实用微积分：第一类换元积分法

设f（u）具有原函数F（u），即F′（u） =f（u），则∫f（u）du =F（u） +C.

如果u 是中间变量，u =φ（x），且设φ（x）可微，根据复合函数微分法则，有dF[φ（x）] =f[φ（x）]φ′（x）dx.从而得

于是有下列定理.

通常把这样的积分方法叫第一类换元积分法.

【例1】 一电场中质子运动的加速度为a =-20（1 +2t）-2（m/s2）.

如果t=0 时，υ=0.3m/s，求质子的运动速度.

解 由加速度和速度的关系υ′（t） =a（t），有

将t=0 时，υ=0.3m/s，代入上式，得C=-9.7，所以υ（t） =10（1 +2t）-1-9.7.

（2） dφ（x） =d[φ（x） ±b]，即微分号内的函数可加（或减）一个常数.如：dx=d（x+1）；d（x2） =d（x2+2）等.

上例是把这两个微分性质结合起来运用而得到：

【例3】 求下列各积分.(www.xing528.com)

由上面例子可以看出，用第一类换元积分法计算积分时，关键是把被积表达式凑成两部分，使其中一部分为d[φ（x）] ，另一部分为φ（x）的函数f[φ（x）]，因此，通常又把第一类换元积分法称为凑微分法.

在凑微分时，常要用到下列微分式子.

显然，微分式子绝非只有这些，大量的要根据具体问题具体分析，读者应在熟记基本积分公式和一些常用微分式子的基础上，通过大量的练习来积累经验，才能逐步掌握这一重要的积分方法.

【例4】 求下列各积分.

以上三式可作为基本积分公式使用.

【例5】 求下列各积分.

由三角恒等式：

注意：同一积分，可以有几种不同的解法，其结果在形式上可能不同，但实际上它们最多只是相差一个积分常数.

例如，求∫sinxcosxdx.

利用三角公式不难验证上例三种解法的结果彼此只相差一个常数，但很多的积分要把结果化为相同的形式有时会有一定的难度，事实上，要检查积分是否正确，正如前面指出的那样，只要对所求的结果求导，如果这个导数与被积函数相同，那么结果就是正确的.