有限元分析：解决场问题数值解的方法

有限单元分析（FEA），也称为有限单元法，它是求解场问题数值解的一种方法。场问题需要确定一个或多个相关变量的空间分布。在数学上，一个场问题由微分方程或积分表达式描述。每种描述都可用于有限元列式。在通用有限元分析程序中包含了现有形式的有限元列式。

单个的有限单元可形象化地视为结构的一小片。“有限”这个词区分了这些小片和微积分中的无穷小微元。在每个有限单元中，允许一个场量仅有简单的空间变化。单元所跨区域内的实际变化几乎可以肯定比较复杂，因此有限元法提供的仅是近似解。单元的连接点叫做“节点”。单元的集合称为有限元结构，通常用的“结构”一词意味着已定义的物体或区域。特定的单元排列称为网格。在数值分析中，有限元网格用待求节点未知量的代数方程组来表示。节点上的未知量是场量的值，它依赖于单元的形状，或许也依赖于它的一阶导数。节点值的解，当它和给定单元上的场量结合起来时，完全决定了单元上场的空间变化。这样整个结构上的场量，以分段的形式逐个单元近似。尽管有限元解不是精确解，但是可以通过对结构划分更多的单元来提供解的精度。

有限元法具有许多优点，包括通用性强和物理概念明确，主要的优点包括：

有限元分析可以运用于任何场问题：热传导、应力分析、磁场问题等。

没有几何形状的限制，所分析的物体区域可以具有任何形状。

边界条件和载荷没有限制。

材料性质并不限于各向同性，可以从一个单元到另外一个单元变化，甚至在单元内也可以有所不同。

具有不同行为和不同数学描述的分量可以结合起来。(www.xing528.com)

有限元结构和被分析的物体或区域很类似。

通过网格细分可以很容易地改善解的逼近度，这样在场梯度大的地方就会出现更多的单元，需要求解更多的方程。

通用有限元分析软件的使用包括以下步骤：

（1）前处理：输入描述几何、材料属性，载荷和边界条件的数据。软件能自动地划分大部分有限元网格，但必须提供相应的指导，如单元类型和单元疏密度。也就是说，分析者必须选择一个或多个单元列式以适应数学模型，并说明有限元模型所选区域的单元应有的大小。在进行下一步操作前，必须检查输入数据的正确性。

（2）数值分析：软件自动生成描述单元性能的矩阵，并把这些矩阵组合成表示有限元结构的大型矩阵方程，然后求解，并得到每个节点上的场量值。如果性能依赖于时间或者非线性问题，要另外进行具体的计算。

（3）后处理：有限元解和由它得到的数值被列出来或者用图显示出来。除了分析者需要告诉软件列出或显示那些变量外，通常是自动的。在应力分析中，典型的显示包括具有变形被放大的形状，或许还有动画，以及在不同平面上不同类型的应力。