实用微积分：隐函数与参数式函数的求导法

在第二章中已经知道隐函数和参数式函数是表示函数的重要形式，但隐函数未必都能显化，参数式函数也未必都能消去参数，因此，需要有特殊的求导法则对它们求导数.

1.隐函数的求导法

设方程F（x，y） =0确定了可导函数y=f（x），在方程F（x，y） =0的两端分别对x求导，所得结果也必然相等，但应注意，其中的y=f（x）是x的函数，要用复合函数的求导法则去求导.

下面举例说明.

由上式解出y′，即得隐函数的导数

这虽然是一个显函数，可直接求导，但由于函数式是几个因子的乘积、乘方、开方所构成的比较复杂的函数，求导起来比较繁琐，为了简化求导运算，我们先对等式两边取对数，化乘、除为加法，化乘方、开方为乘积，然后利用隐函数的求导法求导.

解 先在等式两边取绝对值，再取自然对数，得

应用隐函数求导法，得

例9 这种通过取自然对数再求导的方法称为对数求导法.特别在省略取绝对值时，所得结果不变.因此习惯上用对数求导法时，常省去取绝对值.

【例10】 求y=xcosx（x＞0）的导数.

解 此函数为幂指函数，既不能使用幂函数求导公式又不能直接使用指数函数求导公式，但可使用对数求导法求导.

方法一 对等式两端取自然对数，得

两边求导，得

所以

方法二 利用指数函数求导公式(www.xing528.com)

两边求导

由方程F（x，y） =0 所确定的隐函数，在对两边求导数时，一定注意遇到y看成是x的函数，遇到y的函数要看成是x的复合函数，用复合函数求导法则进行求导.

利用隐函数求导方法，对幂指函数或由几个含有变量的式子的乘、除、乘方、开方构成的函数求导时，可用对数求导法.

【例11】 求反三角函数y=arcsinx的导数.

解 由反三角函数的定义得x=siny，用隐函数求导法两边求导得

2.参数式函数的导数

【例12】 已知抛射体的运动轨迹的参数方程为

求抛射体在时刻t时，运动速度的大小和方向，何时达到最高点？

解 先求速度大小

由于速度的水平分量为

铅直分量为

所以抛射体运动速度的大小为

再求速度的方向，即轨迹的切线方向.

设α是切线的倾角，则由导数的几何意义得