极限准则及重要极限-大学数学

注 上述极限的存在准则适用于函数极限的各种形式，对数列极限也有相应的结论.

利用夹逼准则，可以证明一个重要的极限：

此极限有两个特征：

（1）当x →0时，分子、分母同时趋于零；

（2）由复合函数求极限法则，分子sin记号后的变量与分母在形式上完全一致，即只要，就有

在应用过程中就是要设法凑成这一重要极限的形式.

利用这个重要极限，可以求得一系列涉及三角函数的极限.

例1.19 求下列极限.

2.单调有界收敛准则和第二个重要极限

对于数列{xn}，如果x1≤x2≤… ≤xn…，则称{xn}为单调递增数列；如果x1≥x2≥…≥xn…，则称{xn}为单调递减数列，它们统称为单调数列.

定理1.5（单调有界收敛准则） 单调有界数列必有极限.

利用单调有界收敛准则，可以得到第二个重要极限：

上式中，数e是无理数，它的值是e=2.718281828459045…，在前面提到的指数函数y=ex以及自然对数y=lnx 中的底e就是这个常数.

相应的函数极限有

作变量代换，利用复合函数的极限运算法则可以将上式写成另一种形式(www.xing528.com)

上面两式可以用来求一系列涉及幂指函数的极限，这里的幂指函数具有以下特征：

（1）底是两项之和，第一项是常数1，第二项极限为零；

（2）指数极限为无穷大，且与底中的第二项互为倒数.

例1.20 求下列极限.

（4）令tan2x=u，则x →0等价于u →0，故

以上计算都是利用了复合函数极限法则或极限的四则运算法则.

例1.21（连续复利问题） 将本金A0存于银行，年利率为r，则一年后本息之和为A0（1+r）.如果年利率仍为r，但半年计一次息，且利息不取，前期的本息之和作为下期的本金再计算以后的利息，这样利息又生利息.由于半年的利率为，故一年后的本息之和为，这种计算利息的方法称为复式计息法.

如果一年计息n次，利息按复式计算，则一年后本息之和为如果计算复利的次数无限增大，即n→∞，其极限称为连续复利，这时一年后的本息之和为

假设r=7%，而n=12，即一个月计息一次，则一年后本息之和为

若n=1000，则一年后本息之和为

若n=10000，则一年后本息之和为

由此可见，随着n的无限增大，一年后本息之和会不断增大，但不会无限增大，其极限值为

由于e在银行业务中的重要性，固有“银行家常数”之称.

注 连续复利的计算公式在其他许多问题中也常有应用，如细胞分裂，树木增长等问题.