上帝创造了整数，其他一切都是人造的。
——克罗内克
人类对数的认识，是从1开始的，就像小孩一样。
在1上面加1，再加1，再加1，不断地加1，只要有足够的时间、耐心和寿命，你可以达到任何一个正整数，要多大有多大。
但怎么用记号把比较大的数记下来，在远古时代，人们觉得很困难。
开始，用画道道的办法记数，这是最容易想到的方法。你们班里投票选举班长的时候，在黑板上画“正”字，得一票，画一道，就属于这种原始的记数方法。如果有成千上万的人在一起投票，就要有很大的黑板。这种记数方法还有一个缺点：记下来的数是多少，不能一目了然。
于是，人们又创造了新的方法，用不同的记号代表不同的数。从汉字“一”、“二”、“三”可以想象出，我们的祖先是用画道的方法记比较小的数字的。但是，要表示“百”、“万”这些大数，就得画100道、1万道杠杠，这样就太麻烦了。于是，人们就想出了用“百”、“万”这些专用的字，来表示这些大数。
更大的数量单位，还有亿、兆、京……但是，文字到底是有限的，再大的数又怎么办呢？
这个难题，是用＋进制的“位置记数法”解决的。现在你读到初中、高中，回头看小学里学的算术，会觉得多么简单啊！你可知道，人类从会记数到会像今天这样记数，经历了5000多年之久呢！古代的大数学家，像欧几里得、阿基米德，他们在记数方面的知识，还不如今天的小学生。一堂课学的知识，有时会跨越千百年的历史！
用位置记数法来记数，就要有表示空位的记号，于是，一个最重要的数字“0”应运而生。没有“0”，130，103，13之间的区别，就不容易这样方便地表示出来。
如果只是数数人、苹果、羊，正整数也就够用了。但要测量长度、面积，要称面粉、打酒，就要用到分数、小数。
单纯从算术的运算来看，如果只有正整数，那加法和乘法就够用了。有了分数，除法也可以通行无阻了。
想要减法通行无阻，就必须有负数。不过，负数并不是数学家为了做减法而在头脑中创造出来的。最早它是在贸易活动中被人们创造出来的，人们用它来记债务。在中国古代，正、负数分别用不同的颜色来记，用来表示相反意义的量。
有了正负整数、正负分数和0，加减乘除就可以畅通无阻了（只要不用0做除数）。似乎这已是一个相当完美的数系了，这个数系叫做“有理数域”。一般说来，在代数里，把能够进行四则运算（包括交换律、结合律、分配律……）的系统叫域。如果只能进行加、减、乘3种运算，便叫做“环”，所有的整数便组成“整数环”。
尽管有理数系在实用上已经足够，但是一旦从算术的范围转入几何、代数的研究，人们就发现它远远不够用！
从代数的观点看，如果只承认有理数，许多方程式就没有根，例如x2－2＝0就没有有理根。(https://www.xing528.com)
有没有根，大家倒可以不在乎。可和几何联系起来，就不能令人满意了。原来，边长为1的正方形的对角线长，就是x2－2＝0的根。方程式可以不要根，正方形可不能没有对角线吧！
有理数系的扩大，势在必行。几何事实启发人们，每个线段的长与单位线段长的比，都应当有一个数来表示。这个想法终于通过实数系的建立而实现了。
在实数系里，不但能进行四则运算，而且能进行“取极限”的运算，这叫做实数域的完备性，是它和有理数系不同的地方。
从代数观点看，实数域仍不够完美。因为有些代数方程式仍然没有根，像x2＋1＝0，它就没有实根。但是，数学家们发现，在解另外一些有实根的代数方程式或进行另一些运算时，不可避免地要遇到－1的开平方。大家对－1开平方想不通，又不得不和它打交道，于是给它起了个虚数单位“i”的名字，并规定i2＝－1。
这样一来，从实数系扩展到了复数系。从几何意义上解释，实数系不过是一条直线，复数系就是一个平面。有了这种几何解释，虚数也就不虚了，复数理论在数学中站稳了脚跟。
全体复数之间，四则运算通行无阻（0当然仍不能做除数），所以也是数域。极限运算也通行无阻，所以它又是完备数域。在复数域中，代数方程式总是有根的，所以它又叫做代数封闭域。
把这几种数系，由小到大作个比较：
（1）全体正整数，加法和乘法通行无阻。
（2）加法的逆运算是减法，为了使减法通行无阻，就要添上0和负数，得到了整数环。
（3）整数环里，除法不能通行无阻，为了解决这个问题，添上分数，得到了有理数域。
（4）有理数域里，极限运算不能通行无阻。为了引进极限运算，又把有理数域扩充到实数域。
（5）在实数域里，解代数方程式的运算不一定行得通，于是人们又把实数域扩充为复数域，使它成了代数封闭域。在代数封闭域里，所有的代数方程式都有根了。
数的概念的发展，是不是到此为止了呢？
不是的。数系还可以扩充，但在扩充的时候，某些原有的法则就不再成立。例如，把复数域扩充到四元数域，乘法交换律就不成立了。在实数域里添上许多“无穷小”、“无穷大”，扩充成“非标准实数域”，原有的“阿基米德公理”就要取消了。
数系的扩充，既是社会实践的推动，又符合算术、几何、代数这些数学学科理论发展的要求。它不是随随便便，想怎么扩充就怎么扩充的。过去是这样，将来也必然是这样。从数系扩充的历史中我们看到，一方面数学从实践中吸取营养而发展，反过来又解决了实践提出的问题；另一方面，几何和代数的知识是互相联系互相促进的。我们要学好数学，不仅要注意实践中的数学问题，而且要注意代数、几何等不同学科间的相互联系。
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