固体物理学习指导：能带理论解析

能带理论是讨论晶体（包括金属、绝缘体和半导体的晶体）中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。

根据第六章金属电子论可知，晶体可以视为由价电子和原子实（或称离子实）组成的复杂多体系统，其中原子实是由内层结合能高的芯电子和原子核构成。电子在离子规则排列的晶格空间内运动，一方面要受晶格的作用，另一方面电子与电子之间也有相互作用，同时位于格点的原子实也在不停地运动。

要了解晶体中的电子状态，必须写出晶体中存在着相互作用的所有离子和电子系统的薛定谔方程。这显然是一个复杂的多体问题，无法直接求解。因此需要作一些近似处理，将多粒子问题简化为单电子在周期场中运动的问题。晶体中其他所有电荷的影响均可用此单电子的周期势场来概括。所以，能带理论其实是一个近似理论。

1.能带理论的3个基本近似

（1）绝热近似：由于电子运动速度远大于原子实的运动速度（基于两者质量差别很大），研究电子运动的时候可以近似的认为原子实固定在其瞬时格点位置上，而研究原子实的运动时则不需要考虑空间中电子的分布。这种将电子的运动和原子实的运动分离为独立的两部分（退耦过程）的近似就是绝热近似，也称为玻恩-奥本海默近似。通过绝热近似，可以将一个多粒子体系问题简化为多电子问题。

（2）单电子近似：多电子体系依然是个庞大的体系，无法直接求解薛定谔方程。因此需要进一步简化。近似认为，无论单个电子在晶体中所受原子实的相互作用和其余电子的相互作用形式如何，都设想单个电子都在固定的正离子势场和其他电子所形成的平均势场中运动，从而把多电子问题简化为单电子问题。这就是单电子近似，又称哈特里-福克自洽场近似。

（3）周期势场近似：在一般的温度下，晶格振动的幅度不大，晶格势场对周期性的偏离很小，可以近似认为所有原子实都处于平衡位置。假设所有电子及原子实产生的场具有晶格周期性，这就是周期势场近似。(www.xing528.com)

2.电子共有化和能带的形成

当大量的原子相互接近而形成晶体时，由于原子离得很近，每个电子不仅受自身原子核的作用，还受相邻原子核的作用，它的轨道和能量都将有相应的变化。这样任一电子就不再单纯地属于某个原子，而为各原子所共有，这一特性称为 “电子共有化”。不同轨道的电子共有化程度不同。很明显，离原子核越远的电子受其他原子的影响越大，共有化程度也越高。

量子力学可以证明，晶体中电子共有化的结果，使原来每个原子中所具有的能量相同的电子能级，因各原子的相互影响而分裂成为一系列和原来能级很接近的新能级，这些新能级基本上连成一片而形成一个带，称为能带。

3.能带理论的两个重要模型

一种是晶体势场的周期起伏比较弱（大多数金属），可以看成是对自由电子的微扰，称为近自由电子近似；另一种是晶体势场的周期起伏很大（惰性元素晶体），晶体中的电子比较紧地束缚于某一原子附近，周期势场可以看作是对原子势场的微扰，称为紧束缚近似。

注：固体能带论的问题实际上仍是一个周期场中波的传播问题。与晶格振动不同的是，这里的波是德布罗意波而不是弹性波。这里涉及的方程是一个标量方程，不像晶格振动，常常涉及张量方程。