实用微积分：数学建模的原理和步骤

数学建模是建立数学模型的全过程，一般包括建模（根据问题找出问题的数学模型），解模（求出模型的解，一般要通过计算机计算），验模（对模型解进行验证）等过程.

现实中的建模问题复杂程度各异，建模也没有固定的方法、格式和标准，甚至对同一个问题，从不同角度，不同要求出发，可以建立起不同的数学模型.因此，不能死扣一般步骤，但给出建模的一般步骤，对于建模工作是有指导意义的.

图8-2

一般采用的数学建模基本步骤如图8-2 所示，各步骤的含义如下.

1.建模准备

对于面临的实际问题，首先需要明确研究的对象和研究的目的.搞清问题所依据的事实和数据资料的来源是什么？他们是否真实？以及与问题有关的一些背景知识.有些内容超出了建模者的知识面，应向有关实际工作者学习，直至建模者对问题的来龙去脉做到心中有数.

2.建模假设

现实问题非常复杂，涉及面很广，在建模时应抓住主要矛盾，忽略某些次要因素.因此，必须进行一定的假设，使问题更加清晰、准确.在提出假设时应考虑假设的合理性.假设合理性常遵循以下几点原则.

（1）目的性原则：从原型中抽象出与建模有关的因素、简化掉那些与建模目的无关或关系不大的因素.

（2）简明性原则：所给的假设条件要简单、准确，有利于构造模型.

（3）真实性原则：假设条款要符合情理，简化带来的误差应满足实际问题所能允许的误差范围.

（4）全面性原则：在对事物原型本身作出假设的同时，还要给出原型所处的环境条件.

3.建立模型

根据问题的假设，利用与问题有关的自然科学、社会科学以及数学科学的规律和公理，建立起解决实际问题的框架——数学模型.

建模时究竟采用什么数学工具，要根据问题的特征、建模的目的以及建模者的数学特长而定.可以这样说，数学的任一分支在构造模型时都可能用到，而同一实际问题也可以构造不同的数学模型.一般而言，在能达到预期目的的前提下，应采用尽可能简单的数学工具，以便为更多的人接受和使用.

4.求解模型

建立数学模型后，根据已知条件和数据，如果能找出模型的解析解固然很好，但一般情况下，人们必须依靠计算机求出模型的数值解.

解模型包括求解各种类型的方程，数值最优计算，还包括画图、列表及软件制作等.

5.验证模型

建立数学模型的目的在于解决实际问题，因而建立模型、求解模型以后还必须回到客观实际中去对模型进行检验，看它是否符合客观实际（包括是否符合通常的数学逻辑关系，量纲是否正确，适用范围是否达到预期目的），若不符合，就修改或增减假设条款，重新建模.循环往复，不断完善，直到获得满意结果.

目前计算机技术已为我们进行模型验证提供了先进的手段，充分利用这一手段，可以节约大量的时间、人力和财力.

6.应用模型

应用模型是建模的宗旨，也是对模型最客观、最公正的体验.因此，一个成功的数学模型，必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用.

从以上步骤可以看出：数学建模是一个反复修改假设，反复建立模型、求解、验证以获得合理数学模型的过程.

我们可以通过传染病模型的建立来说明以上各个步骤.

【例1】 传染病模型.

问题的提供及分析（建模准备）.

传染病是危及人类身体健康的重要因素之一，长期以来一直受到世界各国的关注.传染病的发展规律是什么？疾病的传染行为如何影响它的流行？它是否会蔓延持续下去，成为本地区的“传染病”？或者这种流行病是否能最终消除？这都是人们十分关注的问题.

由于传染病传播涉及的因素很多，如感染病人的数量、传染率和治愈率的大小等.另外还要考虑人群的迁入和迁出以及潜伏期等因素的影响，如果一开始就把所有的因素全部考虑进来组建数学模型，将无从下手.因而我们在建模中宜先将问题简化，按照循序渐进的思路，依照一般的传染机遇，逐步建立一个与模型实际相吻合的模型.

模型一

建模假设

（1）人一得病后，久治不愈，人在传染期内不会死亡.

（2）疾病的传染率为常数k（k＞0），即单位时间内一个病人能传染的人数是常数k.

（3）不考虑出生与死亡的过程和人群的迁出与迁入.

建模与求解

用I（t）表示时刻t病人的数量，则I（t+Δt） -I（t） =kI（t）Δt，于是有

对式（8-2）稍加分析，我们发现，当t→+∞时，I（t） →∞，即随着时间的推移，病人的数目将无限增加，所有的人最终将全被感染，无一例外，这与实际情况不符，因为在不考虑传染病期间的出生，死亡和迁移时，一个地区的总人数可视为常数，进一步分析，k应为时间t的函数.在传染病流行初期k较大，随着病人的增多，健康人数的减少，被传染的机会也减少，于是k将变小，故应对模型进行修改.(www.xing528.com)

模型二

设时刻t健康人数为S（t）.

建模假设

（1）某地区总人数为n，即I（t） +S（t） =n.

（2）一病人在单位时间内传染的人数与当时健康的人数成正比，比例系数为k（称为传染系数）.

（3）一人得病后久治不愈，但在传染期间不会死亡.

建模与求解

由假设，可得方程

将假设（1）代入式（8-3），得

式（8-4）为可分离变量的微分方程，整理可得

图8-3 I（t）与曲线

由式（8-5）可得

模型三

有些传染病（如痢疾）愈后免疫力很低，还有可能再次被传染而成为病人.

建模假设

（1）健康者和病人在总数中所占的比例分别为s（t），i（t），则s（t） +i（t） =1.

（2）一病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成正比，比例系数为k.

（3）病人每天治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为μ，称为日治愈率，病人愈后成为可被感染的健康者，称1/μ为传染病的平均传染期.

建模与求解

由假设（2）、 （3）可得

将假设（ 1 ）代入，得

对式（8-9）进行分离变量求解，该方程的求解需对k，μ进行讨论.

图8-4

当σ≤1 时，病人在总人数中所占的比例i（t）越来越小，最终趋于零，这一点可从σ的含义上得到一个直观地解释，就是传染期内被传染的人数不超过当时健康的人数；当σ＞1时，i（t）的变化趋势取决于i0的大小，最终以1 -为极限；当σ增大时，i（∞）也增大，这是因为随着传染期内被传染人数占当时健康人数的比例的增加，当时的病人数所占比例也随之上升.在本模型中当t→+∞时，i（t）与实际情况较上面所设的两模型要合理，但仍有缺陷还需考虑其他一些因素，这里就不再讨论了.

习 题8-1

1.北方有些建筑物使用双层玻璃窗，即窗户上安装了两层玻璃且中间留有一定的空隙，以便在冬天能起保暖作用，如图8-5 所示，设每块玻璃厚度为d，两块玻璃间的距离为l.请对这种构造的保暖作用进行定量分析.

2.某展览馆的门票价是：每人5 元，40 人以上（含40 人）的团体票以6 折优惠.设团体人数为x，所花门票费为y元，试建立购票策略，使买票所花的钱最少.今有32 名学生需入馆参观，按此策略需花多少钱？

图8-5