大学数学：经济学的常用函数

对经济学原理的研究及经济活动的分析和决策，需要专门的经济知识和广泛的数学方法，从而有必要对一些主要的经济变量之间的相关关系进行研究.下面介绍几个经济活动中常用的函数.

1.需求函数

需求函数是指某一特定时期内，市场上某种商品的各种可能的购买量和决定这些购买量的诸因素之间的关系.

假定其他因素（如消费者的货币收入、偏好和相关商品的价格等）不变，则决定某种商品需求量的因素就是这种商品的价格.此时，需求函数表示的就是商品需求量和价格这两个经济变量之间的数量关系，即

Q=f(P),

其中，Q 表示需求量，P 表示价格.

一般地，商品的需求量随价格的下降而增加，随价格的上涨而减少.因此，需求函数是价格P 的单调递减函数.常见的需求函数的形式有：

（1）线性函数 Q=-aP+b（a，b＞0）；

（2）二次函数 Q=a-bP-cP2（a，b，c＞0）；

（3）指数函数 Q=ae-bP（a，b＞0）.

例1.6 设某商品的需求函数为

Q=-aP+b (a,b＞0),

讨论P=0时的需求量和Q=0时的价格.

解 当P=0时，Q=b，即当价格为零时，需求量为b；当Q=0时，，即当需求量为零时，价格为.

2.供给函数

供给函数是指某一特定时期内，市场上某种商品的各种可能供给量和决定这些供给量的诸因素之间的函数关系.

假定生产技术水平、生产成本等其他因素不变，则决定某种商品供给量的因素就是这种商品的价格.此时，供给函数表示的就是商品供给量和价格这两个经济变量之间的数量关系，即

S=f(P),

其中，S 表示供给量，P 表示价格.

一般地，商品的供给量随价格的上涨而增加，随价格的下降而减少.因此，供给函数是价格P 的单调递增函数.常见的供给函数有线性函数、二次函数、幂函数、指数函数等，其中线性供给函数为

S=aP-b (a,b＞0).(www.xing528.com)

例1.7 某大米产地计划每年向农贸市场提供价格为c元的大米akg.为增加供应量，采取提价措施，如果价格每增加k元，可为市场多提供大米bkg.求该大米产地每年向市场提供大米的供应函数.

解 设每年大米的供应量为Q（单位：kg），每千克大米的价格为P（单位：元），则每千克大米提价P-c时，供应量增加，故所求的供应函数为

使某种商品的市场需求量与供给量相等的价格P0称为均衡价格.当市场价格P＞P0时，供给量将增加而需求量相应地减少，这时“供大于求”，必然使价格下降；当P＜P0时，供给量将减少而需求量增加，这时“物资短缺”，又使价格上升，市场调节就是这样来实现的.

例1.8 已知某种商品的需求函数和供给函数分别为

Q=14.5-1.5P, S=-7.5+4P,

求该商品的均衡价格P0.

解 由供需均衡条件Q=S，可得

14.5-1.5P=-7.5+4P,

解得P=4，故均衡价格P0=4.

3.总成本函数、总收益函数和总利润函数

产品的总成本是指生产和经营产品的总投入；总收益是指产品出售后所得到的收入；总利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之差.

通常用C 表示成本，R 表示收益，L 表示利润，它们都称为经济变量.若用Q 表示产量或销售量，在不计市场其他因素影响的情况下，C，R，L 都可以简单地看成Q 的函数，C（Q）称为总成本函数，R（Q）称为总收益函数，L（Q）称为总利润函数.

一般地，总成本C 由固定成本C0和可变成本C1两个部分构成，C0是一个常数，与Q 无关，C1是Q 的函数，所以

C(Q)=C0+C1(Q).

若产品的销售单价为P，则

R(Q)=PQ,

L(Q)=R(Q)-C(Q).

例1.9 某商品的单价为100元，单位成本为60元，商家为了促销，规定凡是购买超过200单位时，对超过部分按单价的95%出售.求成本函数、收益函数和利润函数.

解 设购买量为Q 单位，则