实验设计与R语言应用-最优实验设计概述

为了生产和科研的需要，人们提出了很多不同的实验设计，其中包括已有广泛应用的回归旋转设计和回归正交设计等。回归正交设计能够适当有效地减少实验的次数，并且使统计分析得到简化；回归旋转设计则保证了因子区域中同一球面上的点的预测值方差相同，这样可以排除掉某些误差的干扰。但也产生了以下两个问题：对现有的各种不同实验设计，通过什么标准比较它们的优劣？是否能够建立一定意义下的最优实验设计？为了解决这个问题，统计学家们试图从统计的角度比较不同实验设计的优劣以及建立最优的实验设计。其中一个主要思路是在可能设计出的所有实验方案中，能使回归值与观察值拟合最好的方案，就是最优方案，即最优设计。从20世纪50年代开始，人们就不断地提出了很多标准来比较不同实验设计的优劣，比如E-最优性、G-最优性以及D-最优性等。目前，D-最优性越来越引起人们的关注。

最优设计工作主要包括两方面的内容：（1）将设计问题的物理模型转变为数学模型。建立数学模型时要选取设计变量，列出目标函数，给出约束条件。目标函数是设计问题所要求的最优指标与设计变量之间的函数关系式。（2）采用适当的最优化方法，求解数学模型。可归结为在给定的条件（例如约束条件）下，求目标函数的极值或最优值问题。

由于不同的优化策略标准，产生了不同的优化设计方法，在最优设计中主要包含以下几点：

●D-最优化设计：选择实验设计使信息矩阵的行列式达到极大；

●A-最优化设计：选择实验设计使信息矩阵的迹达到极大，这里的迹为信息矩阵对角线元素之和；(www.xing528.com)

●E-最优化设计：选择实验设计使信息矩阵的最大特征根达到极小；

●G-最优化设计：选择实验设计使响应预报值的最大方差达到极小。

D-最优化方法是指在给定因子区域和模型的情况下，用最优化技术去寻找使信息矩阵的行列式达到最大的设计点，常采取的方法是随机寻找法、梯度法和最速下降法等。由饱和D最优设计建立的回归方程的预测值具有较高的拟合精度，且实验次数较少。以三因素五水平寻优为例，采用正交法需要进行125次实验；采用旋转回归设计时实验次数为23次；而饱和D最优设计实验次数为11次。需要注意：设计的最优化是依赖于模型的，由计算机算法产生的设计只是针对该模型的最优化，还需要实际实验工作去验证结果。