实用微积分：积分法则和直接积分法

法则1 两个函数的代数和的积分等于各个函数的积分的代数和，即

上述法则对于有限个函数的代数和也是成立的.

法则2 被积表达式中的常数因子可以提到积分号的前面，即当k为不等于零的常数时，则有

其中每一项的积分虽然都应有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面各加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它们的和C写在末尾，以后仿此.

应当注意，检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了，如例8，由于

所以结果是正确的.

解 在积分基本公式中没有这种类型的积分公式，可以先把被积函数作恒等变形，再逐项求积分.

【例13】 已知一物体作直线运动，其加速度a =12t2-3sint，且当t=0 时，υ=5，S=3.

（1）求速度υ与时间t的函数关系.

（2）求路程S与时间t的函数关系.

解 （1）由速度与加速度的关系υ′（t） =a（t），知速度υ（t）满足

求不定积分，得

将υ（0） =5 代入上式，得C=2，所以

（2）由路程与速度的关系S′（t） =υ（t） =4t3+3cost+2，且S（0） =3，求不定积分，得

将S（0） =3 代入上式，得C=3，所以(www.xing528.com)

从以上的几个例子可以看出，在求积分问题中，可以直接按基本积分公式和两条基本运算法则求出结果，但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形），再利用积分的两条基本法则，然后按基本积分公式求出结果，这样的积分方法，叫做直接积分法.

求积分运算与求导相比，有较大的灵活性，这就需要熟记基本积分公式和法则，通过做一定数量的练习，总结经验，归纳不同类型的积分规律，才能逐渐掌握求原函数的基本技能.

练 习4-2

1.求下列函数的定积分.

2.试求下列函数f（x）的一个原函数F（x）.

3.写出下列各式的结果.

4.求下列函数的不定积分.

5.已知f′（x） =1 +x2且f（0） =1，求f（x）.

6.一质点做变速直线运动，速度υ（t） =3cost，当t0=0 时，质点与原点的距离为S0=4，求质点离原点的距离S和时间t的函数关系.

习 题4-2

1.求下列函数的定积分.

2.求下列函数的不定积分.

3.已知某曲线经过点（1，-5），并知曲线上每一点处切线的斜率k=1 -x，求此曲线方程.