固体物理：布洛赫的紧束缚近似

紧束缚近似是1928年由布洛赫提出来的，它适用于描写晶体内层电子及绝缘材料的价电子形成的能带。

1.模型

当晶体中原子的间距较大，原子实对电子有相当强的束缚作用。当电子距某个原子实较近时，电子的运动主要受该原子势场的影响，这时电子的行为与孤立原子中电子的行为相似。这时，可将孤立原子看成零级近似，将其他原子势场的影响看成小的微扰。此方法称为紧束缚近似。

2.势场

设想晶体中的原子间距比较远，每个原子势场对电子有较强的束缚作用。因此将晶体中电子的势能表示为：U（r）=V0（r）+V′（r）。其中V0（r）是电子附近的离子实作为孤立原子时的势场，这是基本的势场；V′（r）是其他离子实和电子的总势场；作为微扰，V′（r）＜0，否则不能结合成晶体。

3.薛定谔方程及其解

薛定谔方程可写为

4.应用（以简单立方晶格为例）

现在以简立方晶格为例说明上式的应用。简立方晶格中每个原子有6 个最近邻（±a，0，0），（0，±a，0），（0，0，±a），代入上式，得(www.xing528.com)

（1）能带宽度：设能带底位于kx=ky=kz=0，得简立方晶格能带底的能量为

因此能带（允许带）宽度为

显然能带宽度决定于最近邻原子数（配位数）和γ的数值，γ 取决于波函数交迭的程度，交迭越大，γ值越大，能带就越宽。

对于外层轨道的电子，波函数交迭的程度大，γ 值就大，从而能带也就比较宽；反之，对于内层电子，波函数交迭程度小，γ值也小，能带也就比较窄。

（2）在能带极值附近E 的表达式：在能带极小值附近，即kx=ky=kz=0附近。将能带用泰勒级数展开，只保留到的二次项。得

由此可见，外层电子：轨道重叠多→电子波函数交迭大→γ 大→m*小→电子较自由；内层电子：轨道重叠少→电子波函数交迭小→γ小→m*大→电子不那么自由。

同理，可得出能带极大值附近E 的近似表达式为

可见，m*在能带底为正，在能带顶为负。