实用微积分：函数幂级数展开

下面介绍把函数展开成幂级数的一般方法：

如果函数f（x）在某个区间（ -R，R）内能展开成幂级数，

即

其中，a0，a1，a2，…，an，…为待定系数，则

事实上，把x=0 代入上式，即得a0=f（0），其次，在区间（ -R，R）内，对上式两端求各阶导数，得

把x=0 代入上列的各等式，得

可见，函数f（x）如能展开为幂级数式（7-5），它的各项系数由f（x）在x=0处的函数值和各阶导数值所确定，即f（x）的幂级数展开式为

式（7-6）称为f（x）的麦克劳林（Maclaurin） 展开式.

式（7-6）右端级数称f（x）的麦克劳林级数.

把函数f（x）展开成x的幂级数，可以按照下列步骤进行：

（1）求出f（x）的各阶导数f′（x），f″（x），…，f（n）（x），…

如果在x=0 处某阶导数不存在，就停止进行，例如在x=0 处，f（x） =x7/3的三阶导数不存在，它就不能展开为x的幂级数.

（2）求函数及其各阶导数在x=0 处的值

（3）写出幂级数

并求出其收敛半径R.(www.xing528.com)

下面介绍几个初等函数的幂级数展开式.

【例5】 将指数函数f（x） =ex展开成x的幂级数.

可以求得上述级数的收敛半径R=+∞，于是在区间（ -∞，+∞）内有

【例6】 将正弦函数f（x） =sinx展开成x的幂级数.

可以求得上述级数的收敛半径R=+∞于是在（ -∞，+∞）内有

【例7】 将余弦函数f（x） =cosx展开成x的幂级数.

解 将例6 中的sinx展开式逐项求导，得

【例8】 把函数f（x） =（1 +x）α展开成x的幂级数.

解 因为f′（x） =α（1 +x）α-1

所以f（0） =1，f′（0） =α，…，f（n）（0） =α（α-1）…（α-n +1）.

由此可得幂级数

此级数的收敛半径

于是在区间（ -1，1）内有

上式右端的级数叫做二项级数，这个展开式叫做二项展开式.特别是α为正整数时，该级数成为x的α次多项式，这就是代数中的二项式定理.