随机变量的数值特征及其应用

自由度（degree of freedom，df）。它指的是计算某一统计量时，取值不受限制的变量个数。通常df=n-k。其中n为样本数量，k为被限制的条件数或变量个数，或计算某一统计量时用到其他独立统计量的个数。自由度通常用于抽样分布中。例如，有一个包括4个数据（n=4）的样本，其平均值m等于5，即受到m=5的条件限制，在自由确定4、2、5三个数据后，第四个数据只能是9，否则m不等于5。因而这里的自由度df=4-1=3。

期望（mean）。它（或均值）是实验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”，也许与每一个结果都不相等。期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。根据应用场景又可以分为算术平均数（使用场景十分广泛、很容易受极值影响）、加权平均数（根据权重比例来求平均值）、几何平均数（常用于比例速度等场景）。

中位数（Median）。对于有限的数集，可以通过把所有观察值高低排序后找出正中间的一个作为中位数。如果观察值有偶数个，通常取最中间的两个数值的平均数作为中位数。如在描述公司内的平均工资情况比平均值更接近事实。

众数（Mode）。在统计分布上具有明显集中趋势点的数值，代表数据的一般水平（众数可以不存在或多于一个）。修正定义：一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，有时众数在一组数中有好几个，用M表示。简单地说，就是一组数据中占比例最多的那个数。

四分位数（Quartile）。四分位数是指在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值。多应用于统计学中的箱线图绘制。第一四分位数（Q1），又称“较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第25%的数字。第二四分位数（Q2），又称“中位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第50%的数字。第三四分位数（Q3），又称“较大四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第75%的数字。第三四分位数与第一四分位数的差距又称四分位距（Inter Quartile Range，IQR）

极差（Range）。极差又称范围误差或全距（Range），以R表示，是用来表示统计资料中的变异量数（measures of variation），其最大值与最小值之间的差距，即最大值减最小值后所得的数据。(www.xing528.com)

方差（Variance）。方差在数理统计中用来度量随机变量与其数学期望（即均值）之间的偏离程度，在计算上，方差是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。方差是衡量数据离散程度的一个标准，用来表示数据与数据中心（均值）的偏离程度。当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。因此方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小。同时，变量的期望相同，但方差不一定相同。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。

标准差（Standard Deviation）。标准差又常称均方差，是离均差平方的算术平均数的平方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的两组数据，标准差未必相同。由于方差是数据的平方，与检测值本身相差太大，人们难以直观的衡量，所以常用方差开根号换算回来这就是我们要说的标准差。在统计学中，当标准差来描述本组样本离散程度时，分母为n，当标准差通过样本来描述总体离散情况时，分母选用n-1。

残差（Residual）。残差是指观测值与预测值（拟合值）之间的差，即是实际观察值与回归估计值的差。把每个残差的平方后加起来称为残差平方和，它表示随机误差的效应。例如，在线性回归中，每一点的估计值和实际值的差的平方之和称为残差平方和。

峰值（Kurtosis）。峰值表征概率密度分布曲线在平均值处峰值高低的特征数。直观看来，峰度反映了峰部的尖度。样本的峰度是和正态分布相比较而言统计量，如果峰度大于3，峰的形状比较尖，比正态分布峰要陡峭。反之亦然。峰度以bk表示，Xi是样本测定值，Xbar是样本n次测定值的平均值，s为样本标准差。正态分布的峰度为3。一般来说，正态分布为参照，峰度可以描述分布形态的陡缓程度，若bk＜3，则称分布具有不足的峰度，若bk＞3，则称分布具有过度的峰度。若知道分布有可能在峰度上偏离正态分布时，可用峰度来检验分布的正态性。

偏度（Stewness）表征概率分布密度曲线相对于平均值不对称程度的特征数。直观看来就是密度函数曲线尾部的相对长度。两侧尾部长度对称。若以bs表示偏度。bs＜0称分布具有负偏离，也称左偏态，此时数据位于均值左边的比位于右边的少，直观表现为左边的尾部相对于与右边的尾部要长，因为有少数变量值很小，使曲线左侧尾部拖得很长；bs＞0称分布具有正偏离，也称右偏态，此时数据位于均值右边的比位于左边的少，直观表现为右边的尾部相对于与左边的尾部要长，因为有少数变量值很大，使曲线右侧尾部拖得很长；而bs接近0则可认为分布是对称的。若知道分布有可能在偏度上偏离正态分布时，可用偏离来检验分布的正态性。右偏时一般算术平均数＞中位数＞众数，左偏时相反，即众数＞中位数＞平均数。正态分布三者相等。