一般式方程）、直线方程（参数式方程、对称式方程、一般式方程）、会用平面直线的相互关系（平行、垂直、相交等） 解决有关问题.

5.理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程.

6.了解空间曲线的参数方程和一般方程；了解它在坐标平面上的投影，并会求其方程.

（十一）多元函数微分学及应用（ 12 学时）

1.理解多元函数的概念.

2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.

3.理解偏导数与全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分在近似计算中的应用.

4.掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法.

5.会求隐函数（包括方程组确定的隐函数）的偏导数.

6.了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程.

7.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题.

（十二）多元函数积分法及其应用（ 14 学时）

1.理解二重积分、 *三重积分的概念，了解重积分的性质.

2.掌握二重积分（直角坐标、极坐标） 的计算方法，*知道三重积分的直角坐标、柱面坐标及球面坐标下的计算公式.

3.会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、立体的体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量等）.

4.理解对坐标的曲线积分的概念，了解对坐标的曲线积分的性质.

5.掌握计算对坐标曲线积分的方法.

6.掌握格林（Green）公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数.

线 性 代 数

（一）行列式（6 学时）

1.了解行列式的定义和性质.

2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式.

3.掌握克莱姆法则.

（二）矩阵（8 学时）

1.理解矩阵的概念.

2.了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵以及它们的性质.

3.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵的幂，方阵乘积的行列式.

4.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆.

5.掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.

6.了解分块矩阵及其运算.

（三）线性方程组（10 学时）

1.掌握高斯消元法，理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.

2.理解n维向量的概念、向量的线性组合和线性表示.

3.理解向量组线性相关、线性无关的概念，了解有关向量组线性相关、线性无关的重要结论.

4.了解向量组的最大无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的最大无关组及秩.了解向量组的秩与矩阵秩的关系.

5.理解齐次线性方程组的基础解系、通解.

6.理解非齐次线性方程组的结构及通解的概念.

7.掌握用行初等变换求线性方程组解的方法.

概 率 论

（一） 随机事件和概率（10 学时）

1.理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算.

2.了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算.

3.理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式，以及应用这些公式进行概率计算.

4.理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算.掌握贝努利概型及其计算.

（二） 随机变量及其概率分布（6 学时）

1.理解随机变量的概念.

2.理解随机变量（及其函数的） 分布函数的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率.

3.掌握0 -1 分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布.

4.会求简单随机变量函数的概率分布.

（三）随机变量的数字特征（4 学时）

1.理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算.

2.掌握二项分布、泊松分布和正态分布的数学期望和方差，了解均匀分布和指数分布的数学期望和方差.

3.会计算随机变量函数的数学期望.

* （四） 多维随机变量及其概率分布（6 学时）

1.理解二维随机变量的概念.

2.理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，及两种基本形式：离散型随机变量的联合分布，概率分布、边缘分布和条件分布；连续型联合概率密度、边缘密度；并会用它们计算有关事件的概率.

3.理解随机变量独立性及不相关的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算.

4.理解二维均匀分布和二维正态分布.了解其中参数的概率意义，会求两个独立随机变量的简单函数的分布.

（五） 大数定律和中心极限定理（4 学时）

1.了解切比雪夫不等式.

2.了解切比雪夫定理和贝努利定理.并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率.

注：标有“*”的内容可以视具体专业选讲.

（经贸类、医药类、艺文类教学指导意见这里从略）