微分方程在自然科学及工程技术中有广泛的应用，这一节主要介绍一阶、二阶微分方程在几何、物理等方面的一些应用.本章第一节已归纳出利用微分方程解决实际问题的一般步骤，下面通过例题加以说明.
【例1】 某水塘原有50000t清水（不含有害杂质），从时间t=0 开始，含有有害杂质5%的浊水流入该水塘，流入的速度为2t/min，在塘中充分混合（不考虑沉淀） 后又以2t/min的速度流出水塘.问经过多长时间后塘中有害物质的浓度达到4%？
解 （1）建立微分方程.
（2）求通解.
【例2】 牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比，现将牛顿冷却定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定.当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37℃按照牛顿冷却定律开始下降，如果两个小时后尸体温度变为35℃，并且假定周围空气的温度保持20℃不变，试求出尸体温度H随时间t的变化规律.又如果尸体发现时的温度为30℃，时间是下午4 点整，那么谋杀是何时发生的？
解 （1）建立微分方程.
其中k＞0 是常数，初始条件为H（0） =37.
（2）求通解.
分离变量得
积分得
（3）求特解.
把初始条件H（0） =37 代入通解，求得C=17，于是该初值问题的解为
为求出k值，根据两小时后尸体温度为35℃这一条件，有
【例3】 如图5-2 所示，这是一个由电阻R，电容C和直流电源E串联而成的电路.已知在开关K闭合前电容C上没有电荷，电容C两端的电压为零，电源电压为E.当把开关闭合上，电源对电容充电，电容C上的电压UC逐渐升高，求电压UC随时间t变化的规律.
解 设在时刻t，电容器两端的电压为UC，电阻两端电压为UR，电路中的电流为I.由回路电压定律知
图5-2
这是一个一阶非齐次线性微分方程，初始条件为UC（0） =0 容易求得它的通解为
将初始条件代入，得C=-E，因此
这就是电压UC随时间t变化的规律，即电容器的充电规律，显然，由图5-3 看出，充电时UC随t增加而增加，最后稳定在UC=E.
图5-3
【例4】 列车在平直线路上以20m/s的速度行驶，当制动时列车获得加速度-0.4m/s2，问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？
解 设列车在开始制动后t秒内行驶了s米，按题意，欲求出未知函数s=s（t）.已知加速度
即列车开始制动后50s停住，在这段时间里共行驶了500m.
【例5】 在地面以初速度V0垂直向上射出一物体，设地球的引力与物体到地心的距离的平方成反比，求物体可能达到的最大高度.（空气阻力不计，地球半径R=6370km）
解 取坐标系如图5-4 所示，原点取在地球表面，因物体射出后，在运动过程中仅受地球引力F的作用，而
其中s是物体与地面的距离，k为比例系数.
现在先求常数k，显然，当物体在地面时，s=0，F=mg，m为物体的质量，因此由式（5-41）得k=mgR2，于是
图5-4(www.xing528.com)
根据牛顿第二定律，物体的运动方程为
这是可降阶的不显含自变量的二阶微分方程.
由题设有初始条件s|t=0=0，s′|t=0=V0，
故得最大高度
这个速度就是通常所说的第二宇宙速度.
练 习5-4
1.有高为1m的半球形容器，水从它底部的小孔流出，小孔横截面积为1cm2（图5-5），开始时容器盛满水，求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h（水面与孔口中心间的距离）与时间t的函数关系（已知水从孔口流出t秒时的流速
其中V为水从孔口流出t秒的体积，s为孔口横截面面积）.
2.一质量m=10kg的物体被系于一劲度系数k=20kg/s2的弹簧上，这一物体受到与运动速度成正比的摩擦力的作用，比例系数h =20kg/s，在时刻t=0，物体被从高2m的地方从静止状态自由放开，（1）试写出描述这一运动的微分方程；（2）求运动规律.
图5-5
习 题5-4
1.已知曲线过点（1，2），且曲线上任一点M（x，y）处切线的斜率是该点横坐标的倒数，求此曲线方程.
2.一容器内盛有50L的盐水溶液，其中含有10g的盐，现将每升含盐2g的溶液以每分钟5L的速度注入容器，并不断进行搅拌，使混合液迅速达到均匀，同时混合液以3L/min的速度流出溶液，问在任一时刻t容器中含盐量是多少？
3.降落伞张开后下降，设所受空气阻力与降落伞的下降速度成正比例，且伞张开时（t=0）的速度为0，求降落伞下降速度υ与时间t的函数关系.
4.在一个含有电阻R、电容C和电源E的RC串联回路中，由回路电流定律，知电容上的电量q满足以下微分方程
若回路中有电源400cos2tV，电阻100Ω，电容0.01F，电容上没有初始电量，求在任意时刻t电路中的电流.
5.设一弹簧放于油中，其运动满足微分方程
设初始条件为s|t=0=-0.5，s′|t=0=3，求微分方程的特解.
6.一质点在一直线上，由静止开始运动，时刻t时质点的位置为s（t），其加速度a=-4s（t） +3sint，求运动方程，并求离起始点的最大距离.
复习检测题五
1.选择题.
（2）下列微分方程中属于二阶常系数非齐次线性微分方程的是（ ）.
（4）微分方程2y″+3y-4 =0 对应的齐次方程的特征方程是（ ）.
（5）下列微分方程中属于可分离变量微分方程的是（ ）.
（7）微分方程y″+3y′-18y=x2e3x的特解形式为（ ）.
（A） ax2e3x；（B） ax4e3x；（C） x（ax2+bx+c）e3x；（D） x2（ax2+bx+c）e3x.
（8）设y1、 y2为某二阶常系数齐次线性微分方程的解，那么y=C1y1+C2y2（C1、C2为任意常数）是方程的（ ）.
（A）解；（B）通解；（C）特解；（D）全部解.
2.求下列微分方程的通解.
3.求下列微分方程满足初始条件的特解.
4.已知二阶常系数齐次线性微分方程的特征根为r1=-1，r2=3，求此微分方程.
5.已知某曲线经过点（1，1），它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程.
6.一潜艇质量为m，由静止开始沉入水中，下沉时的阻力与下沉的速度成正比，求潜艇下沉的深度与时间的函数关系.
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