定积分在物理中的实际应用

1.变力沿直线段作功

从物理学知道，如果常力F作用在物体上，使物体沿力的方向移动距离S，那么力F对物体所做的功为

如果物体在运动中所受到的力是变化的，显然上述公式已不适用，下面用定积分的微元法来解决此类问题.

设物体在变力F（x）作用下沿x轴由x=a移动到x=b时，变力F（x）所做的功微元

则变力F（x）在[a，b]上所作的功

【例9】 设在x轴的原点处放置了一个电量为+q的点电荷，形成一个电场，求单位正电荷在该电场中沿x轴从x=a移到x=b时电场力F（x）所作的功（图4-25）.

图4-25

解 取x为积分变量，变化范围为[a，b]，在[a，b] 上取代表区间[x，x+dx]，当单位正电荷从x移动到x+dx时电场力F（x）所作的功微元

2.液体的压力

由物理学知道，如果有一面积为A的薄板水平地放置在液体中深为h的地方，那么薄板一侧所受的压力为F=PA，其中P=ρhg是液体中深为h 处的压强（ρ是液体的密度）.

如果此薄板是直立地放置在液体中，由于不同深度的点处压强不同，求薄板一侧所受液体的压力则要用定积分来解决.

设垂直放置在液体中的薄板的形状为如图4-26 所示的曲边梯形，取深度x为积分变量，它的变化区间为[a，b]，在[a，b]上取代表区间[x，x+dx]，于是得到相应于这个区间薄板一侧所受到的压力微元

以压力微元为被积表达式，在[a，b]上作定积分得到薄板的一侧所受的压力(www.xing528.com)

图4-26

图4-27

【例10】 矩形闸门（图4-27），宽20m，高16m，水面与闸门顶齐，求闸门上所受的总压力（水的密度为103kg/m3）.

解 选取x轴，在[x，x+dx]上闸门所受压力微元为

闸门上所受的总压力为

3.引力

由万有引力定律知道，质量分别为m1、 m2的两个质点，相距r时的引力为

如果要计算位于一条直线上的一根细杆对一个质点的引力，由于细杆上各点与质点的距离是变化的，因此不能用上述公式计算，下面用定积分的微元法计算.

【例11】 设有一长为l，质量为M的均匀细杆，另有一质量为m的质点与杆在一条直线上，它到杆上的近端距离为a，计算细杆对质点的引力.

图4-28