《大学数学》：集合与区间

集合是数学中的一个基本概念.例如，某班学生的全体构成一个集合，全体实数构成一个集合.一般地，具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成这个集合的事物称为该集合的元素.

通常用大写拉丁字母A，B，C，… 表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，… 表示集合的元素.如果a是集合A 的元素，记作a∈A，读作“a属于A”；否则，记作a∉A 或a∈-A，读作“a不属于A”.

仅由有限个元素组成的集合称为有限集，含有无穷多个元素的集合称为无限集，不含任何元素的集合称为空集，记作∅.

表示集合的方法通常有列举法和描述法.列举法就是将集合中的全体元素一一列举出来，写在一个大括号内.例如，S 是1到10的所有偶数组成的集合，S 可视为

S={2,4,6,8,10};

Z+是全体正整数组成的集合，表示为

Z+={1,2,3,…}.

用列举法表示集合时，必须列出集合的所有元素，不得重复和遗漏，一般对元素之间的次序没有要求.用到省略号时，省略的部分必须满足一般的可认性.

描述法是把集合中各元素所具有的共同性质写在大括号内来表示这一集合.例如，由所有满足条件a＜x＜b的实数x 组成的集合A 可以表示为

A={x|a＜x＜b}.

数学中，常用以下字母分别表示特定的数集：N 为全体自然数；Z 为全体整数；Q 为全体有理数；R为全体实数；Z+为全体正整数；R+为全体正实数.

由数组成的集合称为数集，其中最常用的是区间和邻域.

设a和b 都是实数，且a＜b.数集{x|a＜x＜b}称为以a，b为端点的开区间，记作（a，b），即

(a,b)={x|a＜x＜b};

数集{x|a≤x ≤b}称为以a，b为端点的闭区间，记作[a，b]，即

[a,b]={x|a≤x ≤b}.

类似地，可以定义以a，b为端点的两个半开区间：

(a,b]={x|a＜x ≤b},(www.xing528.com)

[a,b)={x|a≤x＜b}.

以上区间都是有限区间，b-a称为这些区间的长度.

除此以外，还有下面几类无限区间：

(1)(a,+∞)={x|x＞a},[a,+∞)={x|x ≥a};

(2)(-∞,b)={x|x＜b},(-∞,b]={x|x ≤b};

(3)(-∞,+∞)={x|x ∈R}.

注1 记号+∞，-∞都只是表示无限性的一种记号，它们都不是某个确定的数.

注2 以后如果遇到所作的讨论对不同类型的区间（不论是否包含端点），以及是有限区间还是无限区间都适用，为了避免重复讨论，就用“区间I”代表各种类型的区间.

除了区间的概念外，为了阐述函数的局部性态，还常用到邻域的概念，它是由某点附近的所有点组成的集合.

设a与δ 是两个实数，且δ＞0.数集{x||x-a|＜δ}在数轴上是一个以点a为中心，长度为2δ的开区间（a-δ，a+δ），称为点a的δ 邻域，记作U（a，δ），即

U(a,δ)={x||x-a|＜δ}=(a-δ,a+δ),

其中，点a称为该邻域的中心，δ称为该邻域的半径.

例如，U（1，2）表示以点a=1为中心，δ=2为半径的邻域，也就是开区间（-1，3）.

有时用到的邻域需要把邻域中心去掉，点a 的δ 邻域去掉中心a 后，称为点a 的去心δ邻域，记作，即

例如，表示以1为中心，2为半径的去心邻域，即（-1，1）∪（1，3）.

更一般地，以a为中心的任何开区间均是点a 的邻域，当不需要特别辨明邻域的半径时，可简记为U（a）.