固体物理学习指导：布洛赫定理简介

1.周期性势场

设晶体中的原子规则排列成晶格，晶格具有周期性，因而势场V（r）也具有周期性：V（r）=V（r+Rl），其中格矢Rl=l1a1+l2a2+l3a3。

2.电子的波动方程

在上述周期性势场中运动的电子，其波动方程即薛定谔方程：

周期性势场与波动方程合称为能带理论基本方程。

3.电子的波函数ψ（r）与布洛赫定理

ψ（r）是上述定态薛定谔方程的本征函数，形式为

式中：k 为波矢，是用以表征电子状态的量子数。波幅uk（r）为具有晶格周期性的函数，即满足(www.xing528.com)

这说明，周期性势场中电子的波函数ψ（r）是一个周期性调幅的平面波。该结论称为布洛赫定理。ψ（r）也被称为布洛赫函数。

ψ（r）是平面波与周期函数的乘积，即被周期势场调幅了的平面波。布洛赫函数的平面波因子描述晶体电子共有化运动，即电子可以在晶体内自由运动，而周期函数的因子描述电子在原胞中的运动，这取决于原胞中电子的势场。

显然可以进一步推出：

上式表明，当平移晶格矢量Rl时，波函数只增加了位相因子。布洛赫定理是由晶体的平移对称性导出的，凡是周期结构中的波都具有布洛赫波函数的形式。

4.波矢k 的取值与物理含义

波矢k 的物理意义是：原胞之间电子波函数相位的变化。波矢的取值由周期性边界条件（即玻恩-卡门边界条件）来定，利用布洛赫定理可得

波矢k 代表空间中均匀的状态点，其密度为，其取值限定在第一布里渊区内，取值总数与晶体的原胞数N 相同。